定常Stokes问题的新混合元格式

司红颖

(商丘师范学院 数学与信息科学学院,河南 商丘 476000)



定常Stokes问题的新混合元格式

司红颖

(商丘师范学院 数学与信息科学学院,河南 商丘 476000)

利用Green公式将定常的Stokes问题转化为一个与其等价的新的混合变分格式,基于新的混合变分格式,对速度和压力分别用双二次元和双线性元进行逼近.该格式避开了H(div)空间,使得空间构造简单；同时在特殊的单元剖分下通过定义插值算子,利用有限元插值理论和一些特殊技巧，得到了速度的能量模及压力的L2模的最优误差估计.

定常的Stokes问题;新混合元格式;LBB(leak before break)条件;最优误差估计

由于标准有限元法对空间的光滑度要求非常高,在实际应用中产生了许多困难,故产生了混合有限元方法,其一般理论是于20世纪70年代创立的[1-2].相关文献提出了一种改进方法[3-4],这种方法虽然条件较多,但较文[1-2]中的条件减弱了,能够适用于更多问题.定常Stokes问题是流体力学中的一个非常重要的问题,它具有很好的数值计算效果,对于该问题的研究已经取得一系列的研究成果[5-11].但对Stokes问题混合有限元方法的研究一直是一个热点问题,因为它是一种能够同时计算其速度和压力近似解的方法.但这些理论都需要满足H(div)空间的限制.论文在文[12-13]的启发下,给出了定常Stokes问题的一种新的混合元格式,并在特殊单元剖分下,避开了H(div)空间,利用有限元插值理论和一些特殊技巧，得到了速度的能量模及压力的L2模的最优误差估计.约定文中出现的常数C都与剖分h无关,在不同的地方取不同的值.另外,文中所采用的Sobolev空间的记号均与文[14]中的记号意义相同.

1 定常Stokes问题的基本理论

考虑下面的Stokes问题:求(u,p)满足

(1)

其中：Ω⊂R2是有界凸多边形区域,u=(u1,u2)为流体速度,p为压力,f=(f1,f2)为已知外力 .

(2)

其中：a(u,v)=∫Ωuvdx,b(v,q)=-∫Ωqdivvdx,f(v)=∫Ωfvdx.

设Th是Ω的拟一致三角形或矩形剖分,h是剖分的最大直径,则问题(2)的离散形式为:求(uh,ph)∈Hh×Mh满足

(3)

从此格式中可以看出,Hh,Mh分别逼近H,M.在文[16]中已经证明了此格式有如下误差估计

针对该混合变分形式,最早提出混合元格式的是Hood-Taylor[16],该格式至今仍被应用,但该格式需要满足离散的LBB(leak before break)条件，且对u,p都是用二次元进行逼近,给实际应用带来了许多困难.论文在文[12-13]的启发下，利用Green公式将问题(1)转化为一个与其等价的新的变分形式,这种格式绕开了H(div)空间,使得空间构造简单,对p用一次元逼近仍可以得到上面的估计结果.

2 定常Stokes问题的新混合变分形式

考虑定常Stokes问题:求(u,p)满足

(4)

(5)

其中：a(u,v)=∫Ωuvdx,b(v,q)=∫Ωvqdx,f(v)=∫Ωfvdx.

设Th是矩形剖分,其长为2h1,宽为2h2,通过连接对边中点得到4个子矩形T1,T2,T3,T4，如图1所示.

图1 单元剖分Fig.1 Element subdivision

定义

令I2u是双二次拉格朗日插值多项式,定义在T的节点ai(i=1,2，…,9)上,I1u是定义在4个子矩形T1,T2,T3,T4上的分片双线性插值多项式.有下面的引理成立：

引理1[17]∀u∈C(Ω)，有

(6)

则问题(5)的离散形式为：求(uh,ph)∈Xh×Mh满足

(7)

在实际应用中要验证离散的LBB条件,因此往往用Fortin准则来代替.

定义1 称连续双线性泛函b(.,.)是在Xh×Mh上满足离散的LBB条件,如果存在与h无关的常数β>0，使得

(8)

引理2 如果b(.,.)满足连续的LBB条件,有

引理3[3]如果引理2成立,则问题(7)的解存在唯一且有下面的误差估计成立

定理1 如果存在rh:X→Xh，使得对于任意的v∈H，都有b(v-rhv,qh)=0,∀qh∈Mh，‖rhv‖1≤C‖v‖1.那么离散问题(7)存在唯一解(uh,ph)∈Xh×Mh,如果问题(5)的解(u,p)∈H3(Ω)2×H2(Ω)，则有下面的误差估计

∫Ωqdivvdx=∫Ωqdivwdx,∀q∈V1.

