OST方程初值问题的低正则性

2016-11-18贾红艳王宏伟

安徽大学学报（自然科学版） 2016年6期

关键词：红艳安阳正则

贾红艳,王宏伟

(安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳 455002)

OST方程初值问题的低正则性

贾红艳,王宏伟

(安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳 455002)

OST方程；初值问题；低正则性

笔者将研究如下一类OST方程的初值问题,它是Ostrovsky等[1]在研究非线性长波的辐射不稳定性问题时建立的数学模型

(1)

其中：u=u(x,t)是未知函数，H表示Hilbert变换

OST方程是一类具有扰动项的KdV方程.许多学者对这种方程进行了研究,得到了大量的研究成果[2-8].各种非线性项的OST方程初值问题的适定性,也受到了广泛关注.如Alvarez[9]在Hs()(s>1/2)和(s≥1)中分别证明了具有平方非线性OST方程初值问题局部解和整体解的适定性.Zhao[10-11]利用Bougain空间中的双线性估计在(s>-5/4) 中证明了局部解的适定性.对具有3次非线性项的OST方程,Carvajal[12]在(s≥0)中证明了初值问题局部解的适定性.对非线性是2的OST方程的初值问题,目前还没有相关结果.笔者将利用Carvajal[13]的方法研究具有非线性项2的OST 方程的初值问题.通过构造一类新的辅助空间,利用中的先验估计,在索伯列夫空间(s>-1/2)中证明了局部解的适定性.主要结论如下:

定理1 如果s>-1/2,那么对任意的φ∈Hs(),存在,使得方程(1)有唯一解u(t)满足.另外,方程的解映射

是光滑的,且

(2)

1 先验估计

引理1 如果a>0,b<0,f(t)=taetb,那么对任意的t≥0,有

引理2 如果0

即

引理3 如果0

(3)

证明首先估计‖V(t)φ‖Hs,有

利用引理2,得到

注意到

即I2≤C.引理3得到证明.

引理4 如果-1/2

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

合并(7),(8)两式有

(9)

把(6)和(9)式代入(5)式中,得到

作变量替换t′=tτ,有

根据a的定义和s的范围,上式右端项的积分是有限数,有

(10)

(11)

类似(9)式,可以估计

(12)

把(6),(11)式代入(10)式,得

(13)

作变量替换t′=tτ,利用上式,有

上式右端的欧拉积分是有限的,于是

(14)

合并(10)和(14)式,引理得到证明.

是从[0,T]到Hs+μ的连续映射.

应用Lebesgue控制收敛定理,当t→t0时,I1(t,t0)→0.类似地,

故当t→t0时,I2(t,t0)→0.引理证毕.

2 主要定理的证明

定理1的证明：如果s>-1/2,φ∈Hs(),0

定义一个映射

定理得到证明.

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(责任编辑朱夜明)

On low regularity for initial value problem of OST equation

JIA Hongyan,WANG Hongwei

(School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University,Anyang 455002，China)