关于空间解析几何中向量与距离教学的一点探讨

许明义　张鸿俊　曾　柯　唐明明　聂存云



关于空间解析几何中向量与距离教学的一点探讨

许明义1张鸿俊1曾柯1唐明明1聂存云2

（1.湖南工程学院 计算机与通信学院；2.湖南工程学院 理学院；湖南 湘潭 411104）

空间解析几何是多元函数微分学和积分学的基础内容之一。本文联系初等方法的解析几何、立体几何内容，结合向量代数方法的空间解析几何知识点，将几何学习中的常用的点、线、面等内容融会贯通，有助于空间解析几何的教与学，达到理想的教学效果。

空间解析几何；向量与距离；教学方法

空间解析几何是高等数学中的重要内容之一，它不仅是高中解析几何、立体几何内容的延伸，更是学习多元函数微分学的重要基础[1-3]。该部分内容教学直接影响高等数学教学效果。下面主要针对该部分内容，讨论采用何种方式进行教学才能得到理想的教学效果和教学目标:由初等方法引入，引导学生利用向量及其代数运算来推导与计算点与点、直线、平面的距离、两条平行直线与异面直线之间距离的解析计算方法，其中向量代数方法几何意义形象直观。该教学思路与方法将上述基本知识点进行串联、融会贯通，有助于学生理解掌握空间解析几何的知识点。

1　由具体到抽象导出两点间的距离

这样的教学方式，将两点间距离的概念由简单到复杂，由具体到抽象逐步深入的讲解，能培养学生的抽象、归纳能力，理解向量的模、距离等概念。

2　由向量点积的几何意义导出点到直线、平面的距离

教学中，首先可让学生回忆平面解析几何中的求解思路：求出过点P的垂直于L的垂线 L：，联立直线L、L的方程，计算交点坐标并利用两点间的距离公式，求得。

图1.（a）点P到直线L的距离.(b)点P到平面的距离.(c) 两条平行直线间的距离. (d)两个平行平面间的距离. (e)两异面直线间的距离.

接着，引导学生思考利用向量的代数运算，两个向量的点积的几何意义：一个向量在另一向量上的投影，计算点到直线的距离。直线L的法向量，为直线上任一点,则=, 点到直线L的距离为在法向量上的投影的绝对值，即

然后，将该思想方法推广到点到平面的距离。

这样由计算复杂的初等方法到几何意义清楚的向量点积导出需要计算的距离，可加深学生对此类距离的理解。

3　由向量点积与混合积的几何意义导出两空间直线间的距离

可进一步推广，计算两个平行超平面间距离。

也可在一个平面上任取一点，再利用点到平面的距离公式进行计算。这种由低维空间到高维空间的推导和抽象可培养学生的抽象、归纳的思维方式。

4　结　语

文章讨论了在高等数学的教学中，如何利用初等方法和向量代数方法推导了解析几何中关于点、线、面之间的距离的计算等知识点，由浅入深、将之融汇在一起，有助于解析几何的学习与理解，有利于提高高等数学的教学效果。

[1]吴赣昌.高等数学[M].北京:中国人民大学出版社,2011.

[2]李淑玲.数学学习与研究[J].吾喜杂志.2011,(5).

[3]刘连璞.平面解析几何方法与研究[M].北京:北京大学出版社,1999.

（责任编校：何俊华）

2016－03－20

湖南科技学院教改课题（湖南科技学院教字〔2014〕34号），湖南省教改项目（湘教通〔2014〕247号，）

许明义（1997－），男，湖南武冈人，湖南科技学院计算机与通讯学院14级学生。

聂存云（1974－），男，副教授，博士，研究方向为微分方程数值解法与高等数学教学。

G640

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1673-2219（2016）05-0016-03