培养逆向思维，提升学生能力

江苏省金湖县第二中学 王吉明

培养逆向思维，提升学生能力

江苏省金湖县第二中学 王吉明

逆向思维顾名思义，与正向思维相反的思维过程，就是按研究问题的反方向思考的一种方式。在解题中从问题的正面思考时往往会陷入困境，此时若从问题的反面思考则会绝处逢生，使问题迎刃而解。逆向思维是克服了正向思维的心理定势，突破旧有思维框架，产生新思维，发现新知识、新解法的重要思维方式。而很多数学知识都具有可逆结构，因此在数学教学过程中加强逆向思维的训练，不仅可以加强对原有知识的理解，而且还可对知识从不同的角度、不同的层次和不同的侧面去探索，从而使问题解决，既而提高学生分析问题和解决问题的能力。

一、利用数学定义、公式、定理的逆向表达能力，在解题过程中注意逆向思维能力的训练

1.利用定义的可逆性

数学中的定义是通过揭示其本质而来的，定义都是充要条件，均为可逆的。所以，其命逆题也是成立的。因此，定义即是某一个数学概念的判定方法，也是这一概念的性质。在教学中应充分利用这一特征，尤为注意定义的逆用解决问题。

例1

故a的取值范围是0＜a＜1.

本题逆用函数奇偶性、单调性定义，不仅“吸收”了-f（1-a2）前的“-”号，“剥去”了f（1-a）＞f（a2-1）的”壳”，而且更能使学生深刻理解奇函数，减函数概念的意义。

2.利用公式的可逆性

数学公式本身是双向的，由左至右和由右至左同等重要，但习惯上讲究由左至右或化繁为简的顺序。为了防止学生只能单向运用公式，教师应通过对公式的推导、公式的形成过程与公式的形式进行对比，探索公式能否逆向运用，从而培养学生逆向思维能力和逆用公式，鼓励他们别出心裁地去解决问题，在“活”字上下工夫。

例2

已知10m=2，10n=3。求（1）103m-2n（2）102m+n的值。

3.利用定理的可逆性

每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，引导学生探求定理的逆命题的真假性，不仅使学生学到的知识更完美，激发学生去钻研新知识，而且能培养学生的创造性能力，把定理题设和结论在一定条件下进行转换，而形成有异于原命题基本思想的新题型。例如：公差不为0的等差数列｛an｝的前n项和是 n的二次函数，想一想它的逆命题成不成立。即如果数列｛an｝中，Sn=an2+bn+c（a≠0），这个数列是等差数列吗？由此得到一个重要结果：若数列｛an｝的前n项和Sn=an2+bn+c（a≠0），则数列成等差且公差不为0的充要条件为c=0。

例4

根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形。

本题利用勾股定理的逆定理，证明了△ABC是直角三角形。

二、在解题中注意逆向思维能力的训练

我们知道，解数学题最重要的是寻求解题思路，这就需要我们解题之前，综合运用分析，或先顺推，后逆推；或者先逆推，后顺推；或者边顺推边逆推，以求在某个环节达到统一，从而找到解题途径。由此可见，探求解题思路的过程也存在着思维的可逆性，它们相辅相成，互相补充，以达到此路不通彼路通的效果。中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及思维的逆向性。在数学解题中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。

1.分析法解题体现逆向思维

例5

设a，b，c为任意三角形的三边边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，求证：3S≤I2＜4S.

证明：

由于I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S，

故欲证3S≤I2＜4S，只需3S≤a2+b2+c2+2S＜4S，只需证S≤a2+b2+c2＜2S，

即ab+bc+ca≤a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

只需证a2+b2+c2≥ab+bc+ca且a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

先看a2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+-2ca，

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，显然，此式成立.

再看a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，

只需证a2-ab-ac+b2-ab-bc-ca＜0，

只需证a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a＜0）；

只需证a＜b+c且b＜c+a，由于a，b，c为三角形的三边长.显然，结论成立，故3S≤I2＜4S.

本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去很难“接受”的3S≤I2＜4S，转化为较为熟悉的ab+bc+-ca≤a2+b2+c2＜2ab+2bc+2ca，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多。

2.正难则反解题体现逆向思维

例6

已知三个x的方程，x2-4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0、x2+2ax-2a=0中至少有一个有实根，求实数a的范围。

分析：如果直接从题设入手，需讨论任一个、任二个方程有解和三个方程同时有实解的情况，共有种情况，显然这种做法运算量大，影响解题速度，若从反面入手，先考虑三个方程都没有实根时a的取值范围。

Δ1=（-4a）2-4（-4a+3）＜0

Δ2=（a-1）2-4a2＜0

Δ3=（2a）2-4（-2a）＜0

再根据补集的思想，就得到原题中a的取值范围为：

3.反证法体现逆向思维

例7

4.举反例解题体现逆向思维

反例在数学发展中和证明一样占着同样重要的地位，这是因为在数学问题的探究中，猜想的结论未必正确，正确的要求给予严格证明，谬误的则靠反例来否定.

反例，在解诸如填空、判断、选择题时，更是一种简单易行的方法；在解题后，对解题过程和结果的检验，也是一种行之有效的方法；在审题时，可帮助我们找出由于种种原因而出现的错题，以避免浪费精力和时间。如此等等，不能低估了反例的作用。

三、学生逆向思维能力的培养

作为老师如何培养学生的逆向思维，通过怎样的途径来提升学生的逆向思维能力呢？

1.备课中注意逆向思维教学思考，并具体落实到课堂教学中

备课是教学的重要环节。在备课中不仅注意反映教材的重点、难点，还要注意到对学生思维能力的培养，特别要注意逆向思维的运用。因此经常逆向设问，以培养学生的逆向思维意识。

同时教师应经常地、有意识地从正反两反面探索数学问题，引导学生从对立统一中去把握数学对象，解决数学问题。

教师在总结思维过程时应告诉学生有的问题从“正面”不易解答时，从其“反面”思考往往有突破性效果。通过分析启发很容易掌握，既激发了学生解题兴趣，又培养了学生正确思维方法和良好的思维习惯，思维能力逐步提高。因式分解一章教材本身就明确提出了“因式分解与整式乘法的互逆关系”，教学中抓住“互逆”“反过来”这条主线，就能让学生真正理解因式分解的意义，并得到逆向思维的训练从而提高思维能力。

2.作业辅导及考查以巩固对逆向思维的理解和掌握

学生学数学听懂了离掌握还有距离，特别是对常规思维的背离。因此要让学生真正具有逆向思维的能力，除了课堂上的分析、引导、启发外，要坚持分层次地对学生进行辅导。布置作业、考试检查，经常地得到锻炼，体会逆向思维解题的奇妙，增强学习的兴趣和主动性。

在平时的练习中指导学生要善于用逆向思维去思考问题，不仅要知道逆向思维的主要方法，还要经常地从各个方面强化逆向思维，而不同的方面又可运用不同的方法，因此要注意逆向思维各个方面的巩固。因此在教学中要有意识地编排顺、逆双向配对的练习题供学生训练。

综上所述，教师在培养学生的逆向思维能力时，要充分利用教材的内容，在定义、公式、定理等的教学中强化逆向思维，在习题课、练习课中强化逆向思维，有意识、有目的地对学习进行“正向思路变成逆向思路”的训练。同时将对学生逆向思维能力的培养贯穿于备课、讲课、作业辅导、分层练习等整个教学过程之中。针对学生的特点，循序渐进，持之以恒，从而培养学生良好的思维品质，增强学生创造力，提高学生的数学素养。