议一议“全球昼夜长短变化图像”

崔亚飞

（天津市耀华中学, 天津 300040）

议一议“全球昼夜长短变化图像”

崔亚飞

（天津市耀华中学, 天津 300040）

作者对蔡华鑫老师的文章“图析‘昼夜长短和正午太阳高度的变化’”中绘制的图像及解读产生了疑问。通过阅读相关文献，获取昼夜长短的计算公式，并利用Excel等常用工具重新绘制图像，得出并印证了“全球各纬度（除寒带外）春秋分附近昼夜长短变化幅度较夏至冬至日附近大，图像呈现光滑的正余弦形态”的结论，从而指出原文绘制的图像存在的错误。对全球不同纬度昼夜长短变化图像叠加对比，从而更清楚地看到各纬度全年昼夜长短的变化趋势。

昼夜长短；图像

最近阅读了本刊2015年第20期蔡华鑫老师的文章“图析‘昼夜长短和正午太阳高度的变化’”。文中介绍了解决“昼夜长短和正午太阳高度的变化”一类问题的关键突破手段，并利用相关数据图，分别对昼夜长短变化和正午太阳高度变化从空间分布和时间变化两个不同维度进行了分析。通过图像数据分析，加深学习者对此类变化规律的理解。读罢收获颇多，对于自己的教学也很有帮助。

在该文中，蔡老师在数据分析的基础上绘制了一些坐标图并对图像进行了解读。例如：作者绘制了“太阳直射20°N时各纬度昼长分布示意图”（见图1）；“40°N地区昼长周年变化示意图”（见图2）。

图1　太阳直射20°N时各纬度昼长分布示意图

图2　40°N地区昼长周年变化示意图

针对图1，作者介绍了太阳直射20°N时各纬度昼长分布的规律，并对图像做了更有价值的解读：曲线形态接近正切余切函数曲线；在极昼极夜现象范围的最外围线上，昼长的量变达到了一个极限，有一个突变；赤道这一纬度位置的特殊性，并不表现在量变的剧烈程度上，反而体现在微小缓和的量变中孕生了质变。分析了这类图像，我们就更明白，为什么讨论昼夜长短变化一定要关注赤道和极昼极夜范围边界纬线（不仅仅是极圈）了。

在图2中，作者绘制了40°N地区一年中昼长变化的曲线图，并得出了有意思的结论。“我们发现，这条曲线也是饶有趣味的，它的形态更接近拼接在一起的两个正切余切函数曲线，就像一个倒扣着的大括号，而不是想象中的应该是呈正弦或者余弦函数曲线，更不是两条对接的直线线段。”“图像分析显示，昼夜长短在两至节气前后的变化相对更快，并且两至前后发生了一种转折性的突变，而不是一般意义上的渐变，这在自然界的周期性变化现象中似乎并不常见；而两分节气的特殊性，也体现在微小量变导致质变上。”

很显然，作者注意到这两个图像中很突兀的“突变”，并对此进行了解读，用哲学中的量变质变来解释，并让感兴趣的读者不妨再研究一番。笔者对此很感兴趣，从整体上来看，第一个图像看起来是很流畅的，第二个图像就不太好看，“这在自然界的周期性变化现象中似乎并不常见”，渐变过渡应该是自然界的主旋律，那么图2中的突变是事实如此，还是作者图像画错了呢？

我们在描点作图中强调用平滑曲线连接，既然是平滑曲线就不会出现突变点。用数学来解释，突变点就是图像斜率的绝对值差异大。如果在绘图中取的点数量有限，那么在绘图中对于图像走向难免会有主观臆断的情况出现。还是让事实数据说话吧。

