砸缸救命转化思想另辟蹊径

崔美玲

砸缸救命转化思想另辟蹊径

崔美玲

“司马光砸缸”的故事在中国可以说是家喻户晓.故事说的是几个小朋友在一起捉迷藏，结果有个小朋友不小心摔了下来，正好摔倒在水缸里.水缸又高又大，如果不及时救助的话，那个小朋友会很快被淹死.别的小朋友都吓坏了，这时的司马光急中生智，抱起一块石头狠劲向水缸砸去，水缸被砸开了，水也很快流了出来，缸中的孩子得救了.“司马光砸缸”给我们的启示是遇到某些问题需要变换思维的角度，也就是转化思想来思考.如果司马光没有转化思想而只是按照一般的思路去救这个孩子的话，在当时的条件下肯定是救不了的.因此，司马光砸缸的故事启发我们在解答某些数学难题时，也应该转化一下数学思想，打破习惯思维，另找突破口从而解决问题.下面我们来看几道利用转化思想解决问题的题目.

例1（2015·河南）如图1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交A（B于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作C（D，交OB于点D.若OA=2，则阴影部分的面积为______.

【思路突破】连接OE，将图中不规则的阴影部分的面积转化为三角形OCE的面积与扇形OEB的面积之和减去扇形OCD的面积.

解：连接OE，则OE=OA=2，

图1　

∵CE⊥OA，∴∠ECO=90°，

∴∠EOC=60°，

∴∠BOE=∠AOB-∠EOC=90°-60°=30°，

∴S阴影=S△EOC+S扇形OEB-S扇形OCD

【解后反思】转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”，将“复杂”转化为“简单”，将“抽象”转化为“具体”，将“实际问题”转化为“数学问题”的解题方法，其核心就是将有待解决的问题转化为已知的明确解决的问题，以便利用已有的结论来解决问题.运用转化思想灵活解决有关数学问题，是提高解题能力的有效途径.我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说，转化思想几乎无处不在.

例2（2013·东营）如图2，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m.（容器厚度忽略不计）

图2　

【思路突破】壁虎与蚊子在相对的位置，将容器的侧面展开建立点A关于EF的对称点A′，容器的底面周长是1m，A′D的长度就应该是0.5m.利用勾股定理在Rt△A′BD中求出A′B的长度，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.

解：如图3，作点A关于EC的对称点A′，过点A′作A′D⊥BC，交BC的延长线于点D，则∠D=90°.连接A′B，则A′B即为最短距离.

∵容器的高为1.2m，底面周长为1m，蚊子在容器内壁离底部0.3m处，而壁虎在容器外壁离上沿0.3m处.

图3　

∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m.

【解后反思】对于这种立体图形求最短路径的问题，往往把图形展开转化成平面的问题加以解决.在解数学题时，所给的条件有时不能直接应用，此时就需要我们将所给的条件进行转化.如本题的最短路径问题是通过图形的展开，利用轴对称的性质将复杂问题简单化，转化为我们较为熟悉的勾股定理的应用问题.

例3（2014·凉山）某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园.甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲、乙两种树苗的成活率分别是90%和95%.

（1）若购买这两种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

（2）要使这批树苗的成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？

（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.

【思路突破】可以利用大家都熟悉的二元一次方程组解决第（1）个问题；而第（2）个问题很显然要用不等式来解决；至于第（3）个问题如果直接来求解，既麻烦还容易出错误，不妨把这个问题转化为函数问题，思路清晰，步骤简捷.

解：（1）设购甲种树苗x株，乙种树苗y株，

∴购买甲种树苗400株，乙种树苗600株.

（2）设购买甲种树苗z株，乙种树苗（1000-z）株，

由题意，得：

90%z+95%（1000-z）≥92%×1000，

解这个不等式，得：z≤600.

答：甲种树苗至多购买600株.

（3）购买树苗的总费用为W元，

由题意，得：

W=25z+30（1000-z）=-5z+30000

∵-5＜0，∴W随z的增大而减小，

∵0＜z≤600，

∴当z=600时，w有最小值，

W最小值=30000-5×600=27000（元）.

答：当选购甲种树苗600株，乙种树苗400株时，总费用最低，最低费用是27000元.

【解后反思】本题主要是把实际问题转化为一次函数增减性的问题.由总费用=购买甲种树苗的费用+购买乙种树苗的费用，得W=25z+30（1000-z）=-5z+30000.由一次函数性质，k=-5＜0，知道W随z的增大而减小，而0＜z≤600，所以当z=600时，总费用最低，最低费用为27000元.

由此可见，转化在解题过程中，能起到化难为易、以繁为简、变生为熟的效果.当面临一些难题时，一旦找到适当巧妙的转化，问题就会变得简单明了.转化思想贯穿在数学解题的始终，而转化思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题提供的信息，利用动态思维去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉转化思想，有意识地运用转化思想，去灵活地解决数学问题，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）