(9)

由Green公式,(9)式等价于∫ΩI1ψdivvdx=∫ΩI1ψdivwdx，∀ψ∈V2，即

定义算子I(w,u)=∫Ωw·(I1u)dx,∀w∈V2,有

对一个固定的v定义函数g(ψ)=∫Ωv·(I1ψ)dx,显然g(ψ)在V2上连续,由Lax-Milgram引理知下面问题有唯一解,求w∈V2，使I(w,v)=g(v)，∀v∈V2,因此(9)式存在唯一解.记w∈V2是(9)式的解,则存在算子rh:H1(Ω)→V2,有w=rhv,∫Ω(v-rhv)·ψdx=0,∀ψ∈V1.

由rh的性质,rh:H→V2∫Ωdiv(rhv-v)·ψdx=0,∀ψ∈V1，从而

从而离散的LBB条件成立,故(7)式存在唯一解(uh,ph),且有

定理1得证 .

[1] BREZZI F.On the existence,uniqueness and apporimation of saddle-point problems arising from lagrangian multipliers [J].SIAM J Numer Anal,1974,13:185-197.

[2] BABUSKA I.Error-bounds for finite element method[J].Number Math,1971,16:322-333.

[3] 罗振东.混合有限元方法基础及其应用[M].北京:科学出版社,2006.

[4] 王烈衡,许学军.有限元方法的数学基础[M].北京:科学出版社,2004.

[5] TEMAM R.Navier-Stokes equation,theory and numerical analysis[M].Amsterdam：North-Holland,1984.

[6] GIRAULT V,RAVIART P A.Finite method for Navier-Stokes equation,theory and algorithms[M].Berlin:Springer-Verlag,1986.

[7] 王烈衡.Stokes 问题的混合有限元分析[J].计算数学,1987,9 (1):70-81.

[8] BREZZI F,FORTIN M.Mixed and Hybird finite element methods[M].Berlin:Springer-Verlag,1991.

[9] HAN H D.A finite element approximation of Navier-Stokes equations uesing nonconforming elements[J].J Comp Math,1984,2 (1):77-88.

[10] CROUZEIX M,RAVIART P A.Conforming and nonconforming finite element methods for solving stationary Stokes equations[J].Rairo Anal Numer,1973，7 (3):70-81.

[11] HAN H D.Nonconforming element in the mixed finite element method[J].J Comp Math ,1984 ,2 (3):223-233.

[12] 司红颖,邓末冰,刘鸣放.二阶椭圆问题的Q2-Q1混合元格式[J].河南大学学报 (自然科学版),2014,44 (5):522-525.

[13] 司红颖,陈绍春.半线性椭圆问题Petrov-Galerkin逼近及亏量迭代[J].计算数学,2014,36 (3):316-324.

[14] CIARLET P G.The finite element method for elliptic problems[M].Amsterdam:North-Holland,1978.

[15] GIRAULT V,RAVIART P A.An analysis of a mixed finite element method for the Navier-Stokes equations[J].Numer Math，1979,33:235-271.

[16] HOOD P,TAYLOR G.Navier-Stokes equation using mixed interpolation,finite element method in flow problems[M].Columbia:UAH Press,1974.

[17] 司红颖,陈绍春.双调和方程混合元的一种新格式[J].计算数学,2012,34 (2):173-182.

(责任编辑 朱夜明)

New mixed element schemes for steady Stokes problem

SI Hongying

(School of Mathematics and Information Science,Shangqiu Normal University,Shangqiu 476000，China)

In this paper,the new equivalent mixed variational form for steady stokes problem was presented by using Green formula.Based on the mixed variational form for steady stokes problem,the velocity and the pressure were approximated by biquadratic and bilinear elements separately,and avoided the H(div) space,and made the space structure simple.Under the special rectangular subdivision,the interpolation operator was defined.Then by using special qualities of interpolation and some novel skill,the error estimates of optimal order were derived both in the norm for the velocity and the L2-norm for the pressure.

steady Stokes problem;new mixed variational form;LBB(leak before break) condition;optimal error estimate

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.06.004

2015-05-06

国家自然科学基金资助项目(11371103)

司红颖(1979-),女,河南商丘人,商丘师范学院讲师.

O175

A

1000-2162(2016)06-0015-04