对于图1所反映的突变问题，概括下来可以理解为：昼长随纬度的变化幅度是赤道地区大，还是70°N（极昼极夜边界纬线）大。

对于图2所反映的突变问题，可以理解为：北纬40°N地区二分日附近昼长变化幅度大，还是二至日附近昼长变化幅度大。

本刊2013年第2期中陈宝钢、杨秋平发表的“昼夜长短时间的时空变化探因及作图计算”一文，文中统计天安门广场二分二至日附近一个月内，升旗时间变化数据，如图3所示。

北京天安门广场“二分二至”前后升旗时间月变化表（表中时间为“北京时间”）

结论是：一年中某地昼长时间的变化速度与太阳直射点一年中回归运动纬度位置变化量有着密切的一致性。“‘二至’前后直射点位于回归线附近时纬度移动速度变化量小，此时北京的昼长时间变化速度也小；‘二分’前后直射点位于赤道附近时纬度移动速度变化量大，此时北京的昼长时间变化速度也大。”

以统计数据为基础得出的结论可以看出，图2中二分日附近图像斜率绝对值应该大，二至日附近图像的斜率绝对值小，这样就不会出现蔡老师所担心的“突变”问题了，图像是光滑的曲线，且近似于正余弦曲线。关于量变与质变的讨论也就没有必要了。

如果我们更深入一步去研究，其实一个地区昼夜长短是可以计算的。党钢军老师在“地球上各地昼夜长短的计算公式”、李宇洋同学在“昼夜长短计算公式推导”中分别从数学老师和高中文科生的角度利用高中数学知识给出了推导公式。有了公式，我们就可以利用几何画板或Excel等常用工具较为精确地绘出图像。

以党钢军老师推导的公式为例：

公式中角的单位用度表示，时间单位用小时表示。式中φ为地理纬度，δ为太阳直射点纬度，当φ、δ表示南纬时取负值，φ≠±90°；在δ=±23°26′时，|φ|≤66°34′，任何一天的δ可在天文年历上查到。

在这个公式的基础上，利用Excel的散点图功能，当太阳直射北纬20°时，δ=20°，绘制全球各纬度昼长分布图（图4）。

图4　

根据上述公式，极昼极夜因为特殊不在计算范围内，故图中北纬70°以北图像变为0，此处应为24小时。从图中可以看出，昼长变化幅度是高纬度比赤道地区大，在极昼极夜的边界地区南北纬70°附近斜率绝对值趋于无穷大。从中可以看出，蔡老师的第一个图是正确的，曲线接近正余切的形态。但笔者不太同意量变引起质变的说法，昼长向两极是逐渐变化的，只不过不是线性，靠近两极变化幅度大而已，平稳过渡到了昼夜长短的最值。

根据公式绘制北纬40°地区全年昼长变化曲线如图5所示。

分析图像可知，在夏至日和冬至日，图像的斜率绝对值较小，昼长变化幅度要小于春分日和秋分日，图像呈正余弦函数形态，没有出现所谓的突变点。这与上文中陈宝钢老师的结论是一致的。这也说明了蔡老师在绘制图2的时候出现了错误。

把0°N、20°N、40°N、60°N、66.5°N、80°N的全年昼长变化曲线合成后如图6所示，从中可以看出从赤道向两极昼长的变化趋势。这种趋势是渐变的，符合自然界的一般规律。

图5　

图6　

笔者在耀华中学指导星缘天文社活动，对和高中地理相关的地理知识关注也较多，平时也搜集了一些有趣的小软件。其中一个是内布拉斯加大学林肯分校（UNL）制作的教学动画，从中可以演示不同纬度昼长年变化曲线，有兴趣的老师可以用来辅助教学。分享链接：http://pan.baidu.com/s/1sk4opwp，或手机扫描二维码。

[1] 蔡华鑫.图析“昼夜长短和正午太阳高度的变化”[J].地理教学,2015,(20):45-47.

[2] 陈宝钢,杨秋平.昼夜长短时间的时空变化探因及作图计算[J].地理教学,2013,(2):28-30.

[3] 党钢军.地球上各地昼夜长短的计算公式[J].数学通讯,2003,(13):29-30.

[4] 李宇洋,陈艳红,张引.昼夜长短计算公式推导[J].地球,2012,(12):105.