2015年中考数学尺规作图题型分析

陈少毅

[摘 要]2011年版《义务教育数学课程标准》对尺规作图作了适当的调整，课程标准的变化，对2015年中考产生了较大的影响，各地出现了不少考查尺规作图的新题型，这些题型从条件的给出与作图意义上都有适当的创新，对促进新课标的落实和学生思维品质的提升具有积极的教学导向意义.

[关键词]数学尺规 作图题型 分析

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2016）110013

2011年版《义务教育数学课程标准》对尺规作图作了适当的调整，增加了如“过一点作已知直线的垂线”等六条尺规作图教学内容，并将教学要求从“了解尺规作图的步骤”调整为“不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由”.本文根据2015年中考数学尺规作图从条件给出与作图意义大体分为以下几种题型进行分析.

一、按照明确指令，完成基本作图

直接按照题目给出的要求完成基本作图，或在其基础上完成图形计算、证明是2015年中考出现较多的题型，这种题型有助于考查课标对尺规作图教学要求的落实情况.

猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明.

这类考题直接考查学生是否真正掌握了基本的作图和利用基本作图完成课标要求的作图教学内容，并在

此基础上与证明、计算有机地融合在一起，突出几何题型在推理能力培养上的作用.比如例2，它以尺规作图为载体，在学生正确完成角平分线、线段垂直平分线作图

的基础上，让学生经历观察猜想，推理验证的过程，题型

结构合理，达成了“在数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”的课程目标.

二、根据给定条件，确定方法作图

如果说直接按照指令完成作图是考查学生基本的操作技能，那么根据所给的条件自己选择、确定基本作图方法完成作图，则是兼顾了对基本作图原理和学生良好思维品质的考查.

【例3】 （2015·甘肃甘南藏族自治州）如图2，在平行四边形ABCD中，AB

（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若BC=8，CD=5，则CE= .

【例4】 （2015·山西）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.

（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母.

（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求DE的长.

从以上两个例题中可以发现，本类题型并没有直接给出完成哪种基本作图，必须根据给定条件依托作图原理判断作图方法.比如例3，由“到边AB，AD的距离相等”判断是作∠A的角平分线；而例4，由“⊙C与AB相切于点D”，可判断是过点C作直线AB的垂线段AD.这种从给定条件到作图方法的联系，需要学生综合所学的相应图形的性质和判定定理，通过猜想、操作、推理后做出正确判断，培养学生的逻辑思维能力，能有利于学生形成理性思考问题的意识.

三、观察作图步骤，说明作图依据

2011版课标对“作图道理”的关注，催生了2015年中考尺规作图的新题型，这类题要求学生按照题目描述的作图步骤，通过试题设置问题，让学生追问每一步操作背后的根据，培养学生的理性精神.

【例5】 （2015·广东梅州）如图4，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.

（1）求证：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长.

本类题型的共同特点是在试题中通过呈现作图步骤，给出所要求作（或求证）的图形的条件，并据此说明作图根据（或进行推理证明）.在例5中，由作图可得条件“AD=AB，CD=CB”，并在此基础上证明三角形全等.解决这类问题的关键是，引导学生结合所作图形，将规范的作图语句转换成证题所需的几何符号进行表达，利用所学的知识对命题进行逻辑证明.

四、分析背景材料，设计方案作图

设置适当的问题情景或给出新定义的图形概念，让学生在理解的基础上，根据题目要求按指定的任务，自我寻找解决方案进行作图，是一类极具挑战性的尺规作图新题型.

【例6】 （2015·陕西）如图5，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.

【例7】 （2015浙江台州）定义：如图6，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

（1）略；（2）略；

（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图7所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

（4）略.

让学生自我设计尺规作图题型，注重引导学生探索知识和结论，强调让学生在数学情景中分析问题，解决问题，需要学生有较强的阅读理解能力和较高的数学综合素养.比如例6，要求学生有很好的化归转化思想，能由条件“面积相等”联想到“等高等底”，并从找线段BC的中点转化为尺规作垂直平分线.又如例7，本题是2015年浙江省台州市的中考压轴题，它首先需要学生能理解线段“勾股分割点”的概念，在此基础上，还要根据图8中点C的位置，利用直角三角形三边关系判断线段AC只能是直角边，进而探索如何将CB分割为另一条直角边和斜边，本题作图方案的最终确定，对学生应用几何知识、动手操作能力、数学思想方法和数学活动经验的积累都有较高的要求（图8是一种正确的尺规作图结果）.

（责任编辑 黄桂坚）