“数形结合思想在小学数学教学中的应用”研究

樊梦婷

摘要：把问题的数量关系与空间形式结合起来考虑，或者把数量关系转换成空间的性质问题，或者把空间的性质问题转化成数量关系问题，这种处理问题的思想就是数形结合思想。数形结合作为数学学习中最重要的数学思想方法之一，体现了“数”与“形”之间相互依存，相互转换的一一对应关系，是形象思维与抽象思维的结合。

關键词：数形结合思想;组织形式;问题;解决措施

中图分类号：G642.0    文献标志码：A    文章编号：1674-9324（2016）43-0270-03

一、调查背景

数与形的内在联系，使许多数学和数学分析的课题具有鲜明的直观性，而且往往由于借用了几何术语或运用了与几何的类比从而开拓了新的发展方向。但至2014，关于数形结合思想，大多数都在研究数形结合在中学数学教学中的应用情况以及数形结合思想运用时的认知心理，针对小学生情况的研究少之又少，不及十分之一。此外，这些课题和研究案例都非常重视对数学思想方法作了大量文字性的叙述说明，却很少有对如何来将这一行为有效实践到教学活动中去的研究。从教材的深度理解出发，大多数教师仍停在数学知识和技能层面，对小学数学中蕴含的数学思想方法的研究力度不够，甚至有的已经在部分运用数形结合思想设计课堂教学，在学生学习行为习惯培养上也有部分渗透，但却不成体系。

二、调查方式

1.设计与实施。本研究采用调查问卷、人物访谈和文献研究相结合的形式。问卷对象是金华市各小学的数学教师，访谈的对象既包括金华市各小学的数学教师，也包括各年级小学生代表。

2.研究材料。①调查问卷：本研究采用自编的《关于“数形结合思想在小学数学教学中的应用”的调查问卷》，在对文献资料分析的基础上，选择了大量与对数形结合思想的态度、数形结合思想概念、数形结合思想运用的途径及组织形式相关的项目后，经过多次修改，形成问卷的初稿。通过对15位金华市小学数学教师的前测，形成预试问卷分析报告，根据信度、效度以及因素相关性的原则，最终确定正式调查问卷。②访谈提纲（教师部分、学生部分）③课堂观察记录表（教师版、学生版）

3.数据处理。问卷收集的数据使用社会科学统计软件包SPSS20.0和Excel来进行统计分析。在本次调研中，我们共发放问卷100份，回收问卷90份，有效问卷是86份，有效率高达96%。

三、调查结果分析

教师在课堂中渗透数形结合思想的组织形式

1.教师在课堂中渗透数形结合思想的频率。近90%的教师认为在平时的教学中，大多数教师都会经常性地运用数形结合思想进行教学，但不同年龄、教龄、户籍、职务、教授年级的教师在使用频率上存在一定的差异。①年龄、教龄，分析数据可知：年龄在40岁以上、教龄在25年以上的教师使用数形结合思想的频率最高;其次是年龄在30岁以下、教龄在10年以下的教师，而年龄在30～40岁、教龄在10～25年之间的教师最低。这可能与教师在不同职业生涯阶段的特点有关。②户籍、学历，分析数据可知：不同户籍的教师与运用数形结合思想进行教学的频率之间不存在显著性差异，但城镇户籍的教师比农村户籍的教师更倾向于使用数形结合思想进行教学。城镇户籍的教师接受的教育总体上要比农村户籍的教师接受的教育大而广，他们更愿意从“哪种教学方法更适合学生”出发，而不是仅仅考虑哪种教学方法更利于自己教学。真正形成了课堂应以学生为主体，教师起主导作用的教育理念。同时，数据显示不同学历的教师与运用数形结合思想进行教学的频率之间也不存在这显著性差异，但大专学历的教师比本科及以上学历的教师运用数形结合思想进行教学的频率略高。③教师职务，由数据可知：班主任相对于（非班主任的）任课老师和管理型教师来说，运用数形结合思想进行教学的频率相对较低，且有显著差异。班主任除了上课，还要负责班级的管理，包括班级的学风建设等，在备好每一节课的同时，还要不断提高自己的班级管理能力。因此，班主任分配在研究教学上的精力与任课老师相比就显得较少，更多建立的是一种把课上“完”的意识，而不是运用新颖的教学方法把课上“好”。班主任更多的是教一个班级，而任课老师起码同时要带同一个年级的两个班，在两个班学生上课以及作业的表现对比中，教师可以不断从中发现问题，并不断改善自己的教学方式，从学生的认知水平出发，在教学中运用数形结合思想，利于学生掌握和理解。④教授年级，分析数据可知：教授第一学段的教师比教授第二学段的教师在教学过程中，使用数形结合思想的频率相对较高一些。这个结果与教师所面对的小学生认知发展水平和掌握的知识基础有关。根据皮亚杰的认知发展阶段理论，第一学段的学生处于前运算阶段末期和具体运算阶段的前期，一年级学生的各种感知活动图式开始内化为表象或形象模式，但是他们的语词或其他符号还不能代表抽象的概念，思维仍受具体直觉表象的束缚;到了二、三年级，学生的认知结构中已经具有了抽象概念，但仍需要具体事物的支持，在形成概念、发现问题、解决问题上都必须与他们熟悉的物体或场景相联系，还不能形成抽象思维。因此，教师在讲解数学概念或是算理算法特别是较抽象的概念或算理算法时，如：20以内的退位减法，必须运用数形结合的思想，比如借助小棒、计数器等。而第二学段的学生，特别是五年级和六年级的学生，正处于形式运算阶段，这一阶段学生的思维更具有灵活性、系统性和抽象性，超越了具体的可感知事物的依赖，使形式从内容中解脱出来。因此，教师在讲解数学概念或是算理算法的时候，可以适当地让学生通过在头脑中想象，从而提高他们的空间观念，因此运用数形结合思想进行教学的频率就与第一学段比较而言，相对较低。

