“找次品”中的推理路径

刘重庆

《数学广角——找次品》是人教版五年级下册的教学内容，正值学生思维方式由具体形象向抽象逻辑过渡的关键期。教学中为了有效提高学生的推理能力，实现学生思维方式的转变，笔者做了以下思考与尝试。

一、解读教材，悟推理之定位

数学广角的内容大多承载着数学思想方法教学的任务。不认真解读，很容易因为学生理解起来有难度而上成培优课。《找次品》的教学目标是让学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，找出用天平找次品的“最优化”方案。

与实验教材不同，编者将原来的“5”改为“3”，主要目的是让学生从最简单的问题入手，初步理解“找次品”的含义，夯实找次品的基本推理过程。推理大前提：“待测物品应该一分为三——即天平左、天平右、天平外”。不同小前提得到不同结论：“如果天平平衡，那么天平外的那一瓶是次品；如果天平不平衡，那么轻的那一瓶是次品。”也就是说，“待测物品为3，只需称1次”，为后面推理更多待测物品提供数据支持。

二、精心设计，破推理之难点

推理教学的难点在于帮助学生找出一个清晰的思路和推理范式，这样无论前提怎么变化，学生都可以“以不变应万变”，头脑清晰地做出正确判断。观察、猜想、实验验证是推理的常见思路。

教学中，笔者创设问题情境：3瓶钙片中有一瓶少了2片（次品），用没有砝码的天平称，至少需要几次才能找出那瓶次品？学生大胆猜想，有学生质疑：没有砝码怎么称量？有的学生说，可以找出，但至少要称两次；还有的学生说一次就可以。这时笔者让学生拿出事先准备好的模拟天平，动手操作，验证自己的猜想。学生在多次操作和相互讨论后发现：用天平称时，不管怎么样，待测物品都分为了3份，左右托盘各放一瓶，如果平衡，次品在天平外；如果不平衡，次品在较轻的那一端。通过一次称量操作就可以找出三瓶钙片中的一瓶次品。笔者让学生将这一重要结论先用文字记录下来，考虑到纯文字表述不利于交流沟通，笔者又让学生用图示辅以文字说明的方式再次提炼找次品的思维过程。

至此从3个物品中找次品的推理过程教学告一段落。借助摆一摆、说一说、写一写、画一画，引导学生的思维由直观向抽象转化，夯实好基于大前提，由小前提得到结论，这一推理的基本模式，让学生从中获得了科学思维方式的训练，为后续从较多物品中找次品的教学奠定了良好的基础。

三、关注学生，重推理之延续

当数据变大的时候，找到次品的过程就不是单一的推理过程，而是需要学生完成一次三段论推理后，继续分，继续称，继续观察，继续推理，直到找到次品，然后通过对多种方案的对比，寻找到最优方案。

“如果数据大一点，是8个物品呢，至少几次能顺利地找出次品呢？”以此为切入点，笔者引导学生分三步进行深入探究。第一步——猜测中，觅“题眼”，激发学生参与验证的兴趣。当学生给出猜测2次、3次或4次时，笔者引导学生抓住题眼——“至少”，则是在保证一定能找出次品的各种方法中，称量次数最少的那种方案。第二步——活动中，找“方案”，为更复杂的推理提供脚手架。学生讨论从8个物品中找次品的时候，提出（4，4），（3，3，2），（2，2，4），（1，1，6）四种方案，教师要求学生找到具体的方案，并简要记录，完成表格。学生在讨论、记录中会发现不同的分法需要称量的次数是不一样的。第三步——对比中，寻“最优”，让学生感受自我完成推理的成功感。当学生将四种不同方案呈现在表格中后，笔者引导学生将不同方案进行对比。第一次对比方案一（4，4）和方案二（3，3，2），学生发现：将待测物品分成3份，把天平左、天平右、天平外三个位置都利用起来找的次数少。这也是推理的大前提。第二次对比方案二（3，3，2）、方案三（2，2，4）和方案四（1，1，6），把待测物品分3份，天平左右数量一样，其余的在天平外，在这个大前提下，根据观察天平是否平衡——两个不同的小前提，得到不同的结论。即第一次称完后，方案二（3，3，2）最不利的情况是次品需要在3个里找，而方案三（2、2、4）、方案四（1，1，6）称一次后，最不利的情况分别是次品在4个、6个里再找，在3个里找肯定比在4、6个里找容易，虽然都分成了3份，但还得看怎样分。方案一（4，4）第一次称完后，还是需要在余下的4个里找。如此对比，让学生体会到“要想找的次数少，需要把待测物品分成3份，每份尽量平均分”的本质：第一次称完后，确定次品的范围越小，称的次数也就越少。

“9个物品怎样分，找次品的次数最少？”学生自主探究得出初步结论后，笔者让学生再用10个、11个去验证，得出：把待测物体尽可能平均分成3份，称的次数最少。那么这种方法在待测物品的数量更大时是否也成立呢？学生继续验证27个、81个……当面临数量更大的情形时，学生应用最优思路解决问题，发现81（27，27，27）——27（9，9，9）——9（3，3，3）——3（1，1，1）之间的转化关系，感悟到最基础的3（1，1，1）的推理模型的重要性，更体会了从简单到复杂，一步步推理成功带来的成就感和愉悦感。

（作者单位：武汉市常青实验小学）