模型水轮机折射窗结构及算法研究

刘永新

(哈尔滨电机厂有限责任公司,哈尔滨 150040)



模型水轮机折射窗结构及算法研究

刘永新

(哈尔滨电机厂有限责任公司,哈尔滨 150040)

为了解决水轮机模型试验中转轮空化现象观测不准确的问题,笔者根据费马原理建立了模型水轮机折射窗的数学模型,并基于拉格朗日插值算法,利用MATLAB开发平台求解折射窗观察板与锥管壁夹角的最优解,得到折射窗的结构尺寸。试验结果表明:水轮机模型试验采用拉格朗日插值算法得到的模型水轮机折射窗结构,便于测试人员准确观测,可以提高水轮机转轮空化试验判定的准确性。

模型水轮机;空化;折射窗;插值算法

在水轮机模型试验中,当流道中水流局部压力降至临界压力时,将会发生空化现象[1],空穴周围的介质要填充空穴溃灭后的空间而形成高速微射流,这种微射流作用到金属表面会产生疲劳破坏,造成水力机械的效率和出力降低,引起机械装置的剧烈振动[2-3],影响机组的安全运行[4]。目前,预测水轮机内部空化流动的试验方法是用闪频仪以转速频率相近的频率向观测部位打光,当发现3个或3个以上叶片开始出现气泡时,就定义当时的空化系数为初生空化系数[5]。由于转轮位于透明锥管上部,因此测试人员需要大角度仰视才能观察到,而且观测角度的不同将导致观测结果偏差,从而直接影响到水轮机空化性能的判定结果。为此,本文根据费马原理提出一种便于观测转轮空化现象的折射窗结构及其求解方法,有效地解决了模型水轮机转轮空化现象判定不准确的问题。

1　折射窗结构分析

根据费马原理,光在均匀介质中传播时遵从直线传播定律、反射和折射定律。不论光线正向传播还是逆向传播,必沿同一路径。费马原理是几何光学的基本原理,本文根据费马原理研究光线在模型装置中的传播轨迹。锥管折射窗的原理图如图1所示。

图1　锥管折射窗原理图

由图1可知,折射窗由观察板和两块侧板组成。在转轮空化试验观测时,折射窗内充满水,利用光线在不同介质间的折射作用,测试人员通过平视观察板即可看清透明有机玻璃锥管上部转轮的图像。在锥管折射窗设计过程中,最重要的就是折射窗观察板与锥管壁夹角r的确定。在图1中,光线在传播过程中共发生4次折射,分别在锥管壁和锥管内水溶液间、锥管壁和折射窗内水溶液间、折射窗内水溶液和折射窗观察板间、折射窗观察板和空气间。有机玻璃锥管壁厚、折射窗观察板壁厚与光线传播距离相比,在工程应用上可以忽略不计;同时,光线进出玻璃锥管两侧均穿过相同介质,此时光线的传播方向没有变化,仅发生小范围的平移。为简化计算过程,在满足工程应用前提下,仅保留折射窗观察板前后的折射。锥管折射窗原理简图如图2所示。

图2　锥管折射窗原理简图

在图2中,B处水平线为观测者视线,A点为被观测点。D为转轮上被观测点A的直径,mm;h为转轮上被观测点A到观测者视线的垂直距离,mm;L为转轮上被观测点A到观察板与透明锥管外壁交点C的竖直方向距离,mm;M为观察板上观测点距离锥管壁的水平距离,mm;β为透明有机玻璃锥管壁与水平面夹角,∠a为折射角,∠b为入射角,r为折射窗观察板与锥管壁的夹角。由此可得到如下计算公式:

1.33=sin∠a/sin∠b

(1)

90°-∠a+γ+β=180°

(2)

tan(∠a-∠b)=h/(D+M)

(3)

sinr/M=sin(β+γ)/[(L-h)/sinβ]

(4)

由式(1)～(4)可得,折射窗观察板与锥管壁夹角r的关系为:tan{β+γ-90°-arcsin[sin(γ+β-90°)/1.33]}=h×sinβ×sin(γ+β)/[D×sinβ×sin(γ+β)+

(L-h)×sinr]

(5)

通过式(5)求得夹角r后,折射窗的其它尺寸可根据锥管尺寸确定,同时还应避开锥管上布置的测点及其它附属结构。

2　模型水轮机折射窗算法

在科学计算中,经常遇到所需资料的空白或缺少,为补全缺少的资料,统计分析常采用插值估计法[6]。本文针对夹角r,亦采用插值法求解,利用函数f(r)在区间[10,60]中插入若干点的函数值,得出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其它点上用这特定函数的值作为函数f(r)的近似值,以此来求得r的近似最优值。本文以拉格朗日算法为例,简述夹角r的求解过程。

2.1插值问题的数学模型

在r∈[10,60]取n+1个点r0,ri,…,rn。通过方程式(5)的h=f(r),,可以得到对应的n+1个函数值hi=f(ri);i=0,1,2,…,n。构造一个简单插值函数h=P(r),该函数满足:hi=P(ri);i=0,1,2,…,n。也就是说,函数y=P(x)构造的曲线要经过h=f(r)上已知的这n+1个点:(r0,h0),(r1,h1),…,(rn,hn),此时P(r)为r∈[10,60]上次数不超过n的多项式。

