一道中考压轴题的实验探究与推广

安徽省歙县中学

郑观宝　　(邮编：245200)



一道中考压轴题的实验探究与推广

安徽省歙县中学

郑观宝(邮编：245200)

1　实验探究一 　△EPQ是等腰直角三角形吗？

图1

图2

图3

问题(2016年安徽省中考压轴题)：如图1，A、B分别在射线OM、ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA、OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形△OAP、△OBQ，点C、D、E分别为边AO、OB、AB的中点．

(1)求证：△PCE≌△EDQ；

(2)延长PC、DQ交于点R．

①如图2，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；

这是2016年安徽省初中毕业学业考试数学试题．限于篇幅，以下仅给出简略的证明过程．

(1)证明如图1，易得PC=CO=ED，CE=OD=DQ，∠PCE=90°+∠OCE=90°+∠ODE=∠QDE，所以△PCE≌△EDQ(边角边)．

观察图1，能感觉到PE=EQ，且PE⊥EQ，这个猜想对吗？

实验一在《几何画板》中画出图4，度量∠PEQ的大小、线段PE、EQ的长度(如图4)．

容易发现无论怎样改变钝角∠AOB的大小和OA、OB的长度，始终有PE=EQ，且∠PEQ=90°．

图4

证明延长PC到点K，设∠AOB=α，由△PCE≌△EDQ得PE=EQ显然成立，并且

∠PEQ=α-(∠1+∠2)=α-∠ECK=α-(α-90°)=90°.

可见，△PEQ始终是以PQ为斜边的等腰直角三角形．

2　豁然开朗的第二小题

图5

由题可知，点R是△AOB两边OA、OB的中垂线的交点，因此点R为△AOB的外心，作出这个外接圆(如图5)．

由圆的性质可得∠ARB=2(180°-α)．

①要使等腰△ABR为正三角形，当且仅当∠ARB=2(180°-α)=60°，解得α=150°.

点评：有了上述探究与发现，第二小题就水到渠成，非常简单了！并且我们还得到如下一般性结论：如图2，分别以钝角△AOB(∠AOB为钝角)边OA、OB为斜边，向形外作等腰直角三角形△OAP、△OBQ，点C、D、E分别为边AO、OB、AB的中点，延长PC、DQ交于点R，则

(1)求证：△PCE≌△EDQ；

(2)△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形；

(3)当且仅当∠MON=150°时，△ABR为等边三角形；

3　实验探究二　将“向形外作等腰直角三角形”推广为“向形内方向作等腰直角三角形”

图6

实验二如图6，在《几何画板》作出满足题意的图形．不断改变钝角∠AOB的大小和线段OA、OB的长度，都能发现上述结论成立．下面证明这个发现：

(1)在△PCE与△EDQ中，易得PC=CO=ED，CE=OD=DQ，∠PCE=90°+∠OCE=90°+∠ODE=∠QDE，所以△PCE≌△EDQ(边角边)．

(2)延长PC到点K，设∠AOB=α，由(1)得PE=EQ，且

∠PEQ=360°-α-(∠1+∠2)=360°-α-∠KCE=360°-α-(90°+180°-α)=90°.即△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形．

(3)同上可知，点R为△AOB的外心，作出这个外接圆(如图6)．由圆的性质可得∠ARB=2(180°-α)．

要使等腰△ABR为正三角形，当且仅当∠ARB=2(180°-α)=60°，解得α=150°.

图7

图8

4　实验探究三　将“钝角∠MON” 推广为“锐角∠MON”

实验三如图7、8，在《几何画板》作出满足题意的图形．不断改变锐角∠AOB的大小和线段OA、OB的长度，容易发现△PEQ始终为等腰直角三角形，下面证明这个发现(限于篇幅，证明过程以图8为例)：

(1)如图8，在△PCE与△EDQ中，PC=CO=ED，CE=OD=DQ，∠PCE=90°+∠OCE=90°+∠ODE=∠QDE,所以△PCE≌△EDQ．

(2)延长CP交DE于到点K，设∠AOB=α，由(1)得PE=EQ，且

∠PEQ=∠DEQ-∠PEK=∠CPE-∠PEK=∠PKE=90°，即△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形．

(3)由于点R为△AOB的外心，作出这个外接圆．由于∠AOB为锐角，由圆的性质可得∠ARB=2α．

要使等腰△ABR为正三角形，当且仅当∠ARB=2α=60°，解得α=30°.

