地图着色问题的DNA计算

2016-11-11马莹，方欢

宿州学院学报 2016年10期

关键词：主链单链着色

马　莹，方　欢

安徽理工大学理学院,安徽淮南，232001

地图着色问题的DNA计算

马莹，方欢

安徽理工大学理学院,安徽淮南，232001

提出了将地图着色问题转化为顶点着色问题，然后把顶点着色问题转化为求最大独立集问题。最大独立集问题的解法采用改进的粘贴DNA计算，即全信息化的DNA粘贴计算。DNA粘贴计算设计了主链和存储链，而且在生物计算中采用并行处理。最后给出了一个实例,详细说明了地图着色问题的解法，得出了最终的解。

DNA计算；粘贴计算；地图着色问题；顶点着色；最大独立集

1994年，Adleman首次用DNA计算解决有向图的哈密顿问题[1]，此后许多研究者对DNA计算进行研究。粘贴模型是由Roweis等人于1996年提出的一种DNA计算模型[2]，给出了图的最大团与最大独立集粘贴DNA计算模型[3]，特别是许进教授的文献[4-5]对DNA粘贴计算的研究有很大的意义。文献[6]把地图着色问题转化成可满足性问题，并采用多级分离装置来实现，文献[7]采用分子信标表面技术实现地图着色问题的DNA计算，文献[8]给出了图的最小顶点覆盖问题的DNA计算，文献[9] 给出了最大匹配问题的粘贴DNA算法。文献[10] 用微流控DNA计算解决图着色问题的DNA算法。本文提出了全信息化的DNA粘贴计算模型。

1　基于DNA计算的粘贴模型

1.1粘贴模型

粘贴模型的DNA分子的编码是一种单链和双链混合的序列，存储混合物由两种类型的单链组成：一种是存储链，另一种是粘贴链。一个存储链含有K个不重叠区域的单链DNA分子，其中不重叠区域有M个碱基；粘贴链也是单链DNA分子，可以设计M个碱基的粘贴链与存储链中的DNA单链分子恰好构成互补。存储混合物由粘贴链和存储链混合构成，如果每个粘贴链的M个碱基恰与上述存储区中的一个互补，设其对应位为“1”；如果没有粘贴链与匹配位互补，则设其存储复合物表示二进制数的对应位为“0”。假设存储复合物的DNA分子编码如下：

这个存储混合共有5位，每位含5个碱基。DNA单链ATTAC GCCCC CATGT CCGTA AAAAT是存储链，较短的DNA单链TAATG和单链GTACA是粘贴链，则这个存储物由单链和双链混合而成。如果用二进制数来表示位点，则双链表示数字“1”，单链表示数字“0”，这个存储复合物可以用二进制数表示为10100。

1.2生物操作

对于DNA计算，首先要对研究对象编码，其次进行一系列生物操作生成解，最后检测解。在粘贴计算中，一般把初始试管记为输入试管，常用四种基本生物操作。

合并把两个试管的溶液倒入一个试管中。两个输入试管T1和T2中的存储复合物被合并成一个新的输出试管T0。

分离一般通过设计探针来实现。对于输入试管T0和整数i,1≤i≤K，如果执行分离生物操作的话，将会产生两个新的试管+(T0,i)和-(T0,i)。其中.tif，+(T0,i)表示试管T0中第i位为“1”的所有存储复合物试管，即第i位为双链的存储复合物；-(T0,i)含有试管T0中第i位为“0”的所有存储复合物，即第i位为单链的存储复合物。分离操作破坏了原始的输入试管。

设置通过杂交将原来位点为单链的所有存储复合物设置成双链。对于原来试管T0和整数i,1≤i≤K，设置操作产生一个新试管，即无论原来第i位为“1”还是“0”，它将原来试管中所有存储复合物的第i位都置为“1”，得到的新试管第i位都为“1”。

清除通过加热将将存储复合物中位点“1”的双链变为单链。对于试管T0和整数i,1≤i≤K，清除操作产生新试管clear(T0,i)，试管T0中所有存储复合物的第i位上的粘贴链都被去掉。

1.3改进粘贴模型——全信息化粘贴DNA计算模型

根据全信息化的DNA粘贴计算内容，将存储区分为3个基本链区：主链区、辅链区和决策链区，其中主链功能是待解问题的数据库，称为输入试管；辅链是根据已知条件建立的“存储库”；而决策链是检测问题的解，如图1所示。主链和辅链是必有，辅链根据具体问题设计，可为多个辅链，决策链根据问题，可有也可能没有，在本文中，决策链则无。

图1　全信息粘贴DNA计算模型的存储链

2　基于地图着色问题改进DNA粘贴算法

2.1地图着色问题

地图中最著名的问题之一，就是四色猜想问题。画一张彩色地图，在相邻的两个不同区域，应当涂上不同颜色。这里的相邻，指的是两个区域有公共边，而不是只有一二个公共点。大量实践证明，一幅地图最多有4种颜色就够了。

