例谈导数在函数单调性中的运用

☉江苏省南京市高淳区滨湖高级中学　何秋霞

例谈导数在函数单调性中的运用

☉江苏省南京市高淳区滨湖高级中学何秋霞

函数的单调性是函数最重要的性质之一，而利用导数解决函数的单调性问题，是近几年高考考查的重点和热点之一，也是学生感到比较棘手的一类问题.一般地，函数的单调性与其导函数的正负关系如下：在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减；如果f′（x）=0恒成立，那么函数y=f（x）在这个区间内是常函数.

运用1——讨论函数单调性

函数单调性是高中数学非常重要的一种性质，也是高考常考的一个知识点，特别是在新课程引入导数知识以后，它时常在压轴题中出现，让学生去讨论函数的单调性，或者是求某个区间上的最值，而此时，往往会涉及到分类讨论，这往往是学生的一个致命弱点：要么不讨论、要么讨论不完全、或者是标准很乱.下面结合具体的例子，谈谈如何处理这类问题.

案例1试讨论函数f（x）=-ax3+（a-3）x在区间（-1，1）上的单调性.

这类问题的单调性毫无疑问要用导数来处理，进而求函数的零点，再判断导数的符号，进而得到函数的单调性.

求导得f′（x）=-3ax2+（a-3）.

步骤1：看有没有零点.

当然，我们希望没有零点，也就是首先讨论没有零点的情况，没有零点可分为“没有意义”和“无解两种情况：

①当a=0时，显然方程f′（x）=0无解，此时f′（x）<0在区间（-1，1）上恒成立，所以函数f（x）=-ax3+（a-3）x在区间（-1，1）上单调递减.

②当0

步骤2：看几个零点.

当导函数有零点时，要关心导函数有几个零点，特别是导函数是二次函数能因式分解且不能比较大小时，学生很容易不假思索地看做两个而出现错误.

③当a=3时，令f′（x）=0，得x=0，此时f′（x）<0在区间（-1，1）上恒成立，所以函数f（x）=-ax3+（a-3）x在区间（-1，1）上单调递减.

步骤3：判断零点大小.

当导函数有多个零点时，且不能判断大小时，要讨论零点之间的大小关系，这也是学生很容易出错的一个地方.

由于这个问题中两个零点之间可以确定大小关系，因此无须讨论.

步骤4：看零点在不在所在区间.

要判断所求得的零点是否在所讨论的区间内，我们先讨论零点不在区间内的情况，再讨论零点落在区间内的情况.

④当a>3或a<0时，此时导函数有两个零点，而单调性讨论的区间为（0，1），因此，此时要注意零点是否在我们所要讨论的范围内，具体的说是：此时还要对参数a的范围进行细化：

a.当a>3时，函数y=f（x）在区间（0，x0）上单调递增，在区间（x0，1）上单调递减；

根据以上规则制定分类讨论标准或讨论顺序可以很顺畅地解决问题，也可以不重不漏地讨论所有要讨论的情况.可以说是用导数解决含参数函数问题在制定分类讨论标准的万能法宝.

运用2——在函数图像题中的运用

案例2函数y=f（x）的图像经过坐标原点，且它的导函数y=f′（x）的图像是如图1所示的一条直线，则函数y=f（x）的图像不经过第______象限.

运用3——应用单调性求参数范围

解决此类问题的依据是：一般地，可导函数f（x）在某个区间（a，b）内单调递增（或减）的充要条件是：

（1）∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0；

（2）在区间（a，b）的任何子区间上，f′（x）不恒为0.

案例3已知函数f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在区间）内是减函数，求实数a的取值范围.

解析：f′（x）=3x2+2ax+1.

本题还有其他解法，但转化为不等式恒成立更易于理解，且运算量小，但需注意的是要对等号验证，否则易产生错解.

变式2已知函数f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在区间）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

解析：f′（x）=3x2+2ax+1.

故g（x）min=

变式3已知函数f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在区间）内不单调，求实数a的取值范围.

解析：f′（x）=3x2+2ax+1.

因为函数f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R）在区间内不单调，所以函数f（x）在区间

由f′（x）=3x2+2ax+1=0，得

由函数在某区间上的单调性，求参数的取值范围问题，可以利用转化与化归的思想，将其转化为“不等式恒成立”问题，也可以利用函数与方程思想及数形结合思想，将其转化为“函数图像的交点”问题.

运用4——导数在函数中的综合应用

导数与函数、方程、数列、不等式、解析几何等知识的交汇与综合作为高考命题的一个方向，充分考查了学生综合分析问题、解决问题的能力.

证明：设h（x）=x3-x2+ln（x+1）（x>0），则h′（x）=3x2-2x+>0在x>0上恒成立.

所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）>h（0）=0，即x3-x2+ln（x+1）>0，所以ln（x+1）> x2-x3.对任意的正整数n，取

由此可得求解此类不等式证明题的步骤：

（1）通过审题，关键是构造出合理的函数；

（2）对函数求导，分析在定义域内的单调性、极值性、最值性，得到与结论相近或相似的不等式或某结论；

（3）通过具体数值代入上式所得结论即可.