具有时滞增长反应和脉冲输入的Monod-Haldane恒化器竞争模型

孔丽丽

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

具有时滞增长反应和脉冲输入的Monod-Haldane恒化器竞争模型

孔丽丽

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

通过应用脉冲时滞微分方程的相关理论和方法，研究一类具有时滞增长反应和脉冲输入营养基的Monod-Haldane型恒化器竞争模型，得到了微生物灭绝周期解全局吸引的充分条件。

时滞;脉冲;Monod-Haldane型恒化器模型;全局吸引

1 建立模型

恒化器模型是用于微生物培养的一种实验装置，可以用来模拟浮游生物的生长。本文考虑如下一类具有时滞和脉冲输入营养基的Monod-Haldane型恒化器竞争模型

这里δi(S)=1+CiS2(t),(Ci＞0,i=1,2)。S(t)表示t时刻培养室中未消耗完营养基的浓度，x1(t),x2(t)表示在t时刻培养室中两种不同微生物种群的浓度。S0和D是正数，它们分别表示微生物生长所需要营养基的浓度和恒化器的流速率。T=γ/D是脉冲周期，γS0是在每个脉冲T时刻控制流入培养基的量，DS0表示单位时间内平均被加入培养室中培养基的量。τi≥0(i=1,2)表示营养基向微生物转化的时滞。是必不可少的，因为假设当前微生物的变化量依赖于τi(i=1,2)时刻前营养基的消耗量和τi(i=1,2)时间内微生物的死亡量，，并且S(t)在t=nT时刻左连续，即。

为了讨论方便，我们做变换S(t)=S0x(t),xi(t)=δi(S)S0yi(t)系统变为

考虑到生物意义，我们总是假设系统(2)的解满足初始条件：

2 概念和定义

微生物种群的灭绝性是指恒化器中的微生物完全消失，即yi(t)=0(i=1,2,t≥0)。因而给出下面的脉冲系统

引理1[1]系统(4)存在正周期解x*(t)，而系统(4)满足初始条件x10≥0的任一解x(t)当t→∞时，|x(t)-x*(t)|→0。并且

(i)若x10≥γ/(1-e-DT)，则x(t)≥x*(t)；

(ii)若x10≤γ/(1-e-DT)，则x(t)＜x*(t)。

这里x*(t)=γe-D(t-nT)/(1-e-DT)t∈(nT,(n+1)T]，n∈N,x*(0)=γ/(1-e-DT)。

引理2[2]考虑下面的时滞微分方程:

其中r1,r2,τ都是正数，且当t∈[-τ,0]时,x(t)＞0。

3 微生物灭绝周期解的全局吸引性

由引理1知系统(2)有一个微生物灭绝周期解(x*(t),0,0)t∈(nT,(n+1)T],n∈N。接下来我们给出微生物灭绝周期解全局吸引的条件。

取

定理1若ℜ1＜1，那么系统(2)的微生物灭绝周期解(x*(t),0,0)是全局吸引的。

证明假设系统(2)满足初始条件(3)的任一解为(x(t),y1(t),y2(t))。由系统(2)的第二个方程可得

考虑下面的比较方程

注意到nT＜t≤(n+1)T，以及t=nT,x(t+)=x(t)+γ，我们考虑下面的比较系统

由引理1系统(8)存在全局渐近稳定的T-周期解

又由脉冲微分方程的比较定理知∃n1∈N+和∀ε＞0，使得对所有的t＞n1T有

结合(9)和系统(2)的第二个方程可得

考虑比较方程

同理，可得当t→∞,y2(t)→0。

因此假设0＜yi(t)＜ε(i=1,2)。对于所有的t≥0，根据系统(2)的第一个方程，有x′(t)≥-(D++

考虑下面的脉冲系统

进一步，由系统(2)第一个方程可得：x′(t)≤-Dx(t)。因此考虑如下比较系统

得

即x(t)→x*(t),t→∞。

表1 系统（2）某些参数的临界值（必须满足ℜ1＜1）

[1]MENG X Z H,ZHAO Q L,CHEN L S.Global qualitive analysis of Monod type chemostat model with delayed growed response and pulse input in polluted envinoment[J].Applied Mathematics and Mechanics,2008,29(1):75-87.

[2]YANG Kuang.Delay differential equations with applications in population dynamic[M].Califomia:Acadermic Press INC,1993.

[3]BAINOV D D,SIMEONOV P.Impulsive differential equations:periodic solutions and applications[M].Harlow:Longman Scientific and Technical Press,1993.

[4]李录苹,仝耀华.具有时滞和非线性发生率的SEIR脉冲接种模型[J].山西大同大学学报（自然科学版）,2014,30(5):5-6.

[5]仝耀华,李录苹.一类具有时滞的病毒自发变异的传染病模型[J].山西大同大学学报（自然科学版）,2013,29(5):17-19.

A Monod-Haldane Chemostat Competitve Model with Delayed Growth Reponse and Impulsive Input

KONG Li-li
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

By applying the related theories and methods of the impulsive delay differential equation,studies a class of time delays growth response and impulsive input of nutrients Monod-Haldane chemostat competition model,the sufficient conditions for microor⁃ganism extinction periodic solution global attraction were got..

time delayed;impulsive input;Monod-Haldane chemostat model;global attractivity

O175

A

1674-0874(2016)05-0014-03

2016-03-08

孔丽丽(1984-),女，山西吕梁人，硕士，实验师，研究方向：生物数学与计算机应用。

〔责任编辑 高海〕