Newtom-Raphson迭代法

郝艳花

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

Newtom-Raphson迭代法

郝艳花

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

Newtom迭代法是一个基于用近似线性方程代替原方程的构造方法，该方法具有一定的普适性，且在求单根时具有二阶收敛速度，是目前使用较为广泛的一种迭代法。

牛顿迭代法；收敛阶；构造方法

1 Newtom-Raphson迭代法的构造

Newtom迭代法是一个基于用近似线性方程代替原方程的构造方法。从方法的构造、编程方式和收敛性上讲，该方法具有一定的普适行，且在求单根时具有二阶收敛速度，是目前使用较为广泛的一种迭代法[1-4]。

设xk为方程f(x)=0的根x*的一个近似解，将f(x)在xk处作Taylor展开，得

将上式中的x换成xk+1,并把“≈”改为“=”得

Newtom迭代法的基本思想就是：将非线性函数f(x)逐步线性化，从而将非线性方程f(x)=0近似地线性方程求解。

2 Newtom迭代法的收敛性

2.1 收敛定理

假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续、可微，且满足下列条件：

（1）f(a).f(b)＜0;

(2)f'(x)≠0,x∈[a,b];

(3)f''(x)在[a,b]上不变号;

则对闭区间[a,b]上的任意初始值x0,Newtom-Raphso迭代法二阶收敛到方程f(x)=0在区间a,b内的唯一实根x*。

2.2 收敛性质

设函数f(x)具有m（m＞2）阶连续导数，x*是方程f(x)=0的单根，则当初始值x0充分接近x*时，Newtom法收敛，且为至少二阶收敛。

2.3 Newtom法的改进措施

Newtom法的一个缺陷是在求复根时只具有局部线性收敛速度，下面给出几种解决方法。

方法1若重根x*Newtom法的重数m已知，则改进的Newtom法为

在求x*时至少二阶收敛。

方法2若要提高Newtom法收敛的阶数，可用下列方法：

是一种局部三阶收敛的方法。

方法3在Newtom法中，若函数比较复杂，初值的选取比较困难，可改用迭代式

其中λ是待定参数。

3 典型例题分析

例 设c＞0,试用Newtom法解二次方程x2-c=0,从而导出不用开方直接计算的算法，并证明该Newtom法的收敛性。

即可求得c的Newtom法公式

下证上式迭代格式的收敛性：

对任意给定的正数ε，设,令,则可知,在区间上有：

由迭代公式，可知对于任意x0∈[]ε,M(ε)二阶收敛到方程x2-c=0的唯一实根。

4 小结

牛顿迭代法结合计算机编程，可以解决许多问题。牛顿迭代法是求非线性方程及非线性方程组的重要方法。

[1]刘师少.计算方法[M].北京：科学出版社，2012:30-33.

[2]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008:222-226.

[3]雷金贵，蒋勇，陈文兵.数值计算方法理论与典型例题选讲[M].北京：科学出版社，2013:141-146.

[4]倪健，马昌凤.解非线性方程牛顿迭代法的一种新的加速技巧[J].广西科学院学报,2010,26(1):1-3.

Newton’s Method

HAO Yan-hua
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Newton iterative method is a construction method based on the approximate linear equation instead of the original equa⁃tion,The method has a certain general line,and has two order convergence rate for single time,is a more extensive use of an iterative method.

Newton’s method；order of convergence；method of construction

O241

A

1674-0874(2016)05-0010-02

2016-06-23

郝艳花(1973-),女，山西大同人，硕士，副教授，研究方向：计算数学。

〔责任编辑 高海〕