延迟退休问题的数学模型

王新华

（深圳职业技术学院， 广东 深圳 518055）

延迟退休问题的数学模型

王新华

（深圳职业技术学院， 广东 深圳 518055）

根据国家养老保险政策给出了养老金收入和支出计算模型，在存在缺口且采用延迟退休策略的情况下，建立了延迟时间计算模型．利用渐次阻滞增长分段作Logistic回归，并通过Matlab编程，得到了2015-2053年中国城镇在岗职工人均工资的预测值．以2007年1月已满22岁参保的新人为例，计算出在不同退休年龄、不同利率情况下的缺口值及退休和延迟退休时间．依据计算结果，给出了过渡期政府补贴、按年龄渐次放开二胎生育和个人帐户资金购买低风险理财产品的填补缺口对策．

养老保险；缺口；延迟退休；阻滞增长；模型

延迟退休是当前社会的热点议题，基于人口、资源、经济的可行性研究通常给出问题的定性描述[1-3]，基于缺口的研究通常呈现问题的定量依据[4,5]，基于统计分析的研究在呈现定量依据的同时也推断问题的解决方略[6,7]，基于模型的研究则常提供量化算法[8,9].

本文综合统计分析、模型和缺口，先用分段Logistic回归预测出中国城镇在岗职工的平均工资，然后根据国家政策建立养老金缺口和延迟退休时间计算模型，再利用“重心法”和Matlab编程计算出退休及延迟退休时间.

1 国外延迟退休经验

目前中国一般性退休年龄规定为“男性60周岁；女性干部55周岁；女性工人50周岁且工龄满10年”[10].表1是和主要发达国家的平均预期寿命及退休年龄的对比[11,12].

日本作为全球平均预期寿命最长的国家，其法定退休年龄为60岁，实际退休年龄比较灵活，交满25年的养老保险就可以退休.养老金有厚生和共济之分，资金主要由企业和个人对半分担，日本政府决定分别于2025和2030年前，将领取厚生年金的年龄分阶段提高至65 岁.

表1 预期寿命和退休年龄数据 （单位：岁）

美国采用的是“弹性退休制度”，其法定退休年龄按人口出生时间动态设定，且男女一致，设计标准：1924-1937 年出生的人口统一执行65岁的退休年龄；1938-1942 年出生的人口执行每年等距延长2 个月的递增退休年龄；1943-1954 年出生的人口统一执行66 岁的退休年龄；1955-1959退休年龄[13].

澳大利亚的养老保险制度是按资产核算法发放养老金，职工无需自己交纳养老保险，养老金也只发给穷人.加拿大的养老保险制度则相对稳定，根据现在的法律，未来75年会保持不变.法国政府在2010年推行的新的退休改革制度希望将退休年龄从60岁推迟到62岁.英国实际平均退休年龄为男63.6岁和女61.7岁，英国政府计划在2016年4月到2018年11月期间，把女职工的退休年龄提高到65岁，且男女并轨.德国的人口老龄化问题也较严重，政府决定从2012年1月1日起，用12年的时间把退休年龄延长一年，一年延长一个月，然后再用6年的时间把退休年龄延长一年，一年延长两个月，到2030年把退休年龄延长到67岁[13].

不难看出，随着人均寿命的增加，即使是发达国家也都面临较为严重的人口老龄化问题，延迟或分阶段延迟退休时间是各国政府的普遍对策.

2 养老金收入计算模型

我国目前的养老保险模式是社会统筹与个人账户相结合，社会统筹部分实行现收现付制，个人账户部分实行基金积累制.社会统筹部分的保费，并不用于为个人进行积累，而主要用于为退休人员发放养老金.同样，参保人员退休之后所领取的社会统筹部分的养老金，也不是来源于自己以前缴纳的保费，而是来源于在职年轻人所缴纳的保费[14].

养老保险缴费由用人单位和个人按一定的缴费基数和缴费比例交纳，分属统筹和个人帐户.不同地区和单位的缴费基数、缴费比例及缴费上下限都不尽相同，其一般计算公式为：

单位（个人）缴费金额＝养老保险缴费基数×单位（个人）缴费比例，

其中，缴费基数一般以上一年度本人工资收入为基础，若本人工资收入：

1）低于社会平均工资60%的，则以社会平均工资的60%为缴费基数；

2）高于社会平均工资300%的，则以社会平均工资的300%为缴费基数；

3）介于社会平均工资60%和300%之间的，则以本人工资收入为缴费基数[15].

