实对称矩阵的合同

程生敏

（郑州工业应用技术学院基础教学部 河南郑州 451100）

实对称矩阵的合同

程生敏

（郑州工业应用技术学院基础教学部 河南郑州 451100）

关于实对称矩阵的研究有极其广泛的内容，本文主要探讨了实对称矩阵的合同标准形、规范标准形和实对称矩阵的应用等。

实对称矩阵 合同变换 合同标准形

一、预备知识

定义：在数域P中，n n×矩阵A，B称为合同的，若有可逆的n n×矩阵C，使'BC AC=。

二、实对称矩阵的合同标准形、规范标准形等问题

定理1 在数域P上，任意一个实对称矩阵都合同于一对角矩阵，且任一实对称矩阵都合同于一个右边形式的对角矩阵：

其中对角线上1的个数p及-1的个数rp-（r是A的秩）都是唯一确定的，分别称为A的正、负惯性指数.它们的差2pr-称为A的符号差。

证明：我们对变量的个数n作归纳法。

分四种情形来讨论：

（1） aii（ i=1，2，...，n）中至少有一个不为零，例如a11≠0.取替换

于是A和C1可写成分块矩阵，

这里'α为α的转置，1nE-为1n-级单位矩阵.这样

这是一个对角矩阵.我们所要的可逆矩阵就是C=C1C2.

（2） a11=0但有一个aii≠0.

这时只要把A的第一行与第i行互换，再把第一列与i列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取

显然P（1，i）'=P（1，i），矩阵就是把A的第一行与第i行互换，再把第一列与第i列互换的结果，因此，C1'AC左上角第一个元素就是aii，这样就归结到第一种情形。

（3） aii=0，i=1，…，n ，但有一a1j≠0，j≠0.

与上一种情形类似，作合同变换P（2，j）'AP（2，j），可以把a1j搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情况.与那里的变数替换相对应，取C1=，于是的左上角就是

实数域P上，任意实对称矩阵都可以变成规范形，且规范形是唯一的［1］

定理2 实对称阵的特征多项式的根都是实数［1］.

定理3 设A是一个实对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量一定正交［1］.

定理4 设是一个n阶实对称阵，总能找到一个n阶正交矩阵P，使P-1AP

为对角阵［1］.

由定理4说明，对任何一个实对称阵总有正交矩阵存在，使它化为对角阵，具体如何找到这样的正交矩阵，可按照以下步骤进行：

（2） 对每个λi（i=1，2，…，s）.解特征方程组（λiE-A） X=0，找出它们的一个基础解系Xi1，Xi2，…，Xiri，这就是矩阵A的属于特征值λi的线性无关的特征向量；

（3） 用施密特法，将Xi1，Xi2，…，Xiri正交化、单位化，得到一组正交的单位向量组εi1，εi2，…，εiri，它们是A的属于特征值λi的正交的单位特征向量；

（4） 因为λ1， λ2，…，λs各不相同，ε11，…，ε1r1，ε21，…，ε2r2，…，εs1，…，εsrs它们仍是正交的单位向量组，它们的总数为n个，以这一组向量为列，作一个矩阵P，它就是所要求的正交阵.

三、实对称矩阵的应用

若pn=，则该矩阵为正定矩阵；若0pn＜＜且0q=，则该矩阵为半正定矩阵；

若0pn＜＜且0qn＜＜，则该矩阵为不定矩阵；若qn=，则该矩阵为负定矩阵；

若0p=且0qn＜＜，则该矩阵为负定矩阵.

合同变换除了保秩性外，还具有保定性，利用后一条性质，可把实对称矩阵进行合同分类，实n阶对称矩阵按合同分类，可以分为种，这也就解决了怎样的矩阵是合同的.下面举例看看实对称矩阵及其标准型的应用.

例1 设f（ x， y， z）=2y2-8x2-z2-2xy+6xz-2yz，试讨论：若（x， y， z）看作k3上的向量，问在k3上f（ x， y， z）是否有非零零点。

解：

由A是实对称矩阵知A合同于某对角阵，且，

即A为不定阵，由此可得f（ x， y， z）在k3上有非零零点.

例2 设A是n阶实对称矩阵，若有n维向量X1，X2，使则必有实n维向量使

证明 因为A为n阶实对称矩阵，所以有n阶可逆矩阵T，使

即（TY0）'A（ TY0）=0，令X0=TY0，则

例3 设A是一个n阶实对称矩阵，则A是一个秩为r的半正定矩阵⇔存在r个线性无关的实n维列向量αi=（a1i，a2i，...，ani）'，i=1，2…，r 使得证明 “⇒”因A是秩为r的半正定矩阵，所以存在n阶实可逆矩阵P，使

［1］ 王萼芳，石生明.高等代数［M］.第三版.北京：高等教育出版社，2003.

［2］ 陈云龙，钟立敏.线性代数简明方程［M］.中国科学技术出版社，1989.

［3］ 陈维新.线性代数［M］.北京：北京科学出版社，2000.

［4］ 孙兰芳，陈一巾.线性代数［M］.浙江：浙江大学出版社，1994.

［5］ 同济大学应用数学系.高等数学（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.