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砸缸救命转化思想另辟蹊径

2016-11-19崔美玲

初中生世界 2016年31期
关键词:乙种壁虎司马光

崔美玲

砸缸救命转化思想另辟蹊径

崔美玲

“司马光砸缸”的故事在中国可以说是家喻户晓.故事说的是几个小朋友在一起捉迷藏,结果有个小朋友不小心摔了下来,正好摔倒在水缸里.水缸又高又大,如果不及时救助的话,那个小朋友会很快被淹死.别的小朋友都吓坏了,这时的司马光急中生智,抱起一块石头狠劲向水缸砸去,水缸被砸开了,水也很快流了出来,缸中的孩子得救了.“司马光砸缸”给我们的启示是遇到某些问题需要变换思维的角度,也就是转化思想来思考.如果司马光没有转化思想而只是按照一般的思路去救这个孩子的话,在当时的条件下肯定是救不了的.因此,司马光砸缸的故事启发我们在解答某些数学难题时,也应该转化一下数学思想,打破习惯思维,另找突破口从而解决问题.下面我们来看几道利用转化思想解决问题的题目.

例1(2015·河南)如图1,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交A(B于点E,以点O为圆心,OC的长为半径作C(D,交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为______.

【思路突破】连接OE,将图中不规则的阴影部分的面积转化为三角形OCE的面积与扇形OEB的面积之和减去扇形OCD的面积.

解:连接OE,则OE=OA=2,

图1 

∵CE⊥OA,∴∠ECO=90°,

∴∠EOC=60°,

∴∠BOE=∠AOB-∠EOC=90°-60°=30°,

∴S阴影=S△EOC+S扇形OEB-S扇形OCD

【解后反思】转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,是指在解决问题的过程中,对问题进行转化,将“未知”转化为“已知”,将“陌生”转化为“熟悉”,将“复杂”转化为“简单”,将“抽象”转化为“具体”,将“实际问题”转化为“数学问题”的解题方法,其核心就是将有待解决的问题转化为已知的明确解决的问题,以便利用已有的结论来解决问题.运用转化思想灵活解决有关数学问题,是提高解题能力的有效途径.我们也常常在不同的数学问题之间互相转化,可以说,转化思想几乎无处不在.

例2(2013·东营)如图2,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m.(容器厚度忽略不计)

图2 

【思路突破】壁虎与蚊子在相对的位置,将容器的侧面展开建立点A关于EF的对称点A′,容器的底面周长是1m,A′D的长度就应该是0.5m.利用勾股定理在Rt△A′BD中求出A′B的长度,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.

解:如图3,作点A关于EC的对称点A′,过点A′作A′D⊥BC,交BC的延长线于点D,则∠D=90°.连接A′B,则A′B即为最短距离.

∵容器的高为1.2m,底面周长为1m,蚊子在容器内壁离底部0.3m处,而壁虎在容器外壁离上沿0.3m处.

图3 

∴壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m.

【解后反思】对于这种立体图形求最短路径的问题,往往把图形展开转化成平面的问题加以解决.在解数学题时,所给的条件有时不能直接应用,此时就需要我们将所给的条件进行转化.如本题的最短路径问题是通过图形的展开,利用轴对称的性质将复杂问题简单化,转化为我们较为熟悉的勾股定理的应用问题.

例3(2014·凉山)某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园.甲种树苗每株25元,乙种树苗每株30元,通过调查了解,甲、乙两种树苗的成活率分别是90%和95%.

(1)若购买这两种树苗共用去28000元,则甲、乙两种树苗各购买多少株?

(2)要使这批树苗的成活率不低于92%,则甲种树苗最多购买多少株?

(3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低?并求出最低费用.

【思路突破】可以利用大家都熟悉的二元一次方程组解决第(1)个问题;而第(2)个问题很显然要用不等式来解决;至于第(3)个问题如果直接来求解,既麻烦还容易出错误,不妨把这个问题转化为函数问题,思路清晰,步骤简捷.

解:(1)设购甲种树苗x株,乙种树苗y株,

∴购买甲种树苗400株,乙种树苗600株.

(2)设购买甲种树苗z株,乙种树苗(1000-z)株,

由题意,得:

90%z+95%(1000-z)≥92%×1000,

解这个不等式,得:z≤600.

答:甲种树苗至多购买600株.

(3)购买树苗的总费用为W元,

由题意,得:

W=25z+30(1000-z)=-5z+30000

∵-5<0,∴W随z的增大而减小,

∵0<z≤600,

∴当z=600时,w有最小值,

W最小值=30000-5×600=27000(元).

答:当选购甲种树苗600株,乙种树苗400株时,总费用最低,最低费用是27000元.

【解后反思】本题主要是把实际问题转化为一次函数增减性的问题.由总费用=购买甲种树苗的费用+购买乙种树苗的费用,得W=25z+30(1000-z)=-5z+30000.由一次函数性质,k=-5<0,知道W随z的增大而减小,而0<z≤600,所以当z=600时,总费用最低,最低费用为27000元.

由此可见,转化在解题过程中,能起到化难为易、以繁为简、变生为熟的效果.当面临一些难题时,一旦找到适当巧妙的转化,问题就会变得简单明了.转化思想贯穿在数学解题的始终,而转化思想具有灵活性和多样性的特点,没有统一的模式可遵循,需要依据问题提供的信息,利用动态思维去寻求有利于问题解决的变换途径和方法,所以学习和熟悉转化思想,有意识地运用转化思想,去灵活地解决数学问题,将有利于提高数学解题的应变能力和技巧.

(作者单位:江苏省丰县初级中学)

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