解导数题的三种模式

华冉宇 冉光

模式，有形的直观，又有较为固定的套路，因此教学中宜提倡模式教学.数学解题模式教学，有利于提高学习记忆，有利于解题方法与策略的形成，特别是对常考重点考试的题型，加强解题模式归纳与提炼，应该是高三数学考试复习研究的重点内容之一.这里介绍导数解题的三种模式.

模式一判别单调性的宏观模式：在求函数f（x）的单调区间时，面对含参量t的导函数，首先应该观察出（求）使f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立的t的取值范围，对该范围进行单调描述或解答，其次，对上一步的t的取值的反面再进行单调性描述或解答.

学生解单调区间时，习惯上是先求导函数f ′（x）后立即令f ′（x）>0（或f ′（x）<0），解之.在含参量的导函数情况下，这样很容易造成混乱而难以自拔.本模式关键是引导学生求了导函数f ′（x）后能宏观着眼，从f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立与不恒成立两个对立方面去求解.

例1设函数f（x）=x+1-aln（x+1），a∈R且a≠0，（1）求f（x）的单调区间；（2）比较x+1与ln（x+1）的大小，并证明.

解（1） f ′（x）=12x+1-ax+1=x+1-2a2（x+1），

f（x）的定义域为（-1，+∞）.

当a<0时，恒有f ′（x）>0，f（x）在定义域（-1，+∞）上递增.

当a>0时，令f ′（x）>0，即x+1-2a>0，

解之x>4a2-1，所以，f（x）的增区间为[4a2-1，+∞），

减区间为（-1，4a2-1）.

练习已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a ∈R.（1）讨论f（x）的单调区间；（2）设函数f（x）在区间（-23，-13）内是减函数，求a的取值范围.

模式二恒成立问题的推理淘汰型模式：对于求解含参量恒成立问题中的参量的取值范围，除常规的最值转化、自然的解不等式等方法外，还有一种方法：把参量进行特征分类，对各类进行自然的推理验证，合符恒成立的保留，不能恒成立的淘汰，保留下来的就是所求的.

例2（2007年全国Ⅰ高考题改编）设函数f（x）=ex-e-x，若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围.

解记h（x）=f（x）-ax=ex-e-x-ax，

h′（x）=ex+e-x-a.

因为ex+e-x≥2，

当a≤2时，恒有h′（x）≥0，h（x）在x≥0上递增，于是对所有x≥0，恒有h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥ax.

当a>2时，令h′（x）>0，即ex+e-x-a>0.（*）

设ex=t，t>0，解t+1t-a>0，

得ta+a2-42，

于是不等式（*）的解为

xlna+a2-42.

所以，h（x）在[0，lna+a2-42]上递减，

在（lna+a2-42，+∞）上递增.

由于h（0）=0，则当x∈（0，lna+a-4a）时，恒有h（x）<0，即f（x）

这就是说，a>2时，对所有x≥0，f（x）≥ax不成立.

综上，所求a的取值范围是a≤2.

通过观察，大多数学生解恒成立问题的习惯做法就是最值转化，高考复习显然不应该局限于此.模式二就是一种与传统方法有别的解题模式，逻辑性强，并常常伴随有模式一的影子.

练习已知函数f（x）=1+x1-xe-ax.

（1）设a>0，讨论y=f（x）的单调性；

（2）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）>1，求a的取值范围.

模式三对于二问或多于二问的题目，大多数情况都会有前对后的衔接——或前对后交接，或前对后的运用，或前对后的启示.

例3已知f（x）=lnx，（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）当02a（b-a）a2+b2.

本题（1）对（2）的衔接比较隐含，需借助最大值得到一个不等式，再运用于（2）.

解（1）略.g（x）的最大值为g（0）=0.

（2）由（1）得：当x∈（-1，0）∪（0，+∞）时，g（x）

由此，当0

所以f（b）-f（a）>2a（b-a）a2+b2.

衔接有时显现，有时又隐含.还有一种衔接是：前对后的启示，或方法，或形式，或内容等.

例4（2006年上海）已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在（0，a]上是减函数，在[a，+∞）上是增函数.

（1）如果函数y=x+2bx （x>0）的值域为[6，+∞），求b的值；

（2）研究函数y=x2+cx2 （常数c>0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数y=x+ax和y=x2+ax2 （常数a>0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+1x）n+（1x2+x）2（n是正整数）在区间[12，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）.

本题（1）、（2）可直接运用题设性质解答，（2）在运用时要结合复合函数的知识.（3）的解答则可由（1）、（2）的函数形式及其单调性得到启示：（1）是x的奇次幂，（2）是x的偶次幂，奇、偶的单调性有差异.

解（1）略. （2）略. y=x2+cx2是偶函数，减区间是（-∞，-4c]、（0，4c]，增区间是（-4c，0）、（4c，+∞）.

（3）可以把函数推广为y=xn+axn（常数a>0），其中n是正整数.

当n是奇数时，该函数的减区间是（-2na，0）、（0，2na]，增区间是（-∞、-2na]、（2na，+∞）.

当n是偶数时，该函数的减区间是（-∞，-2na]、（0，2na]，增区间是（-2na，0）、（2na，+∞）.

F（x）=（x2+1x）n+（1x2+x）n=C0n（x2n+1x2n）+C1n（x2n-3+1x2n-3+…+Crn（x2n-3r+1x2n-3r）+…+Cnn（xn+1xn），

因此，F（x）在[12，2]上是减函数，在[1，2]上是增函数.

所以，当x=12或x=2时，F（x）取得最大值（92）n+（94）n，当x=1时，F（x）取得最小值2n+1.

练习设f（x）=px-px-2lnx，（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求p的取值范围；（2）求证lnx≤x-1（x>0）；（3）求证ln222+ln332+…+lnnn2<12[（n-1）-（122+132+…+1n2）] （n∈N+，n≥2）.

衔接模式是命制高考大题普遍遵循的原则之一，一来数学本身注重运用，在一个题中就自成问题——结论——运用的系统，何乐而不为呢？二来节省学生考试时间，便于考查更多的知识点.导数考查从2004年全面铺开以来，全国卷大题的设计凡有两问或三问的都遵循了衔接模式，各省自主命题的同类问题没有遵循该模式的只占少数.其它大块的大题两问或多问的设计也大都遵循了这一模式.

以上三种模式是笔者多年高考教学的总结，具体，可行，有实用和导向双重功效，在导数解题中覆盖面较广，对指导高考数学学习颇有实效.