中考数学中的“归纳猜想”

史新景

中考数学中的“归纳猜想”

史新景

归纳猜想型问题主要分为数字归纳猜想和图形归纳猜想两类，要求同学们在观察、实验、归纳、类比等基础上大胆猜想，得出结论，并能对自己的猜想加以验证.同学们解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论.由于归纳猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，这类问题不但能培养同学们分析、归纳、解决问题的能力，也有利于培养同学们思维的深刻性和创造性，是目前中考的一大热点，此类题目一般难度不大，题型以选择题和填空题为主，分值在5分左右.

例1（2015·淮安）将连续正整数按如下规律排列：

若正整数565位于第a行，第b列，则a+ b=______.

【分析】根据题意可知每行都有4个数，所以用565除以4，根据商和余数的情况判断出正整数565位于第几行；然后根据奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，判断出565在第几列.

【解答】∵565÷4=141…1，

∴正整数565位于第142行，即a=142.

∵奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，

∴正整数565位于第五列，即b=5，

∴a+b=142+5=147.

【点评】此题主要考查了探索数列规律问题，注意观察总结出规律，并能正确地应用规律，

例2（2015·徐州）如图1，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_______.

图1　

【分析】首先求出AC、AE、AG的长度，然后猜测命题中的数学规律，即可解决问题.

【解答】根据正方形的性质，知：

【点评】此题主要考查探索图形变化规律的问题，需要结合正方形的性质、勾股定理及其应用，归纳得出正方形边长的变化规律.

例3（2015·盐城）设△ABC的面积为1，如图2（1）将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1交于点O，△AOB的面积记为S1；如图2（2）将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……；依此类推，则Sn可表示为______.（用含n的代数式表示，其中n为正整数）

图2　（1）

图2　（2）

图2　（3）

【分析】连接D1E1，因为△ABO与△OD1E1相似，得从而得到

△OAB的面积为△BE1A面积的又因为△BE1A的面积是△ABC面积的一半，所以△ABO的面积与△ABC的面积比为1∶3，以此类推可以得到答案.

【解答】如图3，连接D1E1，可知D1E1∥AB，得△ABO∽△D1E1O，

图3　

依此类推，Sn可表示为

【点评】此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，解题关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形.

例4（2015·衢州）已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系的位置如图4所示，A（-2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B的坐标是______.

图4　

【分析】每6次翻转为一个循环组循环，用2015除以6，根据商和余数的情况确定点B的位置，然后求出翻转前进的距离，过点B作BG⊥x轴于G，求出∠BAG=60°，然后求出AG、BG，再求出OG，最后写出点B的坐标即可.

【解答】因为正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，所以每6次翻转为一个循环组循环，因为2015÷6=335余5，所以经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转，点B处于在开始时点C的位置，如图5.因为A（-2，0），所以AB=2，所以翻转前进的距离为2×2015= 4030.过点B作BG⊥x轴于G，则∠BAG=60°，所以所以OG=4030+1=4031，所以点B的坐标为故答案为

图5　

【点评】本题考查了坐标与图形变化，正六边形的性质，确定出最后点B所在的位置是解题的关键，难点在于作辅助线构造出直角三角形.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）