2.教师在课堂中渗透数形结合的教学环节和课堂类型。①教学环节，有77.3%的教师在讲授新课这一教学环节中运用数形结合思想频率最高，其次是复习导入。讲授新课基本安排在课堂的黄金时间，占了课堂总时间的一半还多，是课堂的主体。对学生来说，这段时间中学习到的知识是崭新的，相对陌生的，具有一定的抽象性，因此教师需要更多借助实物或是教具，依托数形结合思想来帮助学生掌握和理解。②课堂类型，分析数据可知在教学实际中，在数与代数的课堂中运用数形结合思想的教师比例要大于理想状态，图形与几何恰恰相反，但两者之间不存在显著性差异。理想状态与实际教学中运用数形结合思想最多的课堂类型之间是极其显著相关的，即教师关于数形结合思想运用的教学观念与他的实际教学行为是极其显著相关的，保持一致。教师在数学课堂中运用数形结合思想进行教学的观念越深，他在实际教学过程中就越会运用这一思想进行教学;反过来，教师在数学课堂中运用数形结合思想的频率越高，他的这种观念也就越牢固。如在一年级下册教学“100以内两位数加一位数的进位加法”时，老师先是创设了一个学生较为熟悉的“灰太狼在小灰灰生日的时候给它买蛋糕”的情境，激发学生的兴趣，然后引导学生在数尺子、数小棒、借助计数器三种数学活动中，通过多种表征方式之间的相互转换理解进位加法的算理和算法，并利用尺子的刻度联系运算，提出“接着数”的方法，再利用捆扎小棒（十个为一捆）和计数器反复渗透、强调“拆小数、凑大数”的凑十法和“个位满十、十位进一”的数学思想，让学生充分体会到计算方法的多样化。这是在数与代数模块中运用数形结合思想的典型实例，能够帮助一年级的学生不仅会计算100以内的进位加法算式，而且还理解了对他们而言比较抽象的进位加法的算理和算法。有效地防止学生学习数学“一知半解”，使学生对数学知识的理解“入木三分”。

四、數形结合思想在小学数学教学应用过程中存在的问题

在访谈中，我们针对每个年级学生各设置了几道可以体现出数形结合思想的应用题，用来反映学生是否能够自觉地运用数形结合思想解决问题。综合分析学生的解题过程，我们发现大部分学生在自觉地运用数形结合思想解决问题的能力上显示一般。

在对五年级学生的考核中，小组调查人员用一道工程问题、一道相遇问题和一道植树问题对学生进行了考核，考核题目和考核结果如下：考核题目：工程问题：两个工程队共同开凿一条675米长的隧道，各从一端相向施工。25天打通，甲队每天开凿12.6米，请问乙队每天开凿多少米？相遇问题：甲、乙两艘轮船同时从上海出发开往青岛。经过18小时后，甲船落后乙船57.6米，甲船每小时行驶32.5米，请问乙船每小时行驶多少千米？植树问题：圆形滑冰场的一周全长为150米，如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要安装几盏灯？考核结果：三名同学在解题时，花费较长时间仍未有解题思路，也没有想到数形结合思想。5分钟后，小组调查人员提醒他们可以通过图形来解题，三名学生仍不知道采用何种图形。调查人员在展示工程问题的数量关系图形后，学生能够理解并进行下一步骤的解答。在第一题解答的基础上，学生能够把数形结合思想运用到相遇问题的解答中并顺利求出结果。植树问题的图形是一个圆形，而非前两题所涉及的均为直线图形，学生再次感到困难。问题分析：在调查中，学生反映对于“数形结合思想”的具体含义是不知道的，但非常喜欢老师在教学新概念时，使用多媒体放映动画来辅助教学的方式。同时，他们一致认为自己能够通过画图的方式把应用题中的数量关系表示出来，帮助自己解题，对于通过摆小棒等帮助更好地理解不退位减法的运算方法的方式也表示认可。但是在实际操作中，调查小组发现学生在自觉运用数形结合思想解决问题的能力上显示一般。在该学段常规数学问题上，学生一开始较难联系到运用数形结合思想解题，在提醒可使用该方法后也缺少相应图形的想法，即使给出相应解答方法后，学生也难以举一反三，运用到其他类型的题目中。

