想说爱你不容易——一道应用题的考试情况分析及教学反思

☉江苏省平潮高级中学罗春香

想说爱你不容易——一道应用题的考试情况分析及教学反思

☉江苏省平潮高级中学罗春香

一、问题的提出

应用题教学是中学数学教学中一个不可或缺的重要组成部分，其对培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，以及提高学生的阅读理解、分析问题、数据处理等方面的能力都起着至关重要的作用.无论是江苏高考还是平时的模拟测试，应用题都是同学能否得高分的关键.然而在我们的日常教学中，应用题的教学却不免令人担忧，学生对应用问题的解决普遍存在着畏惧心理，应用题已成为学生数学学习中的一个“软肋”.下面从我校近期组织的一次模拟考试的一道应用题的得分情况谈起：

题目如图1，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，在其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台.现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上.

图1　

（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值.

（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角）

分析：（1）过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，CA⊥AB，则摄像水平视角为∠ABE时，水平摄像视角最小.

（2）当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大.答案是圆C的最大半径为

本题主要考查学生利用直线与圆的有关知识或者解三角形的有关知识解决实际问题的能力，以及学生的计算能力.

二、考试情况调查分析

我校是江苏省四星级普通高中，学生为全区的中等偏上生源，学生基础较好.

本题满分为16分，（1）（2）各8分.而本次考试我校第（1）问均分为5.4分，第（2）问均分为3.2分，远远低于我们的预估.带着种种疑问，笔者与相当一部分学生和一些教师进行了交流，发现了问题所在.

三、考试中暴露的问题

1.学生方面存在的问题

（1）一些学生看不懂题目的意思，不知道其考查什么知识.

（2）对题目中的条件不知如何使用，不会将问题进行转化，找不到各个量之间的内在关系，以及问题和条件之间的相互联系.

（3）在建模的过程中，抓不住问题的重点，找不到解题的关键，不能根据问题需要选择相关信息建立数学模型，思维处于混乱状态.

（4）对建好的数学模型，不知道该如何去求解，缺少必要的解题策略，还经常会出现知识性和计算性等方面的错误.

（5）作为教学主体和教学对象的学生的心理因素对应用题教学也存在不小的影响.一方面，由于应用题阅读量大、信息量多、关系复杂、语言抽象等因素，对学生的阅读理解、问题转化、抽象概括、数学建模、数学运算等能力都有较高的要求，其中任何一个环节出现差错都会导致问题无法得到圆满解决，这对学生心理是一个巨大的挑战.很多学生对应用题有畏惧恐慌的心理，根本无法静下心来进行思考：审题时心慌意乱，抓不住重点，理不清关系，解题时，缺乏自信，常常半途而废.另一方面，传统的教学模式及长期以来形成的学习习惯，使学生面对问题时，懒于思考，没有解决问题的欲望，对问题解决缺乏动力，总是寄希望于教师的讲解，对学习存在严重的依赖心理.

2.应用题教学中存在的问题

在与部分教师的交流中，笔者发现，虽然应用题教学的重要性已经被大家所认可，但应用题教学的现实却不容乐观，主要表现为：

（1）教学资源方面的问题.对大多数教师而言，日常应用题教学的例题习题基本都来自于教材，虽然新课程对中学数学教材进行了不少的改革，重视了对应用题的教学，但仍然存在一些不足：首先，教材中对应用题配备的数量仍然偏少，教学资源不足；其次，教材中应用问题的背景相对简单，实际问题数学化比较直观，深度不够；再者，教材应用题背景、内容偏于传统，不够广泛.

（2）教学过程存在问题.传统的教学模式对学生应用能力的发展产生了严重的制约作用：①重理论知识，轻实际应用，在课堂教学中，教师更愿意把时间和精力投入到数学理论的教学中，对应用题的教学则往往一带而过，省时省力.②重教师传授，轻学生探究，在教学中，教师对问题的讲解往往是全力以赴不遗余力，唯恐自己的讲解不够详细不够到位，学生则是安安静静地坐在教室里，“欣赏”教师的讲解，“做好”课堂笔记，缺少对问题解决的参与与探究.③重问题解决，轻过程反思，对问题的解决过程往往浓墨重彩，而对问题的反思则常常寥寥数语，教学仅满足于低层次上的问题解决，缺乏对问题的深思、方法的提炼、规律的总结，解题教学的目的无法得到体现，导致学生课堂上听得懂，课后做起题来仍不得要领.

