高等数学教学结构的设计与优化

石循忠



高等数学教学结构的设计与优化

石循忠

（湖南科技学院 教务处，湖南 永州 425199）

优良的教学结构是提高高等数学教学质量的关键。文章以“曲率”为案例，探讨了高等数学教学结构的宏观设计与微观设计的内容和方法；并在案例分析的基础上，揭示了不断优化高等数学教学结构的途径与过程。

高等数学；教学结构；案例分析；曲率

高等数学是高校理工科专业、经济与管理类专业（乃至文科专业）的基础课程，在传播近现代数学知识、培养学生思维能力以及提升综合素质等方面发挥着重要功能，而且在培育理性精神、建设校园文化方面起到特殊作用。要提高高等数学的教学质量，课堂教学这一环节至关重要。在学生学习基础有保证的前提下，如何激发学生的学习兴趣，又成为高等数学课堂教学的核心问题。从事高等数学的教师们通过展示数学的应用价值、挖掘数学的审美文化、渗透数学的思想方法等途径培养学生的学习兴趣，取得了良好的教学效果，也出台了有价值的教研成果。但笔者认为，要使学生对高等数学保持稳定的学习兴趣，优良的教学结构至关重要。让学生体验数学知识自身的魅力，是激发学生学习兴趣的关键。如何科学设计教学结构，并通过分析与反思不断优化教学结构，就显得尤为重要。本文结合教学研究案例，谈谈高等数学教学结构的设计与优化问题。

1　教学结构的设计

何克抗教授指出：教学结构，是指在一定教育思想、教学理论、学习理论指导下，在某种环境中展开的教学活动进程的稳定结构形式[1]。教学结构的设计可从宏观和微观两个层面来进行，宏观设计是对教学活动的整体与框架的设计，微观设计是对教学活动的局部与细节的设计。宏观设计是微观设计的基础，而微观设计又是宏观设计的补充，二者相辅相成，不可或缺。

1.1宏观设计

高等数学教学结构宏观设计的具体任务是，在钻研教学大纲、利用教学资源、反复分析教材、全面了解学生的基础上编制教学路线图。教学路线图，就是对教学要素和教学过程的合理的步骤预设，体现师生主体的活动，控制课堂节奏和活动效果[2]。数学教材是数学知识的载体，数学知识的发生过程、来龙去脉，在数学教材中往往按照逻辑顺序予以呈现，采用“概念—定理—证明—例题—习题”的方式展开。在编制教学线路图时，经常要照顾数学知识的逻辑顺序。例如，高等数学中“曲率”[3]的教学路线图可设计如图1。

1.2微观设计

在宏观设计下的教学路线指引下，对课堂教学的具体环节进行细化，是高等数学教学结构微观设计的任务。只有通过微观设计，才能使教学路线具有较强的操作性。微观设计主要是对课题引入、环节过渡、师生互动、媒体运用的预设与描述。

（1）课题引入。“好的开头等于成功的一半”。课题引入对培养学习兴趣、激发学习动机、保证课堂教学的顺利进行至关重要。教师们在课题引入方面积累了多种方式，如复旧引新、问题导引、数学应用、运用史料、关注时事、学科交叉等。但这些引入方式归结起来不外乎于两种，即内部引入和外部引入。数学知识系统之间的逻辑关系称为“内部”，数学在生活、生产及其它学科中的来源与应用称为“外部”。无论是“内部”还是“外部”，只要能较好地调动学生的学习积极性，就是成功的引入方式。事实上，高等数学教学更多采用内部引入。内部引入的经典做法是“在新旧知识的联系与矛盾上切入新知识”，联系是基础，矛盾引冲突，二者缺一不可。“曲率”的课题引入可简洁的进行：前面研究了曲线的凹凸性，即描述曲线弧的弯曲方向（可举例）。但通过观察发现，同样的弯曲方向，曲线在不同的位置的弯曲程度是不同的。怎样定量刻画曲线弧的弯曲程度呢？这就是今天要研究的课题——“曲率”。

（2）环节过渡。要使学生保持高度数学的听课热情，仅有课题引入还不够，还需在教学路线图描述的教学片段之间的自然连接上做文章，即设计环节过渡。环节过渡的优良设计，可使教师思路清晰而不混乱，更可使学生感觉充实而不紧张。环节过渡一般有承接式、推进式、转向式、综合式等，可根据不同的教学内容而定。如从引入课题“曲率”到研究“弧微分”的过渡是承接式；从“平均曲率”到“某一点的曲率”、从“曲率的定义”到“曲率的计算”是推进式；弧微分从“直角坐标方程的表达式”到“极坐标方程、参数方程的表达式”是转向式；从“曲率”到“曲率圆”、“曲率中心”、“曲率半径”是综合式。

（3）师生互动。师生互动可以调动学习兴趣、活跃课堂气氛。师生互动有教师“临时动念”的灵感，但更多地需要预先设计。师生互动与前面的“课题引入”、“环节过渡”直接相关，教师往往在“引入”和“过渡”的点上设计导引式提问，来实现师生互动。教师的提问，可由学生回答，或只问不答，或自问自答，但总比没有提问要好。随着年龄的增大，学生的回答方式逐步趋于理性与冷静，尤其高等数学的教学，课堂上表面上并不显得很热闹，但有一种“思维的暗流”，是“有序的思维流动”，学生在“火热的思考”中，体验数学“冰冷的美丽”。

