均匀度解释混沌及生态现象的数学依据

邓群，罗传文

(1.中国矿业大学 学报编辑部，江苏 徐州　221008；2.东北林业大学 林学院，黑龙江 哈尔滨　150040)



均匀度解释混沌及生态现象的数学依据

邓群1，罗传文2

(1.中国矿业大学 学报编辑部，江苏 徐州221008；2.东北林业大学 林学院，黑龙江 哈尔滨150040)

定义了任意分布函数的均匀度，在此基础上提出了“均匀度的独立性”公理和“均匀分布最均匀”的命题，阐明了均匀度与熵的相似性，从而揭示了均匀度解释混沌的内在机理.根据独立性公理，k步期望均匀度是存在的，可以用k步平均均匀度估计.由于任意分布函数F可以看作是F-1对均匀分布的变换，数值计算表明，分布函数的非线性程度是导致k步平均均匀度降低的原因.熵是描述分布的不确定性程度的量，也描述样本的分散程度，样本分散程度意味着样本均匀程度，反之亦然，分布的确定性程度意味着样本的集中程度，样本的集中程度意味着样本的不均匀程度，反之亦然，这是熵与均匀度的共同点.生态学中，大多数格局是集聚格局是由存在于自然界中的非线性变换所致.

混沌；熵；均匀度；k步混沌强度

MSC 2010：97K80

首先明确2个概念,分布是指概率母体的分布函数,格局是指来自概率母体的欧氏空间上的样本，在很多文献中2个概念被混用，虽然被混用但仍能区分所指.

均匀性的度量在生态学中约有百年历史，将均匀分布的样本称为随机格局，比随机格局更不均匀的格局称为集聚格局，比随机格局更均匀的格局称为均匀格局，所以，这里一定要区分均匀格局与均匀分布是完全不同的.格局依次区分为集聚格局、随机格局和均匀格局，均匀分布对应随机格局.

但生态学的格局只在二维(平面)上进行研究，生态学的大量研究表明，大多数情况下植物的分布都是集聚的,这一现象可以用本文的“均匀分布最均匀”的命题解释.众所周知，均匀分布的样本是混沌轨道的极端情况，混沌的轨道都是集聚的,这一现象也可以用“均匀分布最均匀”的命题解释,均匀分布的熵相对所有其他的分布最大，这说明除了均匀分布所有的分布都是集聚的,这一现象也可以用“均匀分布最均匀”的命题解释.所以，植物格局、混沌轨道格局、分布的样本(格局)都可以区分为集聚格局和随机格局，当样本间有相关性时才能产生均匀格局.

在生态学中的格局都是集聚的，即总是比均匀分布更不均匀，但是，植物的格局偶尔也出现均匀格局，即比均匀分布更均匀的情况，植物间有相克的化学作用则产生均匀格局.人类的行为产生的格局往往比随机格局更均匀，如人工营造的森林、平原地区的自然村屯的格局都是均匀格局，可见均匀格局是样本中的相关性所引起的，人为地控制样本中的最近邻体距离或植物间的相克则产生均匀格局.

文献[1-3]通过均匀度(瞬时混沌强度和k步混沌强度)成功地度量了混沌，其计算结果都是成功的(参数随意选取，不需要特别选定)，混沌轨道的均匀度与参数之间表现了精确的同步变化关系，说明均匀度度量混沌是非常有效的.

所以，自然演化的植物分布和混沌的轨道都是集聚的，不是偶然的，有其必然的联系，因为混沌的轨道和植物的分布都是来自非线性函数的变换.

混沌的理论和实践意义是广泛的[4-7]，文献[8]证明了区间迭代不可分意味着混沌的定理；文献[9-11]提出了多种离散的生物种群动力模型，均是Logistic模型的变化.

文献[12]在心动周期的研究中定义了混沌度，并进行了实验性研究.熵是研究混沌程度的重要手段，但熵是定义在概率分布的基础上的，而概率分布又是基于空间分割的，所以长期以来人们忽视了随机点集的空间性质的研究.本文阐明了熵与均匀度的共通性和一致性，并将相应的方法和指标应用于阐明混沌、概率母体及生态格局的共通性.

