古典概率计算中常见的错误及策略探究

摘要：为了分析学生在古典概率计算中常见的错误，特举出相关案例进行分析，得出了古典概率计算错误的主要类型，并分析其错误产生的原因，最后归纳总结提出对策。

关键词：古典概率； 常见错解；错因分析

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1674-120X（2016）26-0040-02 收稿日期：2016-07-20

作者简介：莫庆美（1963—），女，广西蒙山人，贺州学院副教授，研究方向：高等数学与微分方程教学。

一、古典概率计算中常见错误案例

1.审题不清致错

例1 摄影师给6位同学拍照留念， 他们的身高全不相同，要求前后两排各3人，那么后排每人均比前排同学高的概率是 。

错解：据对称性可知，一共6个人，最高3个和最矮3个，各一半，那后排每人比前排同学高的概率为P=12。

剖析：由于审题不清，误求前排3名均比后排相对应3名同学高的概率。前排每人比后排每人都高，所以可以将6人中最矮的3个人放在前排，其余3人站后排，而且每个都不同还需要排列，故所求概率为P=A33A33A66 =120。

教学启迪：该例题说明了在古典概型下计算事件概率的基本方法，同时也看到古典概型下事件的计算需要有较高的技巧性，有些问题的计算还是相当困难的。但学者只需掌握最基本的方法，对典型几类问题会计算即可。

2.计算基本事件总数致错

例2 有4只纸箱，现将3份不同礼物随机地放入纸箱中去，求纸箱中礼物的最多份数分别为2的概率。

错解1： P=C13C14C23A34

错解2： P=C23C13C1434

剖析：计算过程由于基本事件总数错误，导致结果出错；因为每份礼物都有4种放法，所以样本空间的基本事件总数为43。纸箱中最多的份数为2，则先选礼物C23，再选纸箱的选法有C14；剩下的1只从3个纸箱中任选一个即C13，故所求事件包含基本事件数为C23C13C14，于是P=C13C14C2343 = 916。

教学启迪：在教学过程中更应该注意强调是礼物选纸箱，而非纸箱选礼物，处理基本事件总数，也要注意是组合还是排列，本例未涉及排列部分。

3.运用公式P（A·B）=P（A）·P（B），忽视事件的独立性致错

例3 某校派a、b两名同学去参加市区普法知识竞答，有10道不同的题目，其中6道选择题、4道判断题，a、b两名同学依次各抽一题，a同学抽到选择题、b同学抽到判断题的概率是？

错解：设A、B分别表示a同学抽到选择题、b同学抽到判断题的事件，即选择题概率为0.6，判断题概率为0.4，那么P（A·B）=P（A）·P（B）=0.6×0.4=0.24。

剖析：因为事件A与B的发生不独立，所以解法错误。a同学可以从6道选择题中任选一道即C16种，b同学从4道判断题中任选一道即C14，样本总数即C110 ·C19。所以正确答案如下： P=C16·C14C110 ·C19=415。

4.分不清组合与排列致错

例4 小明买了10张各不相同奖券，已知这10张奖券中只有3张中奖，如果小明每次只打开1张，那么前3次打开奖券中恰有1次中奖的概率是？

错解：小明所买的奖券中奖率是0.3，不中奖率是0.7，故前3个购买者中恰有1次中奖的概率，第一步从那3张任取一张即C13×0.3，第二步从7张任选两张即C27×0.72，所求P=C13×0.3×C27×0.72。

剖析：由上述结果可以看出，结果错了。该解法忽略了独立重复试验的特点，即各事件的发生应是相互独立的。如果前3次打开奖券中，第1次打开就中奖了，那么再中奖率，就不再是0.3了，如果有一次不中奖概率是0.7，下一次不中奖概率就不再是0.7。所以该题用到的是排列而非简单组合，正确答案应是

P=3×A13×A27A310=0.525。

5.审题不清，忽视事件“有序”与“无序”致错

例5 在某次试验中把3枚硬币一起掷出，那么出现一枚反面向上， 而另两枚正面向上的概率是多少？

错解：先出现一反面后出现两正面是一种结果， 故所求概率P=18。

剖析： 在所有 8 种结果中， 一反两正没有说是按顺序的，而是理解为两枚正面向上、一枚反面向上的所有情况。设事件正面向上为H，反面向上为T，基本事件为A，总样本数为S。则3枚硬币掷出所有可能的结果有 S=（HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT ），而两正一反A=（HHT，HTH，THH ），因此， 所求概率P=38。

教学启迪：由于审题不清，更容易忽视事件“有序”与“无序”的情况，题意中并没有说明两正一反是按顺序，而是说所有情况，把掷硬币出现的8 种结果看作等可能性， 然而把事件A的3种结果看作1种结果，也不符合古典概型的等可能性事件了，因此求概率的基本事件自然就会发生错误。

6.对概率论中的一些常用术语理解有误致错

例6 人民公园有一项游戏，即有6不同颜色的小球，每个小球都等可能落入10个塑料桶中的任意一个，假设每个塑料桶容纳的小球没有限制，求每个塑料桶最多有一个小球的概率。

错解：某指定的6个塑料桶各有一个小球，即P=6！106。

剖析：学者受课本例题影响，又由于审题不清，将最多有一个小球的概率理解成某指定的6个塑料桶各有一个小球致错。将6个小球放入10个塑料桶中去，每一种投放是一个基本事件，可知这是古典概率问题，因为每一个小球都可以放入10个塑料桶中的任一个塑料桶，故共有106种不同的放法，而每个塑料桶中至少放一个小球共有A610种不同放法。因而所求的概率为P=A610106。

7.疏忽细节致错

例7 有n个人去餐厅吃饭，他们随机地围绕圆桌而坐，那小黄、小李坐在一起（即座位相邻）概率多少？

错解：假设小黄已先坐下，再考虑小李的坐法。小李的坐法对应一个基本事件，明显小李总共有（n-1）个位置，而（n-1）个座位是等可能的，所以共有（n-1）种坐法，而且基本事件的总数组成等概率样本空间。故所求概率为P=2n-1。

剖析：上面的计算过程好像没有问题。但在这里要注意细节问题，当n=2时，P=2与概率为1相矛盾。小黄、小李两人坐在一起是必然事件，故其概率为1。所以更要在结果后面添加限制条件，正确结果为P=2n-1（n>2）。

二、对古典概率计算中常见错误提出的策略

（1）加强常见错误的案例教学。在教学中，针对学生错误的主要类型加强教学设计，以减少错误的发生，帮助其改正错误。

（2）加强学生思想教育。对于学生学习的行为、态度等加强教育，贯彻素质教育与专业教育并重的理念，正确引导学生的世界观、价值观及人生观。

（3）认真备课。尊重学生的学情，以学生为本，因材施教，尽量站在学生角度来设计铺垫性、诱发性、过渡性的问题，必要时补充学习资源和习题。

（4）制定相关制度并执行。对于学生学习行为散漫和态度不端等情况，根据学校实际制定相关制度并严格执行。

（5）教师观念的转换。课堂改革更是教师教学观念的改革，教师在教学活动中充当主导，那么教师的任务就是组织调动、指导服务，让学生通过自主、合作、探究学习，自主完成学业。

参考文献：

余则华.排列、组合在古典概型中的应用.福建教育学院学报，2008，（6）.

董守广，王红梅.概念题常见错误剖析.数学通讯，2003，（17）.