（4）媒体运用。传统的教学手段是“黑板+粉笔”，尽管看起来显得过时，但还大有存在的市场。对高等数学教学而言，教师边讲、边画，这种教学节奏往往还发挥着特殊的、甚至不可替代的作用。当然，随着现代教育技术的发展，多种教学媒体层出不穷，从教具到幻灯片，从展示台带计算机，从教学软件到网络资源，显示出强大的冲击力。如何科学运用多种媒体，也是教师需要具体设计的。如“曲率”概念的发出过程，可以通过呈现图片、设置动画来实现：

动画1 一点沿着曲线变动时，相应的切线也随之变动，观察两条切线之间夹角的变化大小。

2　教学结构的优化

高等数学教学结构的设计，是教师在课前凭借经验（直接的或间接的）对教学路线和细节的预设。由于教师和学生的各种原因，教学结构的实现不一定能“如愿以偿”，就算实现了，也不一定是优良的教学结构，因此教学结构还有个不断优化的过程。高等数学教学结构的优化，是建立在反映教学结构的案例分析之上的。

2.1案例分析

教学案例即用于教学的案例，是关于某个课堂教学具体情况的记录，是对真实发生的事件或情境的完整描述。高等数学教研室在公开课教研活动中，执教教师展示的具体课堂、听课教师记录或记忆的真实课堂，就是高等数学的教学案例。教研室通过集体评课的方式，剖析教学案例，分析教学结构，对改进和优化教学结构是至关重要的。

事实上，只有解剖几节课，教师才能学会上课，一个教师的专业成长就是在“上课—评课—反思—上课”循环往复的过程中逐步提高教学水平的。如针对“曲率”这一教学案例，可作如下分析：

（1）宏观设计的分析

先讲弧微分，还是先讲曲率的概念与计算呢?

（2）微观设计的分析

课题“曲率”采用内部引入，从研究“弯曲方向”到研究“弯曲程度”，倒是自然的。但为什么要研究曲线的弯曲程度，尤其在某点处的弯曲程度，不结合实际问题（如铁轨弯道连接），这种研究的必要性在哪里，学生感到迷惑。

弧微分的“直角坐标方程”表达式出来以后，马上给出“参数方程”、“极坐标方程”的表达式，将知识系统化后，才考虑曲率的实际应用（如铁轨转弯连接问题），值得思考。学生学到某个数学知识后，马上想运用它来解决实际问题（正是课题引入时要考虑的实际问题）。在没有看到应用价值时，就把数学知识拓展到系统化程度，学生感到不安。

2.2结构优化

从案例分析中看出，数学知识的逻辑顺序与学生学习的认知顺序之间是有出入的，有时甚至还有很大不同，高等数学教师在考虑教学顺序（设计教学路线）时，应该在数学知识的逻辑顺序和认知顺序之间取得某种平衡，并更多地照顾学生的认知顺序，这是提高高等数学教学质量的根本保证。不然学生则会认为“数学知识是完美的，数学学习是乏味的，学到知识是无用的”等等。在分析学生的认知顺序时，参照数学知识的历史顺序是有价值的。我们假定学生学习数学知识与数学家研究数学在本质上是一致的，只有难度大小和周期长短不同。

在案例分析的基础上，综合考虑各方面因素，改进预先的教学设计，优化教学结构，是自然要考虑的问题。例如，“曲率”的教学路线图（图1）可改进为图2。

图1.“曲率”的教学路线图

图2.改进后的“曲率”教学路线图

至于“参数方程”、“极坐标方程”情形的弧微分表达式以及相应的曲率计算公式，可作为弹性内容，根据教学时间灵活处理，或作为选学内容，放到课后完成。当然，图2还不是“曲率”的最优教学结构，可以说永远找不到最优的教学结构。

3　结束语

高等数学的教学结构有一个不断优化的过程，在这一过程中，教研活动是基本载体。高等数学教研室确定一个主题，选择一个课题。首先组织教师集体备课，做好教学结构的“设计”；然后是上课和听课的环节，属于教学结构的“实施”；接着安排集体评课，进行案例分析，完成教学结构的“优化”；最后总结教学结构的一般经验，旨在做好下一轮的“设计”。我们探索高等数学教学结构一般规律的过程，就是“设计—实施—优化—设计”的循环往复、以至无穷的过程。

[1]何克抗.教学结构理论与教学深化改革(上),电化教育研究[J],2007,(7):5-10.

[2]涂荣豹,宁连华,徐伯华数学教学案例研究[M]北京北京师范大学出版社,2011．

[3]黄立宏,廖基定高等数学(上)[M]上海复旦大学出版社,2006．

（责任编校：宫彦军）

G642.0

A

1673-2219（2016）05-0001-03

2015－12－26

湖南省教育科学“十二五”规划课题“地方高校数学文化传播研究”（项目编号XJK013CGD061）。

石循忠（1966－），男，湖南宁远人，教授，硕士生导师，研究方向为数学教育与数学文化。