动态问题多变化，动静结合巧分类——2015年河北省第26题思路突破与解后反思

渠英（特级教师）

动态问题多变化，动静结合巧分类——2015年河北省第26题思路突破与解后反思

渠英（特级教师）

图形运动问题是综合性比较强的问题，也是中考的热点，因此备受关注.它需要以变化的、运动的观点来处理问题，在解题中，要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题.下面结合2015年河北省压轴题给出其解题思路，帮助同学们加深理解.

（2015·河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ= 60°，OQ=OD=3，OP= 2，OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）.

图1　

发现：

（1）当α=0°，即初始位置时，点P_____直线AB上.（填“在”或“不在”）

求当α是多少时，OQ经过点B.

（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值.

（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影.

图2　

拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围.

图3　

探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值.

【思路突破】

发现（1）思路突破：

延长AB交直线OP于E，因为OA=1，∠O为60°，可求OE的长度等于2，即点E与点P重合，所以点P在直线AB上；当OQ经过点B时，如图4，由△AOB是等腰直角三角形，可知∠AOB为45°，所以旋转角α为15°.

图4　

发现（2）思路突破：

如图5，连接PA，若点P、A、O构成三角形，则有PA＞PO-OA，PO、OA长为定值，PA＞1，若点P、A、O不能构成三角形，即点P、A、O在同一条直线上，PA=PO-OA=1，所以，当α=60°时，PA最小，最小值为1.

发现（3）思路突破：

如图5，当点P恰好落在BC边上时，可构造Rt△PHA，由PH=1，PO=2，得∠HOP= 30°，所以，α=60°-30°=30°.

设半圆与BC交于点R，连接RK，作RE⊥OQ，则阴影部分是由△PKR和圆心角为60°

图5　

拓展思路突破：

如图3，由∠ANO=∠BNM，则tan∠ANO= tan∠BNM，如图6，因为OC＞OD=OQ，所以当OQ转到Q点在BC上时，BM即为x所取最大值.作QF⊥OD，在直角三角形FQO中，由勾股定理得：

图6　

探究思路突破：

因为OQ=OD，所以在运动过程中，半圆K可与BC，CD，AD相切三种情况.

①当半圆K与BC相切时，设切点为T，构造如图7的直角三角形，并作KG⊥OO′，OK=只要求出KG的长便可求sinα的值.

图7　

②当半圆K与CD相切时，即OQ与OD重合，sinα=sin60°=

③当半圆K与AD相切时，设切点为T，构造如图8的直角三角形，并作KG⊥OO′，OK=只要求出KG的长便可求sinα的值.

图8　

【解后反思】

1.关键步骤是哪几步？

拓展的关键步骤是利用三角函数或三角形相似将BN用字母x表示，而求x的取值范围时，只有OQ转到Q点在BC上时，BM最大；另外，探究中的关键步骤是分类讨论，半圆K与BC、AD相切容易想到，由于OQ= OD，半圆K与DC相切容易漏掉，构造直角三角形将∠α放在直角三角形中也是关键.

2.有什么值得一学？

旋转、三角函数、相似、直线与圆的位置关系、几何中的最值、分类讨论思想是本题涉及的知识，也是各地中考压轴题的常见类型.在复习时，应注意问题的全面性、知识的连贯性及知识的迁移.遇到直角三角形既可考虑相似又可考虑利用三角函数列方程，遇到运动问题要注意在利用分类讨论解决问题时，做到不重不漏.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）