鸡兔同笼问题新探

罗晓喻

摘 要：鸡兔同笼问题是小学数学中比较有趣味性的题目，而且与生活实际的联系比较密切，但是解题过程较为烦琐，小学生往往感觉题目难度大。这主要是因为小学生正处于人生发展的初级阶段，思维能力与知识储备都不足。为此教师在教学的过程中应注重培养小学生的理解能力，尝试采取多样化的教学方法，促使他们快速掌握所学知识。现本文就从《九章算术》中的鸡兔同笼问题入手，进行相关练习题的变式与规律探究，以帮助小学生巩固自身知识，更好地提高他们的水平与能力。

关键词：小学数学；应用题；鸡兔同笼；解题方法

鸡兔同笼并不是一种题目，而是一类题目的总称，指的是把两种有联系的事物放在一起，已知这两种事物的总和与它们本身特有的数量关系，然后分别求解这两种事物数量的一种题型。教师在教学的过程中应该注重鸡兔同笼问题的变式训练，以使小学生在理解的基础上真正掌握该类题型，做到举一反三。

一、《九章算术》中的鸡兔同笼问题

小学数学中的鸡兔同笼问题来自于古代数学的《九章算术》，解题方法多样化，分为假设法、列表法与方程法等，在现阶段的小学数学教学中，一般采用的是方程法。教师在教学的过程中应根据小学生的不同知识水平与性格特点，教授给他们不同的解题方法，以便小学生更好地掌握知识。

例如在应用题“已知笼子里有一些鸡和兔子，它们的总数为24只，从笼子下面数脚的只数为62，试求鸡和兔子分别有多少只”中，教师可进行如下教学设计：

师：通过题目我们发现，鸡的数量+兔子的数量=24，一只鸡有两只脚，一只兔子有四只脚，大家思考一下，应该怎么计算呢？

生1：要是笼子里全部都是鸡就好了，都是2只脚比较容易计算。

生2：都是鸡的话，脚的数量就是2×24=48只，比62少14只。

生3：这样的话，再增加兔子的数量就好了，我们可以列出表格：

生4：通过表格，可以得出鸡的只数为17，兔子的只数为7。其实，减少一只鸡增加一只兔子，脚的数量就会增加2，这样的话用（62-2×24）÷2=7，也可以得出兔子的数量，进一步再求鸡的数量就可以了。

生5：那我们也可以假设笼子里全部都是兔子。

师：大家都总结得很好，这是我们鸡兔同笼问题中常用的假设法。那还有没有其他的解题方法呢？比如说我们之前学过的方程法。

生1：可以假设鸡的数量为x，兔子的数量就是24-x。列算式的话是2x+4（24-x）=62。

生2：也可以假设兔子的数量为x，鸡的数量就是24-x，列算式4x+2（24-x）=62。

师：相对来说，方程法比假设法还要简单一点。那么还有没有其他的方法呢？

在上述案例中，学生较好地掌握了鸡兔同笼问题中的假设法与方程法。这样教师在教学的过程中还应注意让小学生总结与思考不同解题方法的优缺点，以便在后续做题中做到有的放矢。

二、变式训练中的鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题中涉及的变式题较多，例如例题中是鸡和兔子两种动物，但在有的题型中会涉及三种动物。这样教师在教学的过程中就应该设计多样化的变式题题组，帮助小学生掌握与深化所学知识。

例如在应用题“鸡、鸭、狗三种动物一共有34个头，108只脚，试求狗的数量有多少只”中，小学生潜意识里会觉得要分别求出鸡、鸭、狗的数量，才可以解决问题。但是涉及三种动物的应用题之前没有学过，难免会不知道如何下手。教师在教学的过程中要善于引导小学生，进行如下教案设计：

师：要想求狗的数量应该怎么计算呢？

生：需要知道鸡和鸭分别是多少只，才能根据题目的已知条件求出狗的数量。

师：那我们可不可以求出鸡和鸭的总数，然后再进一步求狗的数量呢？

生1：这样做也是可以的，而且题目里面没有让我们求解鸡和鸭各有多少只，求它们的总数就可以了。

生2：这样的话，我们就可以把鸡和鸭看作是一种动物了，反正鸡与鸭都只有两只脚，这样就可以按照鸡兔同笼问题进行解答了。

生3：我们可以通过列方程的形式来快速求解，即设狗的数量为x，那么鸡和鸭的数量总和就是（34-x），可以列出算式4x+2（34-x）=108，可以得出狗有20只，鸡和鸭一共有14只。

师：是的，在遇到变式题目的时候，我们首先要做的就是看能不能根据已经学过的鸡兔同笼问题进行计算。例如，在如下变式题中，蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在三种昆虫共有22只，腿和翅膀的数量分别为140条和28对，试求三种昆虫各有多少只？这道题根据我们所学的鸡兔同笼问题应该怎么计算呢？

生1：题目中不仅有动物腿之间的关系，还有翅膀之间的关系，这应该怎么计算啊？

生2：可以根据变式训练1进行计算，反正蜻蜓和蝉都有6条腿，先求出它俩的总数，再根据翅膀分别求就可以了。

师：是的，在遇到比较有难度的数学应用题时，还是应该保持良好的解题心态，一步一步解决就好了。那大家知道怎么列算式了吗？

综合上述案例，教师在教学的过程中，还可在鸡兔同笼问题的基础上设计更多有趣味性的题目，一方面激发小学生学习的积极性与主动性，另一方面还能有效提升小学生的数学思维与能力，取得较好的教学效果。

三、多样化练习中的鸡兔同笼问题

当然，鸡兔同笼问题的变式题并不是简单地与动物相关的题目，只要题目中所涉及的事物之间有一定的联系，都可以看作是鸡兔同笼问题的变式题。教师在教学的过程中应该组织小学生做好多样化练习题的训练，真正锻炼他们解决实际问题的能力，有效提高数学课堂教学的效率。

例如在应用题“汶川地震的时候，小明把储钱罐里1角和5角的硬币全部捐给了灾区，已知硬币总数为50枚，一共为13元，试求1角和5角的硬币分别为多少枚”中，教师就可引导小学生把1角和5角的硬币问题看作是鸡兔同笼问题，根据方程法列式x+5（50-x）=130或者5x+（50-x）=130即可，当然还应注意单位之间的换算。同理，在解决与比赛相关的题目时，也可从鸡兔同笼问题的思维入手，例如在题目“在某比赛中，规定赢一场球得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队一共踢了12场，其中输了6场，一共得分16分，试求该球队胜了多少场”中，可假设胜的场数为x，则一共平了（6-x）场，列式为3x+（6-x）=16，即可求出正确答案。当然也可以采取列表假设法的形式求解：