现在许多教学一线教师在教学中主动向学生渗透数形结合思想的观念并不牢固，甚至许多教师自身并没有树立数形结合思想，即使是在教学过程中使用画图等工具辅助解题，也可能只是将其看成一种解题方法，自身却没有意识到这是运用了数形结合思想。

五、推进数形结合思想在小学数学教学中的应用的解决措施

1.充分利用各种课程资源。课程资源包括文本资源——如教科书、教师用书、教与学的辅助用书、教学挂图等;信息技术资源——如网络、教学软件、多媒体光盘等;社会教育资源——电视广播、图书馆、报纸杂志等;环境与工具——如日常生活环境中的数学信息、用于操作的教具、学具等;生成性资源——如教学活动中提出的问题等。这里重点讲一下信息技术资源和教具、学具对渗透数形结合思想的作用。在对学生的访谈中，可以发现：学生十分喜欢教师在课堂上使用多媒体，不仅能够激发他们的学习兴趣，还能让他们的思路更加清楚。可见，各种课程资源是有效地在课堂中渗透数形结合思想的载体和途径。

2.教师应不断更新教育理念与模式。通过研究发现：理想中，教师运用数形结合思想进行教学的频率与在实际教学中运用数形结合思想进行教学的频率之间存在着显著的相关性。作为经历了新课改的小学数学老师，要不断更新自己的理念。在观念更新的前提下，教师才能在教学行动上有所改进。而观念的更新依赖于教师对教育政策变化的关注程度，以及教师本身对数形结合思想前沿研究的关注程度。千百年来，无数数学家对数形结合思想进行研究论述，直到今天还在不断深入。所以，当代小学数学教师要时刻关注政策及研究成果，不断加深认识，更新理念。数据表明：班主任相对于（非班主任的）任课老师和管理型教师来说，运用数形结合思想进行教学的频率相对较低，且有显著差异。班主任是一种比较特殊的教师，不仅负责教学，同时肩负着班级管理的重担。在研究教学的同时，还要不断探索更适宜本班的班级运行模式，包括班级常规、班级文化建设、学生的思想道德品质等。因此，与任课老师相比，班主任在教学上所下的功夫相对会少一些。但随着教育质量及小学教师要求的不断严苛，特别是对小学教师职称的评比，对教师综合素质的要求越来越高，教学、科研等维度，教师都应合理地不断寻求进步，寻求突破。因此，班级管理不能作为班主任的教学水平得不到提高的借口，班主任应该调整好自己的心态，不断更新自己的教育理念，在管理与教学之间寻求一种动态的平衡。各个班主任之间也应该加强团队建设，定期交流沟通，互相观摩课堂。

3.数形结合思想的渗透应随年级逐渐加深。小学分为两个学段，在不同的学段，教师渗透数形结合思想的方式要加以区别。在一、二年级，教师不必专门讲解，只要在概念教学、例题讲解等教学环节或图形与几何等课堂类型中加以运用，以潜移默化的方式向学生渗透数形结合思想;在三、四年级，随着教学的深入，教师可以对数形结合思想进行专门讲解，学生能在了解的基础上加深对数形结合思想的认识，在运用中更得心应手;在五、六年级，教学刚开始时，教师可以在运用数形结合思想的时候加以强调，等学生对数形结合思想有深刻印象和能熟练应用时，逐渐弱化，后期甚至可以让学生提出是否运用了数形结合思想。

Research on the Application of the Combination of Number and Shape in Primary School Mathematics Teaching

FAN Meng-ting

（Zhejiang Normal University， Jinhua， Zhejiang 321000 ，China）

Abstract： the problem of quantity relationship and space form combined consideration， or convert quantity relationship to the nature of the problem space， or the space relationship between the nature of the problem into a number of issues， this thought is the number form combining ideas to deal with problems. Number form combining as one of the most important mathematical thinking method of mathematics learning， reflects the interdependence between "number" and "shape"， mutual transformation of one to one correspondence relation， is the combination of image thinking and abstract thinking.

Key words： number form combining ideas; Organizational form; Problem; The measures