整体呈现 逐步建构

付培兵

前不久，笔者聆听了江西省学科带头人邱艳萍老师执教的“垂直与平行”一课，感悟颇深。垂直与平行是两直线在同一平面内的两种特殊的位置关系，它是在学生认识直线与角的基础上安排的教学内容，也将是今后学生进一步认识长方形、正方形，学习平行四边形、三角形和梯形，以及学习几何学的基础，更是培养学生空间观念的载体。邱老师的教学设计采用整体呈现、逐步建构、逐个突破的方法。首先让学生画图初步感知同一平面两条直线的位置关系，再引导学生观察分类，紧紧抓住“以分类为主线”展开活动，通过操作、验证使学生逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，而相交中又有成直角和不成直角两种情况，最后，顺水推舟揭示概念。这样教学，让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，自主完成对知识的建构。

【片段一】画图感知，研究两条直线的位置关系

1.学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系

师：老师这儿有一张纸，如果把这个面无限扩大，闭上眼睛，想象一下，它是什么样子的？在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线。想一想，这两条直线的位置关系是怎样的？会有哪几种不同的情况？

（学生想象。）

2.学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系

师：每个同学手中都有这样的白纸，现在我们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。

（学生试画，教师巡视。）

【赏析】邱老师创设纯数学研究的问题情境，带领学生先进行空间想象，把两条直线的位置关系画到白纸上，然后进行梳理分类，用数学自身的魅力感染学生。之所以这样设计，原因有两个：一是学生对直线的特点已有了初步认识，有一定的知识基础和空间想象能力，对两条直线的位置关系会有更丰富的想象，而生活中平行、垂直的现象很多，情况较单一，不利于展开研究；二是四年级学生在各个方面都处在一个转型阶段，它应为高年级学生较深层次的研究和探索打好基础，做好过渡，逐步培养学生对数学研究的兴趣，用数学自身的魅力来吸引、感染学生。

【片段二】观察分类，了解平行与垂直的特征

师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。能把它们分类吗？在小组中交流一下。

（学生小组讨论、交流。）

1.小组汇报分类情况

预案：a.分为两类：交叉的一类，不交叉的一类；

b.分为三类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类；

c.分为四类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类，交叉成直角的一类。

当学生在汇报过程中出现“交叉”一词时，教师随即解释：也就是说两条线碰一块儿了。在数学上我们把交叉称为相交，相交就是相互交叉。

（教师适时板书：相交。）

2.引导学生分类

在同一平面内两条直线的位置关系分为相交、不相交两类。设想：当出现b情况后，教师要引导学生自己发现问题，通过想象直线是可以无限延伸的，并把直线画得长一些，使学生明白，看起来快要相交的一类实际上也属于相交，只是我们在画直线时，无法把直线全部画出。

当出现c的分法时，开始同b的做法一样，先使学生明确快要相交的一类也属于两条直线相交的情况。再使学生明确分类时要统一标准。相交的一类，快要相交的一类，不相交的一类，这样分类是以相交与否为分类标准。而相交成直角是根据两条直线相交后所成角度来分类的。二者不是同一标准，所以这种分法是不正确的。从而达成分类的统一，即相交的一类、不相交的一类。

在分类过程中重点引导学生弄清两条直线看似不相交而事实上是相交的情况。

师（小结）：在同一平面内，画两条直线会出现几种情况？

【赏析】邱老师以分类为主线，通过小组汇报、班级争论、教师点拨等活动，逐步分析出两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况，是一种由“面”到“点”的研究。这样设计，不仅符合学生的认知规律，也更有利于学生展开探索与讨论，研究的意味浓了。两次分类、分层理解，既满足了他们交流交往的感情需要，又是一个练习语言表达的时机，既能提高学生的空间想象能力，又培养了学生初步的问题研究意识。学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，这里运用分类比较、观察发现等数学学习方法，让学生在不断比较、辨别的过程中，探究、发现、感悟概念的本质，为深化理解概念的本质属性创造了条件。

【片段三】归纳认识，明确平行与垂直的含义

1.揭示平行的概念

师：那剩下的这组直线相交了吗？（没有）想象一下，画长点，相交了吗？（没有）再长一点，相交了吗？（没有）无限长，会不会相交？（不会）

（教师边提问边用课件演示。）

师：这种情况你们知道在数学上叫什么吗？（互相平行）知道为什么要加“互相”吗？（学生回答）谁能说说什么是互相平行？（指名回答）。

（课件出示互相平行的概念。）

2.提示垂直的概念

师：咱们再来看看4条直线相交的情况。你们发现了什么？

生：都形成了四个角。

师：你认为在这些相交的情况中哪种最特殊？

生：相交形成了四个直角。

师：两条直线相交成直角，而其他情况相交形成的都不是直角，有的是锐角，有的是钝角。

师：你是怎么知道他们相交后形成了四个直角的呢？

（学生用三角板、量角器验证，教师板书：成直角、不成直角。）

师：像这样的两条直线，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。用自己的语言说说什么是互相垂直。

（教师指名学生回答，课件出示互相垂直的概念。）

【赏析】邱老师用多种感官让学生感受数学，培养数学素养。在本课中学生不是用耳朵听数学，而是用眼睛观察，在探讨、交流、分析中获得数学概念，拉近了抽象的数学概念与生活实际的距离。都说兴趣能让思维飞翔，但翅膀不丰满有力，想飞得高远，那绝对要事倍功半，教师教得累，学生学得更累。有了丰满的翅膀，思维才能翱翔。