以生为本关注细节激活思维——《指数函数及其性质》教学设计

☉江苏省南菁高级中学江荣芬

以生为本关注细节激活思维——《指数函数及其性质》教学设计

☉江苏省南菁高级中学江荣芬

一、教材分析

《指数函数及其性质》选自于苏教版高中数学必修1.本节是学生在初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算的基础上，进一步学习指数函数，以及指数函数的图像与性质的一节内容.通过本节内容的学习，可以对指数和函数的概念等知识进一步巩固和深化；同时，因为指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，所以学好本节内容不仅可以使学生初步体会到指数函数与函数这种特殊与一般的逻辑关系，还可以为后面的对数函数、三角函数等其他初等函数的学习提供研究的思路和学习的方法；另外，指数函数具有广泛而又深刻的实际背景，因此，指数函数对解决呈几何级数增长的实际问题起着重要的作用.笔者在教学中，通过引导学生对两类指数函数图像的绘制，让学生初步体会到“不完全归纳法”这种探索和发现事物规律的数学方法；通过指数函数性质的探究培养学生的观察能力；通过问题的解决进一步培养学生运用数形结合的思想解题的能力.另外，教学中让学生通过经历几种特殊指数函数图像的绘制，使他们感受到特殊与一般的关系，从而培养他们探究的兴趣和科学的探究方法；让学生通过体验指数函数性质的探究过程，使他们感悟到数形结合的魅力，从而感受到成功的快乐和挫折中的坚强，激发他们的创新意识，培养探究精神.

本节课笔者遵循“教师的主导地位和学生的主体地位相统一”的原则，采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学.为了发挥学生的主观能动性，提高学生的思维能力，确定了自主探究性学习法.根据作图的常规方法画出特殊指数函数的图像，类比一般指数函数图像；通过观察、分析、探索，合作交流并归纳出指数函数的性质.

二、教学流程

从指数函数的实际背景引入课题——构建指数函数的概念——画指数函数的图像——探索指数函数的性质——课堂小结与作业.

（一）创设情境，设疑激趣

问题1：你知道百万富翁破产的原因吗？

介绍百万富翁破产的原因是他碰上了“指数爆炸”.一种事物如果成倍成倍地增大（如2×2×2…），它就是以指数形式增大，可以用y=2x，x∈N*来表示.

问题2：《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”请写出取x次后，木棰的剩留量y与x的函数关系式.

设计意图：通过故事和名句的引入，让学生感受到我们生活中存在这样的指数函数模型，便于学生接受指数函数的形式，让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，从而引入两种常见的指数函数：①a>1，②0

（二）构建函数，形成概念

师：1.给出指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a>0，a≠1）叫做指数函数，它的定义域是R.

2.提出问题：为什么要规定a>0，a≠1？

先让学生分析，互相补充，师生共同总结：根据指数运算法则，a为负数或0时，ax可能会没有意义，例如，当a< 0时，取a=-2，则时无意义；当a=0时，则x=无意义；当a=1时，函数值恒等于1，这时，研究的意义不大.

3.判断下列函数是否是指数函数：

（1）y=3x；（2）y=-2x；（3）y=（-2）x；（4）y=πx；（5）y=2x+2；（6）y=（a-1）x.

设计意图：概念辨析是理解和掌握概念的重要一环，对教材进行补充是创造性使用教材的一种方式.及时补充了判断练习，让学生通过对这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样，即在指数函数的表达式y=ax（a> 0，a≠1）中：（1）ax前面的系数为1，（2）自变量x在指数位置，（3）a>0且a≠1.对“a>0，a≠1”这个数学规定的处理，教师通过和学生一起分析，得出为了使自变量可以取全体实数，我们规定：指数函数中底数大于0且不等于1.尽管这样解释可能不是很严格，但学生至少知道了这样规定是有其道理的.如果理解了指数函数，作为其反函数的对数函数中规定底数大于0且不等于1就不难理解了.在数学中，有许多的“数学规定”，有些数学规定是为了运算律在新的数系中仍然能够保持；一些规定是为了研究的方便、有意义；还有一些规定是为了整个数学系统的和谐.所以在教学时可以让学生思考比较，如果不这样规定，会出现什么情形，进而在比较的基础上体会规定的合理性和必要性，这样学生就会更容易理解并从内心接受这样的规定，从而解除认识上的困惑和障碍.

（三）类比旧知，探究方法

师：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

注重学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数.

引导学生独立思考，提出研究函数性质的基本思路.

生：（经过思考得到研究内容）定义域、值域、单调性、奇偶性、其他.

研究方法：画出函数图像，结合图像研究函数性质.函数图像是研究函数性质的直观工具.

设计意图：注重学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数.

①引导学生独立思考，提出研究函数性质的基本思路；

②突出数形结合，强调函数图像在研究函数性质中的作用.

（四）合作交流，动手画图

追问：从作出的图像中你能发现函数y=2x的图像与函数的图像有什么关系？可否利用y=2x的图像画出的图像？

设计意图：从抽象到具体，作特殊函数的图像，复习描点法画图，体验合作交流.

1.会用描点法画函数图像，提高学生动手能力.

2.可展示部分学生的图像，使学生体验动手的乐趣.

3.结合两个指数函数图像关于y轴对称时其解析式的特点，并利用轴对称画图像.

（五）类比一般，科学结论

教师运用几何画板动态演示出指数函数图像，并观察底数对图像特征的影响.