1　理论与方法

n维球的体积可表示为

(1)

式中，r为球的半径，Γ(·)为Γ-函数.

根据定义1显然有独占球B(x)的半径为M(x)/2，独占体的体积为M(x)n，根据式(1)，有

(2)

(3)

(4)

为格局S的均匀度，L(S)的数学期望E[L(S)]为期望均匀度.对于混沌动力系统，设B⊂A⊂Rn，f:B→B有界，θ为f的参数向量，选择适当的多面体A，使得B⊂A，且Av=V*(A)>0.

(5)

对任意x0∈B和给定的k0(一般k0>10 000)，记轨道(点集)的1个片段(1个子集)为S(k0,k1)=(xk0,xk0+1,…,xk0+k1-1)，其独占球总体积为

称为动力系统(5)对初值x0的瞬时混沌强度(简记为ICM)，ICM的数学期望E(ICM)称为期望混沌强度.称

为k1步混沌强度(简记为k1SCM)，显然k1步混沌强度是ICM的采样平均值，它是期望混沌强度E(ICM)的1个估计，即

(6)

从式(6)可以看出，期望均匀度和期望混沌强度的比值是常数.

定义3设A为n维欧氏空间Rn中的一个多面体，F是定义在A上的分布函数，S(x1,x2,…)为F的独立同分布的随机变量序列，S(i,k)=(xik,xi(k+1),…,xk0+k1-1)为S的一个子集，则S(i,k)的均匀度记为Lik，称

(7)

公理1(独立性)引用定义3的全部符号，则Lik=L[S(i,k)]，对于i是独立同分布的.

定义3为分布函数F定义了均匀度，且多面体A上的均匀分布的均匀度为1/Vn(1)[3]，均匀分布的熵为A的体积V(A),所以可以得到A上的分布中均匀分布的均匀度是最大的，且当F为常数时，F的熵为0，同时F的均匀度也为0.

引理1(线性变换不变性)设Pt:S⊂A⊂Rn为1个有限点集，F为A上的线性函数，F=ax+b，a≠0，则L(S)=L[F(S)].

证明根据定义(1)、(2)和式(4)有

显然，线性变换不会改变邻体关系，即变换前后紧邻不会改变，换句话说，在S中，最近的2个点经过线性变换后仍然是最近的2个点，即对任意x⊂S⊂A，有MP[F(x)]=F[MP(x)]，但紧邻距离会发生改变，即M[F(x)]=aM(x)；同样，A的体积在变换前后也会改变，V*[F(A)]=anV*(A)，所以

结论成立.

命题1(均匀分布最均匀)设A为n维欧氏空间Rn中的一个多面体，F是定义在A上的分布函数，则均匀分布的均匀度1/Vn(1)对所有A上的分布是最大的，即LF≤1/Vn(1).

对于均匀分布，F是线性函数，F-1也是线性函数.故命题1可简述为：对均匀分布进行非线性变换，其非线性变换后都会降低其均匀度，而且非线性程度越高，其均匀度降得越多.当然，这只是一个命题，还不是一个定理.

“均匀分布最均匀”的理论证明是一个超级难题，原因是缺乏关于一般分布函数的独占球的统计学性质的数学结论，而且现有的数学工具都用不上，所以无论是肯定或否定都是非常困难的.虽然理论上证明非常困难，但计算验证却非常简单，若能通过大量计算验证而未发现其反例，则可提高人们运用它的信心，这也许是解决问题的权宜之计.

图1　均匀分布与变换后的分布的均匀度比较Fig.1　Comparison of uniformity before and after conversion

2　实例

图1为均匀分布与变换后的均匀度比较，x轴上的点为[0,1]上的均匀分布，y轴上的点为变换后的分布，可见，变换将样本聚集在了y轴的1附近，在0附近少有分布，即比x轴上的均匀分布更不均匀.现取k=300，m=30，对每个a的取值分别计算3次，计算G(300,30)，结果见表1.