说明如果两个等腰直角三角形一个向形外作，一个向形内方向作，则没有相应的结论(实验过程这里略去)．

5　实验探究之四　设∠AOB为钝角，将“向形外作等腰直角三角形” 推广为“向形外作相似等腰三角形”

图9

实验四如图9，在《几何画板》中，以OA、OB(不是一般性，令OA≠OB)为底边向形外作两个相似等腰三角形．不断改变钝角∠AOB的大小和线段OA、OB的长度，容易发现：∠PEQ不一定为直角，且EP、EQ不一定相等．

(1)探究△PCE≌△EDQ的充要条件．

由于∠PCE=∠EDQ，所以要使△PCE≌△EDQ，必须PC=ED,CE=DQ⟹PC=CO,DQ=OD，则△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形，即△PCE≌△EDQ，当且仅当△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形．

(2)探究△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形的条件．

设∠PCE=∠EDQ=θ，DQ=a,DO=b,则PC=xa,CO=ED=xb，由余弦定理可得

PE2=x2a2+b2-2xabcosθ，PF2=a2+x2b2-2xabcosθ，两式相减得(x2-1)(a2-b2)=0．

由于x≠1，于是得a=b，即△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形(余略)．

综上所述，△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形的条件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形．

(3)探究△ABR为等边三角形的条件.

当且仅当∠MON=150°时，△ABR为等边三角形(理由同前)；

(4)探究△ARB∽△PEQ的条件．

由于RA=RB，所以EP=EQ，由(2)可得△ARB∽△PEQ的充要条件为△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形，且∠MON=135°.

6　一系列实验探究

图10

1、实验五——设∠AOB为钝角，将“向形外作相似等腰三角形” 推广为“向形内方向作相似等腰三角形”.

如图10，在《几何画板》中，以OA、OB(不妨令OA≠OB)为底边向形内方向作两个相似等腰三角形．不断改变钝角∠AOB的大小和线段OA、OB的长度，容易发现：∠PEQ不一定为直角，且EP、EQ不一定相等．同上易证：

(1)△PCE≌△EDQ的充要条件是：△OAP、△OBQ都为等腰直角三角形；

(2)△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形的条件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形；

(3)△ABR为等边三角形的充要条件是∠MON=150°；

(4)△ARB∽△PEQ充要条件为△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=135°．

图11

2、实验六——将“钝角三角形” 推广为“锐角三角形”，向形外作相似的等腰三角形

如图11，在《几何画板》中，作锐角△AOB，以OA、OB(不妨令OA≠OB)为底边向形外作两个相似等腰三角形．不断改变锐角∠AOB的大小和线段OA、OB的长度，容易发现：∠PEQ不一定为直角，且EP、EQ不一定相等．同上易证：

(1)△PCE≌△EDQ的充要条件是：△OAP、△OBQ都为等腰直角三角形；

(2)△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形的条件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形；

(3)△ABR为等边三角形的充要条件是∠MON=30°；

(4)△ARB∽△PEQ充要条件为△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=45°．

3、实验七——将“钝角三角形” 推广为“锐角三角形”，向形内方向作相似的等腰三角形.

图12

如图12，在《几何画板》中，作锐角△AOB，以OA、OB(不妨令OA≠OB)为底边向形内方向作两个相似等腰三角形．不断改变锐角∠AOB的大小和线段OA、OB的长度，容易发现：∠PEQ不一定为直角，且EP、EQ不一定相等．同上易证：

(1)△PCE≌△EDQ的充要条件是：△OAP、△OBQ都为等腰直角三角形；

(2)△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形的条件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形；

(3)△ABR为等边三角形的充要条件是∠MON=30°；

(4)△ARB∽△PEQ充要条件为△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=45°．

综上所述，我们得到下列一般性结论：

结论以△AOB的边OA、OB为底边向形外(或形内方向方向)作两个相似等腰三角形△OBP、△OAQ，点C、D、E分别为边AO、OB、AB的中点，延长PC、DQ交于点R．则：

(1)△PCE≌△EDQ的充要条件是：△OAP、△OBQ都为等腰直角三角形；

(2)△PEQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形的条件是△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形；

(3)当∠AOB为钝角时，则△ABR为等边三角形的充要条件是∠MON=150°；当∠AOB为锐角时，则△ABR为等边三角形的充要条件是∠MON=30°；

(4)当∠AOB为钝角时，△ARB∽△PEQ充要条件为△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=135°．当∠AOB为锐角时，△ARB∽△PEQ充要条件为△OAP、△OBQ都是等腰直角三角形且∠MON=45°．

可见，这道2016安徽中招考试试题仅仅是上述结论的一种非常特殊的情况．

本文系安徽省科学规划重点课题(编号：JG12316)研究成果.

2016-08-11)