四、对应用题教学的一些建议

要提高应用题教学质量，切实提高学生的应用能力，笔者认为可以从以下几个方面着手：

1.丰富应用题的教学

丰富应用题教学首先要丰富教学资源，应用题的取材，除了直接利用教材中已有的应用题，也可以对教材中一些潜在的应用素材进行改编和加工，还可以从日常生活、社会生产中收集一些数学应用问题，供学生思考和解决；其次，要丰富教学内容，应用题的实际背景要丰富，要尽可能涉及生产生活、现代科技等各个方面，考查的数学知识、思想方法要丰富，要尽量覆盖中学数学所要求掌握的内容；最后，丰富教学方式，对应用题的教学，不但要重视课堂教学，还应该重视社会实践，让学生走出课堂，参与社会，用数学知识解决一些实际问题，让应用题教学延续到课堂之外.

2.打造生态的课堂

数学教学的过程应该是一个数学活动的过程，在这个过程中，学生是教学的对象，更应该是活动的主体，教师是知识的传授者，更应该是活动的引领者，对应用题教学尤其应该如此.应用题一般要求学生将一个用文字语言叙述的实际问题，概括抽象成一个数学问题，并应用数学知识加以解决，其中需要经历问题阅读、信息收集、数据整理、数学建模、问题求解等一系列的复杂的思维过程，这样的过程应该让学生去亲身经历.让学生通过对问题的独立思考、主动探索、相互交流获得问题的解决，教师为学生的活动搭建平台提供帮助.这样的教学，不但能培养学生善于思考、主动探索的学习习惯，体验问题解决所带来的愉悦，克服对应用题的畏惧心理和对教师的依赖心理，而且能让学生的思维在相互交流中不断完善不断提升并内化为自己的发现和探索能力，使自己的应用能力得到主动的发展.

3.重视数学问题的解决

构建好数学模型之后，对应用问题的解决最终归结为对数学问题的解决，而要真正解决数学问题，应用题教学中还应密切关注以下两点：

（1）关注学生对基础知识的掌握.数学模型中经常会涉及函数、不等式、三角、数列、导数、几何等方面的知识，对相关的知识点的掌握不牢固，对公式、法则的运用不熟练都有可能使我们的解题陷入困境.因此，我们在教学中要时刻关注学生对基础知识的掌握情况，及时进行必要的梳理，为解题扫除知识障碍.

（2）关注学生的梳理能力.学生对问题能不能进行合理的分解，有效的变形，能不能为问题设计合理运算途径，实施简捷的运算，计算是否正确，会不会进行必要的估算或近似计算等直接关系到问题能不能得到圆满的解决.因此，我们在教学中要关注学生的梳理能力，重视对学生运算技能的培养，为解题扫除运算障碍.

4.让总结反思成为能力提升的途径

解题本身不是教学的目的，问题的解决不应该成为教学的终点，通过对问题的反思进行规律的总结并能进行数学运用才是教学的根本，也才能使学生的数学能力得到有效提高.因此，在我们的教学中，要重视对问题反思的教学，问题解决后，要及时引导学生对自己的解题过程进行反思（包括对题意的理解，问题解决的思路，推理运算过程，以及问题解决中所涉及的数学知识和思想方法等）.让学生通过反思自己在解题过程中的经验和不足，总结数学活动中运用到的数学思想、建模的方法和问题解决的策略等，逐步掌握应用题常见的解题思路，形成自己的解题经验.这样，学生对新问题的探求才能变得有序可循，学生的思维才能更上一个层次，也才能形成学生自己的应用能力.

当然，对学生应用能力的培养绝非一朝一夕所能完成的，但是，只要我们的教学能够遵循科学的方法，并且能够有计划有步骤地进行实施，那么经过两三年的厚积，学生的应用能力一定能得到显著的提高.