表对均匀分布的变换比较

续表1

通过表1可以看出，当a远偏离1时，G(300，30)随之变小；当a在1附近变化时，G(300，30)不会明显偏离0.5(一维均匀分布的均匀度)，但标准差明显增大.表1的计算结果证实了“均匀分布最均匀”的倾向.同时，也可以解释生态学中大多数格局是集聚的，其原因是由非线性变换所致.

均匀度与熵的比较见表2.

表2　熵与均匀度的比较

**未经理论证明.

从表2可以看出，均匀度与熵有很大的相似性，熵可以用于解析混沌，所以也为均匀度解析混沌找到了数学依据.均匀度的优势是解析混沌，而混沌具有统计学的特性.

3　结论

2)对给定分布函数的数值计算表明，其均匀度随着其非线性程度的增加，平均均匀度降低，且标准差增大.

3)均匀度与熵有很大的相似性，这是均匀度能解析混沌的理论依据.通常n维空间的混沌轨道是分布在低于n维的分形上，精确计算分维比较困难，但易于计算其k步混沌强度(等价于k步平均均匀度).

[1]罗传文.对均匀的数学描述及与混沌的关系[J].物理学报,2009,58(6):187-191.

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[2]罗传文.均匀度理论及其在混沌研究中的应用[J].中国矿业大学学报,2005,34(4):476-481.

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[3]LUO C W,YI C D,WANG G .The mathematical description of uniformity and related theorems[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,42:2748-2753.

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[5]THOMAS C H,MOGENS H J.Hurricanes and butterflies[J].Nature,2004,428:127-128.

[6]MURRAY N,HOLMAN M.The origin of chaos in the outer solar system[J].Science,1997,283(19):1877-1881.

[7]DANIEL J G.PHYSICS:Enhanced:chaos has come again[J].Science,1998,279(20):1156-1157.

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[12]徐晓红,谢正祥,陈良迟,等.心动周期信号的混沌特征分析及应用[J].中国生物医学工程学报,1999,18(1):74-81.

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(责任编辑：王兰英)

Mathematical foundation for interpreting chaos and ecological phenomenon with uniform index

DENG Qun1，LUO Chuanwen2

(1.Editorial Office of the Journal，China University of Mining & Technology,Xuzhou 221008,China；2.School of Forestry,Northeast Forestry University,Harbin 150040,China)

The uniform index of arbitrary distribution function was first defined, then the axioms of ‘uniform index independence’ and proposition of ‘uniform distribution is the most uniform’ were put forward. The similarity between uniform index and entropy was clearly illustrated, and the inner mechanism of interpreting chaos with uniform index was revealed thereby. According to the independence axiom,kstep expectation uniform index does exist, and can be estimated bykstep average uniform index. As the arbitrary distribution functionFcan be regarded as a transformation of uniform distribution byF-1, numerical calculation indicates the the nonlinear degree of distribution function is the direct cause forkstep average uniform index reduction. Entropy is a varable to describe the uncertainty of distribution, meanwhile, it also describes the disperse degree of samples, which means the degree of uniformity and vice versa. Certainty of distribution signifies the concentration degree of samples, which also implies the non-uniformity and vice versa. This is the common ground of entropy and uniform index. In ecology, the fact of most structures are clustering is caused by the nonlinear transformation existing in the nature.

chaos;entropy；uniform index；kstep chaometry

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.04.002

“十二五”国家科技计划项目(2012BAD22B01)

邓群(1961—)，女，四川威远人，中国矿业大学副编审，主要从事数学方面的研究.E-mail:dengq@cumt.edu.cn

罗传文(1962—)，男，四川高县人，东北林业大学教授，博士生导师，主要从事生态数学方面的研究.

E-mail:674151096@qq.com

O18

A

1000-1565(2016)04-0343-06