只有明了，方能探究

高灵敏

只有明了，方能探究

高灵敏

每一道中考压轴题都蕴含多个知识点，这是对综合能力的一种考查.开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放等.就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种.下面我就以一道中考题为例和大家一起探究一下，希望能达到“窥一斑而知全豹”的目的.

（2015·黄冈）如图1，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

（1）求OE的长；

（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式；

（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

图1　

（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路突破】（1）由折叠的性质可得CE=CB=5，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE；

（2）设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（3）用t表示出CP、BP的长，假设DP= DQ，则△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；

（4）可设出N点坐标，分三种情况：①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标.

解：（1）由折叠可知，CE=CB=5，

∵CO=AB=4，

（2）设AD=m，由折叠可知DE=BD= 4-m，

∵OE=3，∴AE=5-3=2，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+ AE2=DE2，

即m2+22=（4-m）2，解得m=1.5，

∴D（-1.5，-5），

∵C（-4，0），O（0，0），

∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+ 4），

（3）∵运动时间为t秒，

∴CP=2t，BP=5-2t，

在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），

∴BP=EQ，即5-2t=t，

（4）如图2，

∵抛物线的对称轴为直线x=-2，

∴设N（-2，n），又由题意可知C（-4，0），E（0，-3），

设M（m，y），

①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，EN与CM互相平分，

∴线段EN、CM中点的横坐标相等.

又∵M点在抛物线上，

图2　

图3　

②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，EM与CN互相平分，

∴线段EM、CN的中点横坐标相等.

又∵M点在抛物线上，

③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，EC与NM互相平分，

∴线段NM、CE的中点横坐标相等.

综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（-6，16）或

图4　

【解后反思】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及勾股定理、待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质、中点坐标的表示等知识点.在（1）中知道折叠前后的对应边相等，就可利用勾股定理求出OE；在（2）中求得D点坐标是解题的关键；在（3）中将DP=DQ作条件，证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，当然也可以直接由勾股定理表示出DP2和DQ2，然后建立方程，解出t；在（4）中注意分类讨论思想的应用.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.

中考中探究型问题常见的有以下几种类型：

类型一：探究条件型

探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立.解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件.

类型二：探究结论型

探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论.解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论.

类型三：探究结论存在与否型

探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，以此为条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明.

类型四：归纳探究型

归纳探究型问题是指给定一些条件和结论，通过归纳、总结、概括，由特殊猜测一般的结论或规律.解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想，适量验证.这种类型常出现在找规律的问题中，一般在考卷中的身份为选择题的压轴题.

总之，开放探究题体现数学研究的思想方法和探究的过程，可以培养同学们的思维灵活性和发散性，能体会到学习数学的成功感，体验数学的美感.因此研究开放探究型问题是十分必要且有意义的.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）