论数学的相似性教学

廖镜海

数学的相似性，表现在数学的各个分支，如方程与不等式的相似、分数与分式的相似、平面几何与立体几何的相似，等等。将这些相似的内容，集中在一起统一教学方式，分析共同点和差异点，称之为相似性的教学活动，通常会取得更加显著的教学成果。怎样才能够更好地进行相似性教学活动？教师应主要从三个方面的知识结构进行分析。

一、相似的教学内容一定要分内容的先后顺序，由简单到复杂

张光鉴在他的《教育科学与相似论》中提出，人们大脑的思维依赖于其在学习与实践活动中积累起来而贮存在大脑中的知识单元——相似块，人们总是先从事物的形式相似入手，然后才去认识事物运动的相似、结构的相似、联系的相似，进而认识到事物千变万化中那些相对不变的本质，最终达到对事物客观规律的认知。如学生学习一元一次不等式的时候，就会想到其和一元一次方程的相似点，从而学会解一元一次不等式。一元一次方程和一元一次不等式，从解答的角度来看，方程的解是单一的“x=a”形式，而不等式则是一个解集“xa）”的形式。所以在教学这两个内容的时候，教师应首先讲解一元一次方程，再进行一元一次不等式的分析，这样就遵循了学生思维认知发展的规律，循序渐进。

相似性具有将学生已有知识和经验、正在学习和将要学习的知识进行融会贯通的作用，因此就知识层次方面的关系而言，知识的学习应该遵循由简单到复杂的过程。学生只有掌握简单的基本方法，才能更好地学习后继的内容，从而激活、迁移大脑中已有的相似块与新的、具有大量相似性学习内容（经选择、重组后的学习内容）进行相似激活、相似匹配、相似重组、相似创造，最终对自己参与学习的方法、效果、过程进行相似反馈、相似调节、相似评价。

二、相似性的教学内容，强化两者之间的共同点

以一元一次方程和一元一次不等式为例。

可以看到，两者的共同点去分母、去括号、移项合并，这三个步骤是一样的，一定要强化这三个步骤，认识到一元一次方程和一元一次不等式的共同点。

共同点并不属于学习上的迁移，具体来说是知识学习的重复化过程，在这一过程中起着重要作用的是学生已有经验（知识结构）的概括性问题。将一元一次方程的三个步骤学好，当学习一元一次不等式的时候，也能运用自如。

相似内容的相似知识点，可以运用一样的理念去解决问题的一部分，也突出了相似的概念。其知识结构，实质上就是学生大脑中已有的相似板块。所以，在教学中不断认识、迁移、组合、更新和丰富学生大脑中赖以思维的相似板块，可以帮助、指导学生在最短时间内认清事物的本质，即在其大脑内部形成快速反应通道。在解决问题过程中，强化两者之间的共同知识结构，能大幅度地提高学习效果。

三、相似性的教学内容，差异点的分析是解决问题的关键

差异点，就是指相似性内容的不同之处的知识结构。当解决了共同点之外，差异点就成为了问题的关键。

以一元一次方程和一元一次不等式的最后一步为例。

这就是一元一次方程和一元一次不等式的差异点，其核心知识区别为：方程的两边乘以或除以不为0的数，方程仍然成立；而不等式的两边乘以或除以不为0的正数，不等式的符号方向不改变，不等式的两边乘以或除以不为0的负数，不等式的符号方向改变。

差异点在整个解题的过程中，所表达的就是新的知识点，是相似性内容之外的东西，是一个独立的知识结构，学生在学习的过程中，以对比的学习方式进行，更加体现出相似性内容的相似性，不相似性内容之间的联系、区别。正是差异点的存在，和共同点组成了新的知识，共同点能够帮助复习旧知识，而能否掌握差异点的核心知识，是新知识能否掌握的关键所在。

相似块的教学策略的实质，就是要在教学实践中，以知识和技能为中介，不断培养学生应用相似原理，掌握识别、发现、利用事物间在形式、过程、结果、结构、功能等方面存在的相似性的方法与策略。这就使学生个体在遇到学习、生活问题时，能够在大脑中迅速检索到原先储存着的一种相似板块（长时记忆即旧知识体系），准确地识别新旧知识间在本质上存在着的相似性。

四、案例分析

从分数到分式：①猜迷语7/8（打一成语）。（七上八下）。说明分数是由分子、分母、分数线构成的，它表示的是两个整数的比的形式。②请赋予7/8一个实际的意义（一个圆饼平均分成八份，取其中的七份）。问如果分成了x份、x+1份，取其中的七份应该如何表示？（学生回答：7/x、7/x+1）

用猜迷语的方法先引入分数，将分数的分母转化为含有字母的代数式，让学生能领会到两者的相似点和差异点。分数与分式的区别在于一个是两个整数的比而另一个是两个整式的比，而整式与分式的区别在于一个的分母是数而另一个分母中含有字母。分数拓展了学生进一步理解分式的条件，拓宽运用数学相似方法解决问题的思维方式。

责任编辑 罗 峰