2.2拉格朗日插值算法

已知函数h=f(r)在n+1个不同点r0,ri,…,rn上的函数值分别为h0,h1,…,hn,求一个次数不超过n的多项式Pn(ri)=hi;i=0,1,2,…,n,即n+1个不同的点可以唯一确定一个n次多项式。

通过n+1个不同的点分别确定n+1个n次插值基函数K0(r),K1(r),…,Kn(r),每个插值多项式Ki(ri)是n次多项式:Ki(ri)=1,而在其它n个Ki(rj)=0,j≠i。由于Ki(rj)=0,故有因子(r-r0)…(r-ri-1)(r-ri+1)…(r-rn)。因其已经是n次多项式,故仅相差一个常数因子。令K1(r)=a(r-r0)…(r-ri-1)(r-ri+1)…(r-rn);由于Ki(ri)=1,可以求出a,然后得出:

(6)

由于Pn(r)是n+1个n次插值基本多项式K0(r),K1(r),…,Kn(r)的线性组合,相应的组合系数是h0,h1,…,hn。由此可以得到Pn(r)=h0K0(r)+h1K1(r)+…+hnKn(r),即Pn(r)是一个次数不超过n的多项式,且满足Pn(ri)=hi,i=0,1,2,…,n。再通过求解简单插值函数h=P(r),即可得到夹角r的近似最优解。

2.3MATLAB软件在折射窗上的应用

MATLAB是美国Math Works公司研发的数学工具软件,与Mathematic、Maple并列为三大数学软件[7],用于算法开发、数据可视化、数据分析及数值计算的高级计算机语言。本文采用MATLAB软件展开拉格朗日多项式,具体算法流程如图3所示。应用MATLAB软件在本文提及的算法中可以使用很少的代码实现简单插值函数h=P(r)的求解,最终实现对近似最优夹角r的求解。

图3　MATLAB算法流程图

3　结　论

1) 在预测水轮机内部空化流动试验时,基于费马原理建立模型水轮机折射窗数学模型,采用拉格

朗日插值算法,将MATLAB软件应用于折射窗计算,可以求解得到模型水轮机折射窗的结构尺寸。

2) 该水轮机模型试验得到的模型水轮机折射窗结构,具有结构简单、安装方便等优点,能降低测试人员的工作强度,并避免因为观测角度不同导致的观测偏差,提高了水轮机测试技术水平。

[1] 王正伟. 流体机械基础[M].北京:清华大学出版社,2006.

WANG Zhengwei. Foundation of fluid machinery[M]. Beijing: Tsinghua University, 2006.

[2] 徐朝辉,徐东海,吴玉林,等.水泵与水轮机空化状态监测与诊断的研究进展[J].农业机械学报,2003,34(1):139-142.XU Zhaohui, XU Donghai, WU Yulin, et al. Monitor and diagnose of cavitation in pump and hydroturbine[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery, 2003,34(1):139-142.

[3] 蒲中奇,张伟,施克仁,等.水轮机空化在线监测系统设计[J].电力系统自动化, 2004,28(21):62-64.

PU Zhongqi, ZHANG Wei, SHI Keren, et al. Design of hydroturbine cabitation online monitoring sysem[J]. Automation of Electric Power Systems, 2004,28(21):62-64.

[4] 熊妍,屈波,霍志红,等.基于振动技术的水轮机空化监测系统开发[J].电子测试,2014(2):7-9.

XIONG Yan, QU Bo, HUO Zhihong, et al. Development of vibration-based caviation monitoring system for hydraulic turbine[J]. Electronic Test, 2014(2):7-9.

[5] 徐洪泉,王万鹏.水轮机空化系数及其对水力性能的影响[J].大电机技术,2010(5):44-47.

XU Hongquan, WANG Wanpeng. Cavitation coefficient of turbine and its effect to hydraulic performance[J]. Large Electric Machine and Hydraulic Turbine, 2010(5):44-47.

[6] 苏正君.拉格朗日插值算法浅解[J].电子设计技术,2014(2):24.

SU Zhengjun. Analysis of lagrange interpolation algorithm[J]. EDN China, 2014(2):24.

[7] 王素立,高洁.MATLAB混合编程与工程应用[M].北京:清华大学出版社,2008.

WANG Suli, GAO Jie. MATLAB mixed programming and project application[M]. Beijing: Tsinghua University, 2008.

(责任编辑侯世春)

Research on model turbine refraction window structure and algorithm

LIU Yongxin

(Harbin Electric Machinery Company Limited, Harbin 150040, China)

In order to avoid the inaccurate observation of runner cavitation in turbine model test, the author established the mathematical model of turbine refraction window according to Fermats principle, and worked out the structure size of refraction window according to the optimal solution of the angle between refraction window observation plate and conical tube wall through MATLAB by Lagrange interpolation algorithm. The test result shows that the model turbine refraction window structure calculated by lagrange interpolation algorithm is convenient for accurate observation and is able to enhance the judgment accuracy of turbine runner cavitation test.

model turbine; cavitation; refraction window; interpolation algorithm

2016-01-06;

2016-02-19。

刘永新(1985—),男,工程师,主要从事水轮机结构设计工作。

TK730.7

A

2095-6843(2016)04-0371-03