假设职工的参保年龄a、退休年龄b、领取养老金年龄c和国家平均预期寿命n均为整数，且分别对应参保的第一整年、工作的最后一整年、领取养老金年的第一整年和生命的最后一整年；单位和个人的缴费比例分别为λ1和λ2；w0为已工作职工参保前一年的平均工资或新参加工作职工首月工资的12倍，wk为职工参保后的第k年的年平均工资，和分别为职工参保前一年和第k年的社会年平均工资，令

注意缴费年龄a, a+1,…, a+(b-a)分别为参保后的第1, 2,…, b-a+1年，因此，职工参保后第k年的养老保险缴费基数为kW，缴费总金额为归入统筹帐户、归入个人帐户.

再注意到统筹帐户中的保费不用于积累，因此，个人的统筹帐户收益总额可直接求和.

可得到养老保险缴费总收入计算模型：

3 养老金支出计算模型

国家最新的养老金计发办法[16]如下：

1）1998年1月1日以后参加工作、缴费年限累计满15年的，其养老金由基础养老金和个人帐户养老金两部分组成；

2）1997年12月31日以前参加工作，1998年1月1日后退休，且缴费和视同缴费年限累计满15年的被保险人，退休后按月领取基本养老金.其养老金由基础养老金、个人帐户养老金和过渡性养老金组成.

为了简便，本文只估算第一种情形，即

基本养老金＝基础养老金＋个人账户养老金；

基础养老金＝退休前一年的年平均工资×（1＋平均缴费指数）÷2×缴费年限×1%；

个人账户养老金＝个人账户储存额÷计发月数.

其中，平均缴费指数为历年实际缴费基数与上年社会平均工资之比的均值[16].

根据上述计算公式，在养老保险总收入计算模型的参数假设下，有：

1）计发月数m=12(n -c)，平均缴费指数：

2）在领取养老金前个人账户储存额为：

于是每年可领取的基础养老金（J1）和个人账户养老金（J2）分别为

从c到n支出养老金：

即得基本养老金总支出计算模型：

4 退休延迟时间计算模型

当1+=bc时，若： 0<-=JRG，则说明养老金出现缺口，缺口值为G-.如采用延迟退休策略，注意到退休后每年领取的养老金为，因此，需要延迟的时间T必须满足：即得延迟退休时间计算模型：

5 缺口及退休时间估计

5.1 平均工资预测数组的构成

中国城镇在岗职工平均工资数据见表2[17].

美国高盛公司预测，2030年中国的人均收入可能达到韩国目前的水平（人均约20000美元）.《中国现代化报告2006》预计2050年中国的人均收入可达到中等发达国家水平，预期2050年国民最低月薪超1300美元，即年金超人民币1300*12*7.9085≈12.3万.《对世界“中等发达国家”的界定》[18]推算，2050年前后，中等发达国家人均GNP约10000美元合人民币8.2万.按照中国2050年的预期，参照韩国目前的水平，可假定2050年中国人均工资的最大容量为￥13万，且间隔5年的容量差为￥1万，即容量从2020年的￥7万按间隔5年增长￥1万的方式增加到2055年的￥14万.

注意人均工资不可能无限增长，经过一定时间后会因为环境、资源等因素的制约而出现阻滞增长，因此，其预测可利用Logistic回归模型：

将2009-2014年的平均工资构成数组：

Y0=[32763, 37147, 42452, 47593, 52388, 57346]，

表2 职工平均工资（单位：元）

以xm=7万为最大容量，用MATLAB软件作非线性回归，得：

A=1.1897，B=0.3189，

及2015-2018年的预测值：

Y1=[ 59545, 62077, 64057, 65577 ].