定义1地图着色是指给地图的每个面指定一种颜色，使任意两个有公共边的面颜色不同。若着色时使用了k种颜色，这个着色称为k-着色。

定义2使地图有一个k-着色的最小的k称为地图的色数。

定理1地图问题着色可以转化为图顶点着色问题。

证明将一幅地图转化为为一个无向图，将地图中每一个面记为图中一个顶点。将所有相邻两个面用一条无向边相连，这样可以得到含有顶点和边的平面图G。在这里，假设平面图G有n个顶点，分别记为x1,x2,…,xn，即一个顶点对应一个面。用xi-xj≠0表示顶点xi和另一个顶点xj不能着相同颜色，即表示两个面相邻。在平面图G中，xi和xj有边连接。

显然，地图着色问题可以转化为图顶点着色问题。

2.2地图着色算法

将地图转化为平面图，即求顶点着色问题。先求图的一个最大独立集V1，然后求G-V1的最大独立集V2，再求G-(V1∪V2)的最大独立集V3，如此继续，直到最后求出一个最大独立集Vk，则所需色数ψv(G)=k，即求G的独立数I(G)。由地图四色理论可知，这里k≤4。生物算法如下：

步骤1主链的设计。主链由平面图G的n个顶点x1,x2,…,xn组成。初始时为单链，没有粘贴链。

步骤2辅链的设计。在辅链上直接将图的顶点相邻关系粘贴上去。若图中顶点xi和xj相邻，则在辅链上对应的位段设置为单链，否则设为双链。

步骤3寻找图G的一个最大独立集V1。

步骤4求G-V1的最大独立集V2，依次类推，可以得到剩余顶点集中的最大独立集。得到的独立集个数即是地图的着色数。

3　实例

以下通过一个实例来详细说明上述算法。

图2　一幅地图

如图2所示，将1,2,3,4,5各个不同的地区分别标记为x1,x2,x3,x4,x5，则可以得到以下的约束条件(1)：

x1-x2≠0，x1-x3≠0，x1-x4≠0，x2-x3≠0，x2-x4≠0，x2-x5≠0，x3-x4≠0，x4-x5≠0。

这个地图k-着色问题可以转化为如图3的一个无向图的k-着色问题，即找出满足(1)式条件的解。由定理可知，图2可以转化为平面3的平面图。

图3　图2的平面图表示

图3中的顶点代表图2中的区域。问题转化为求图顶点着色。解决此问题的关键是粘贴模型的建立，步骤如下：

步骤1主链的设计。主链由图的顶点序列x1,x2,x3,x4,x5构成；辅链由顶点xixj的相邻关系组成，这些相邻关系确定了图的全部信息。

步骤2粘贴链的设计。和以往粘贴计算不同的是，在辅链上直接将图顶点相邻关系粘贴上去。若图中顶点xi和xj相邻，则在辅链上对应的位段设置为单链；否则设为双链，如图4所示。

把这个含有主链、辅链和粘贴链的试管称为初始试管，记为T0。复制一个与T0相同的试管，记为T0′。T0′称为备用试管，在步骤4使用。

步骤3寻找图G的一个最大独立集V1。具体步骤如下：

(1)从图G的顶点集V={x1,x2,x3,x4,x5}中随机选取l≥2个顶点子集。为了具有一般性，假设为xi1,xi2,…，xil；复制一个与T0相同的试管，并从中删除辅链中位段xixj，其中xixj或j∉{i1,i2,…,il}或i,j∉{i1,i2,…,il}，并将操作后的试管仍记为T0。如在图4中，设l=3，假设所取的顶点为x1,x2,x5，则应从辅链中删除位段为x1x3,x1x4,x2x3,x2x4,x3x4,x3x5,x4x5。若l=2，假设选取的顶点为x1,x5，则应从辅链中删除位段除x1,x5的所有位段。

(2)在主链上并行对l个顶点所对应的主链并行实施设置操作：Set(T0,xi1,xi2,…，xil)。于是，假设对顶点子集{x1,x2,x5}和顶点子集{x1,x5}实施设置操作，操作后所得的试管仍记为T0。

对顶点子集{x1,x2,x5}所实施步骤(1)(2)操作后得存储合成物如图5(a)所示，操作后所得的试管仍记为T0。图5(a)中得到的试管混合物{x1,x2,x5}用二进制数可以表示为11001，而试管混合物图5(b)中得到的试管混合物{x1,x5}可以表示为10001。

图5　辅链和主链实施设置操作后的示意图

(3)检测所得到的解是否是所求问题的解。对试管T0中的存储链并行实施分离操作，通过设计探针来实现。即对于试管T0和顶点xi1,xi2,…，xil实施+(T0,xixj)和-(T0,xixj)，其中i,j∈{i1,i2,…,il}且i≠j，若试管T0中的辅链全为双链，则{xi1,xi2,…，xil}是图G的一个独立集，否则不是图G的一个独立集。