设计意图：再从具体到抽象引导学生通过选取不同的底数a（a>0且a≠1）画出y=ax的图像，并通过几何画板的动态演示给予学生更加直观的体验，从而得出科学结论.在此环节中，学生对具体的函数进行观察归纳，通过合作交流，加之多媒体的动态演示，将具体化为抽象，并感受了对底数的分类讨论的思维方式，从而达到了重点的突破.

（六）观察图像，归纳性质

由y=ax（a>1）与y=ax（0

设计意图：引导学生观察图像，概括性质，利用图像获取性质，利用图像便于发现，概括，记忆.

（七）掌握性质，学以致用

例1比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.50.3，0.81.2.

问题1：第（3）小题和（1）、（2）两小题有什么不同？

引导学生观察发现，底数不同，而且指数也不同.

问题2：能不能借助指数函数的单调性比较大小？

结论：不能，因为底数不同，不能构造同一个指数函数.

问题3：能否借助指数函数的其他性质比较大小？

引导学生重新审视性质后发现：指数函数的图像过定点（0，1），即a0=1=1.50=0.80，再根据指数函数的单调性，1.50.3>1.50=1，0.81.2<0.80=1，进而比较大小.

问题4：能否总结第（3）小题的方法？

结论：寻找“中间量”，通过中间量过渡，如“0”、“1”等.

问题5：追根求源，性质由图像得来，能否通过作图比较大小呢？

引导学生得出：1.50.3可以看成当x=0.3时y=1.5x的函数值，0.81.2可以看成当x=1.2时y=0.8x的函数值，在同一坐标系中作出函数y=1.5x和y=0.8x的图像，借助图像，发现一个在直线y=1的上方，一个在直线y=1的下方，故1.50.3> 0.81.2.实质是构造两个函数比较大小.

练习：1.比较下列各题中两个数的大小：

（1）1.012.7，1.013.5；（2）0.993.3，0.994.5.

2.已知下列不等式，比较下列m，n的大小：

（1）aman（a>1）.

设计意图：几个问题的设计环环相扣，问题3的设计引导学生回头看，除了单调性还有哪些性质，激发学生思考，在教师的启发下，利用指数函数的图像过定点（0，1）这个性质解决了问题，进一步促进学生理解掌握性质，并能灵活应用.通过问题4及时总结方法，到此本应结束，可又通过问题5调动学生的积极性，带领学生乘胜追击，扩大战果，找到问题的本质和根源.通过这一系列问题的探究，学生的思维被最大程度的地激活，学生对性质的理解深入透彻，极大地提高了学生灵活运用图像和性质的能力.练习的目的的是巩固新知，深化对函数单调性的理解.

（八）归纳小结，深化目标

引导学生一起总结：1.两个知识点：指数函数的定义，指数函数图像和性质；

2.两个基本图像；

3.三个数学思想和两个数学方法.

设计意图：引导学生归纳反思研究函数的内容，方法，授人以渔，深化数学思想.思想：函数思想，分类讨论的思想，数形结合的思想.方法：特殊到一般，不完全归纳.

这堂课的设计，笔者本着以学生为本的教育理念，避免填鸭式教学，试图把课堂交给学生，让学生真正地做课堂的主人.并且我多次设想我站在学生的角度，如何能够更好地学到本堂课的知识并且使学生的能力真正有所提高，从而反复优化.本节课的设计在实际教学中取得了很好的效果.我不禁想，要是每一节课，老师们都站在学生的角度，精心地设计，那我们的课堂一定会更加精彩纷呈.

三、几点思考

（一）以生为本

“以学生为本”是新课程的一个重要理念.学生是学习的主人，是课堂上主动求知和探索的主体.要提高教学的有效性，就必须从学生的实际出发，从关注学生做起，根据学生的实际情况设计教学方案，组织教学活动.本课例情境引入环节中放弃了课本给出的与学生的认知仍存在一定距离的两个例子：细胞分裂和放射性物质衰变，而是选择了符合学生“最近发展区”的问题情境；在研究指数函数图像和性质环节，让学生动手画，让学生讨论，让学生发现，让学生找规律，让学生总结，老师不包办代替.

（二）关注细节

“天下大事必做于细，天下难事必做于易”.教学细节是发生在课堂教学过程中的充满思辩与灵性的课堂场景.细节虽小，但在促进学生发展中的意义与价值却不可小觑.关注教学细节，其实质是精致教学流程，突出教学重点，提高教学效益，绽放个性和魅力.细节决定成败，精彩的教学细节不仅可以使教学过程充满智慧和创造，甚至会给我们带来意外的惊喜和收获.教师在教学活动中，应该时刻关注细节问题.本课例中，在概念理解环节中，教师没有“回避”规定“a>0且a≠1”这个细节，帮助学生消除认识上的困惑和障碍；在研究指数函数图像和性质环节，先让学生自主作图，再利用几何画板演示，要比纯粹用几何画板演示效果好，因为可以让学生复习作图的步骤：列表，描点，连线.

（三）激活思维

数学离不开思维，缺乏思维的学习活动，实际上是无效或低效的教学.因此，在概念教学中，教师应在认真研读教材的基础上，挖掘概念的本质，关注思维的参与度，使概念教学能真正达到发展学生思维之目的.问题是思维的起点，课堂上精心设置一系列问题，这些问题决定着教学的方向和顺序，问题之间自然连接，引发学生积极思考.本课例的数学应用环节中，教师设置了五个问题，教师启发铺垫，学生思维活动深层参与，突破了难点，提高了教学活动的有效性.