以2013-2018年的平均工资实值和预测值构成数组

类似地，让最大容量xm= 8、9、10、11、12、 13、14并分别对应数组Y3~Y9作非线性回归，得到：

1）A=0.4987，B=0.1749，2019-2023年的预测值：

2）A=0.3194，B=0.0924，2024-2028年的预测值：

3）A=0.3341，B=0.0579，2029-2033年的预测值：

4）A=0.3749，B=0.0411，2034-2038年的预测值：

5）A=0.4238，B=0.0317，2039-2043年的预测值：

6）A=0.4751，B=0.0258，2044-2048年预测值：

7）A=0.5266，B=0.0219，2049-2053年预测值：

5.2 目前政策的缺口计算

由于个人工资在不同时段的不确定性，因此，在退休之前很难精确定位每个参保人的养老金缺口.然而，从平均的角度可将整个国家视为一人，即假设所有在岗职工都参保且每年不同人数参保人的工资取“重心”——均值，于是表2中 2000-2014年的实值和Y2至Y9中2015-2053年的预测值便构成其年平均工资，这个工资同时也是社会的年平均工资，从而有：

注意到目前我国正常的大学毕业时间是22岁，平均预期寿命为73岁，且2006年前的缴费比例会因时段与地区的不同而有差异，为了数据的简明单一，取a=23，n=73，并假设参保时间为2007年1月——此时点政策规定的单位和个人的缴费比例

再注意到为了规避风险，个人帐户养老金基本以存入银行的方式储存，假设r=1.5%、2%、3%，利用MATLAB程序计算，可得到50、55、60岁退休的缺口值和延迟时间，见表3.

不难看出，目前状况下的养老金政策对2007年1月参保的“新人”在50和55岁退休产生缺口，缺口的大小与利率、退休年龄均成反比；在60岁退休时不存在缺口.

5.3 预期寿命为80岁时的退休时间估计

假设a=23，c=b+1，n=80，类似上述计算，可得到2007年1月参保的缺口值见表4.

由表4不难看出：退休年龄与利率成反比，r为1.5%时的退休时间为65岁，如64岁退休需延迟4个月；r为2%时的退休时间为64岁，如63岁退休需延迟6个月；r为3%时的退休时间为62岁，如61岁退休需延迟5个月.因此，当r≤1.5%、预期寿命为80岁时的退休年龄至少为65岁.

表3 缺口和延迟时间估计

表4 n =80时的退休时间估计

6 补缺对策

养老保险是一项系统工程，对国计民生有着深远的影响.根据计算结果提供科学对策：

1）过渡期需政府补贴. 由表3的计算结果不难看出，预期寿命为73岁在2007年1月参保的“新人”60岁退休时不会产生缺口.换句话说，未来的养老金缺口是由“老人”和“中人”所造成，将责任转嫁“新人”，不仅会影响社会和谐，也不利于国家的长远发展.因此，在过渡期政府对统筹帐户的补贴就显得尤为必要.

2）调控现行生育政策.养老金缺口主要源于统筹帐户，现行的“计划生育政策”严重制约“新人”数量.因此，有必要将现行的“计划生育”政策改变为二胎按年龄段渐次放开的“调控生育”政策.

3）发挥个人帐户理财功能.由表3和表4不难看出，退休年龄与个人帐户记帐利率成反比，当r为3%时，预期寿命73岁、退休年龄60岁不产生缺口；预期寿命80岁、退休年龄62岁不产生缺口.当银行利率低于3%时，让个人帐户的资金购买较低风险的理财产品，以确保个人帐户资金的收益率不低于3%便是一种科学举措.

7 结 论

依据国家的养老保险政策，文中建立了养老保险总收入、总支出计算模型，在存在缺口且采用延迟退休策略的前提下，给出了延迟时间计算模型；利用分段Logistic回归模型建立了中国城镇在岗职工人均工资2015-2053年的预测值，预计2050年中国人均工资可达到￥95775元.

考虑到模型参数取值单一的简便性，根据模型和所得到的数据，作为特例，通过MATLAB编程，对23岁在2007年1月参保的城镇在岗职工计算出了在不同利率、不同退休年龄情况下的缺口值及延迟退休时间，得到了当利率介于1.5%~3%时，预期寿命73岁、退休年龄60岁和预期寿命80岁、退休年龄65岁不会产生缺口.

如采用延迟退休策略：

1）r=1.5%情形：预期寿命73岁，退休年龄50岁需延迟5.3年，退休年龄55岁需延迟1.6年；预期寿命80岁，退休年龄64岁需延迟0.3年.

2）r=2%情形：预期寿命73岁，退休年龄50岁需延迟4.7年，退休年龄55岁需延迟1.2年；预期寿命80岁，退休年龄63岁需延迟0.5年.

3）r=3%情形：预期寿命73岁，退休年龄50岁需延迟3年，退休年龄55岁需延迟0.2年；预期寿命80岁，退休年龄61岁需延迟0.4年.

综合计算结果，文中给出了过渡期政府补贴、二胎按年龄段渐次放开“调控生育”和个人帐户资金购买较低风险的理财产品以确保收益率不低于3%的填补缺口对策.

[1] 张鲁.关于我国延迟退休年龄的可行性分析[J].中国经贸，2014（13）：76-76.

[2] 邱也辰.关于延迟法定退休年龄的必要性与可行性[J].中国科技投资，2014（A05）：376-376.

[3] 刘赟.延迟我国法定退休年龄的必要性及可行性分析[J].中国集体经济, 2012（13）：186-187.

[4] 肖聪.我国延迟退休政策可行性分析——基于养老金缺口问题研究[J].商, 2015（14）：90-91.

[5] 穆艺南.延迟退休年龄对弥补养老金缺口的可行性研究[J].中国电子商务，2013（16）：179-179.

[6] 李婷.我国延迟退休问题研究综述与评析[J].山东行政学院学报, 2015（12）：39-46.

[7] 石正新.利用统计学的方法建立模型对延迟退休问题的探讨[J].中国管理信息化, 2015, 18 （3）：165-166.

[8] 徐贤丽，刘元志.基于数据包络模型的我国延迟退休方案研究[J].商, 2015（10）：75-76.

[9] 吕志勇，韩鑫，姜英霞.延迟退休年龄对我国就业影响的计量模型研究[J].山东财政学院学报，2012（2）：44-50.

[10] 金刚.中国退休年龄的现状、问题及实施延迟退休的必要性分析[J].社会保障研究, 2010（2）：32-38.

[11] 百度文库.世界各国预期寿命[EB/OL].2012 [2015-10-30].http://wenku.baidu.com/view/2745a8 1f10a6f524ccbf85b2.html?re=view.

[12] 社保频道.世界各国退休年龄比较[EB/OL]. [2015-10-30].http://shebao.yjbys.com/zhengce/116 574.html.

[13] 刘植荣.各国真实退休年龄及养老制度[J].理论参考, 2013（11）：55-57.

[14] 百度百科.养老保险统筹[EB/OL].[2015-07-10]. http://baike.baidu.com/link?url=Pde1ce5391PxkAgFjpo NBoao6igNiZm4mQQmu8qTWylBQYAx8D1d1-9C_iD QsTiIVqnTt-BBN9Hu4ECAly--I_.

[15] 百度百科.养老保险[EB/OL].[2015-03-11].http:// baike.baidu.com/link?url=POiOJ0ow7HSD-DgxiKgnv1x t7xVrnLtOkbbZFy_zY5XUSaHtO2tIDcQSdHtIl6dzyEN QjUzaAU_4-rywQOYko_.

[16] 中央政府.关于完善企业职工基本养老保险制度的决定（国发2005-38号）[EB/OL].[2008-03-28].http:// www.gov.cn/zhuanti/2015-06/13/content_2878967.htm.

[17] 国家统计局.年度数据[EB/OL].http://data.stats.gov. cn/easyquery.htm?cn=C01.

[18] 朱孔来.对世界“中等发达国家”的界定[J].理论学刊, 2005（11）：59-61.

Mathematical Models of Retirement Age Delay

WANG Xinhua

（Shenzhen Polytechnic, Shenzhen, Guangdong 518055, China）

According to the national endowment insurance policy, the author gives mathematical models to calculate pension income and expenditure. Facing the problem of ever increasing pension gap between the income and the expenditure, a model to calculate retirement age delay is created. The author applies the piecewise Logistic Regression and Matlab programming to calculate the predicted values of urban employees’average salary in China from 2015 to 2053. Taking a 22-year-old people who started insurance from January 2007 as an example, the author uses models and works out the pension gap, retirement time and retirement age delay on the basis of different retirement age and interest rate. Based on the calculation results, some suggestions are put forward to fill the pension gap by government subsidies during transitional period. The author also offers some useful advice on gradually lifting the ban of having a second child and individual account buying low-risk financial products.

endowment insurance; gap; retirement age delay; growth retardation; model

F249.2；C81

A

1672-0318（2016）01-0054-06

10.13899/j.cnki.szptxb.2016.01.012

2015-10-29

王新华（1962-），男，硕士，副教授，主要研究方向：数论、函数逼近论.