例谈函数零点问题解决策略

石家文

例谈函数零点问题解决策略

石家文

函数零点的相关问题涉及函数方程，蕴含转化化归、数形结合、分类整合等数学思想，是函数与方程知识的综合应用之点，也是高考的重点、难点和热点。笔者通过多年的教学体会和对近年来高考试题的分析，从五个方面谈一谈函数零点相关问题的解决办法，供老师们参考。

一、零点算出来

当问题的实质是求函数零点或导函数零点时，别无选择，必须把零点用解方程的办法算出来。

解得3x-1=3或3x-1=-3（舍），

解得3x=4，

所以x=log34。

说明：函数f（x）的零点就是使f（x）=0的x的值，也就是关于x的方程f（x）=0的根，常用求方程根的方法计算函数的零点。

二、零点画出来

如果问题只涉及零点的个数，可考虑用零点画出来的方法，但要注意函数图像必须是能够画得出来的。画初等函数的图像，学生不会有难度。如果是画较复杂函数的图像，可以以导数为工具，先分析函数的单调性和极值等，再画出函数的图像。

例2.设函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）略。

解：（1）由f（x）=0⇔a（x-1）2=（2-x）ex，显然x=1时，a不存在，故x≠1。所以

当x＞1时，g′（x）＞0；当x＜1时，g′（x）＜0。函数g（x）在（-∞，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增。

又x≥2时，g（x）≥0；x＜2时，g（x）＜0，且g（0） =-2。故在同一坐标系中作直线y=-a，函数y=g（x）的图像如图1所示。由图知：当且仅当-a＜0，即a＞0时，直线y=-a与函数y=g（x）的图像有两个交点，故a的取值范围为（0，+∞）。

图1

说明：本题用零点画出来的方法，比参考答案简单多了，真是一个图形胜过千言万语！数形结合是避开分类讨论的最好办法。

三、零点画出来与算出来相结合

当问题的题设给出的函数是分段函数（或转化后为分段函数），而问题的解决用到该函数的零点时，可采取先把零点画出来，再把零点算出来的方法，来一个双管齐下。

图2

又x1是关于x的方程2x2-x=m，即2x2-x-m=0的较小根。

说明：本题由于是一道小题，原供参考答案是利用图像与不等式方法得到相应结果。笔者在教学中发现将该题改为小题大做，把x1·x2·x3用m表示出来，用函数思想求x1·x2·x3的范围，是一道极佳的函数方程的问题。

四、零点反串

若题设中已给出了函数零点的字母表示，而目标中又涉及零点的相关代数式时，或需用零点来联系相关的参数时，必须回归函数零点的定义。笔者将其称之为零点反串。

例4.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点。（1）略；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2。

解：（2）不妨设x1＜x2，由（1）及图3知：x1＜1＜x2，进而有2-x2＜1。所以x1，2-x2∈（-∞，1）。

图3

由f′（x）=（x-1）（ex+2a）及a＞0知：

当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（-∞，1）内单调递减。

所以x1+x2＜2⇔x1＜2-x2⇔f（x1）＞f（2-x2）⇔f（2-x2）＜0。

由于f（2-x2）=-x2e2-x2+a（x2-1）2，而f（x2）=（x2-2）ex2

+a（x2-1）2=0，所以f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2

。

设g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，而g′（x）=（x-1）（e2-xex）。所以当x＞1时，g′（x）＜0，而g（1）=0，故当x＞1时，g（x）＜0，从而g（x2）=f（2-x2）＜0，故x1+x2＜2。

说明：本题虽然是一道利用函数单调性证明不等式x1＜x-x2的问题，但最关键的地方是利用x1，x2的反串，得f（x1）=0，f（x2）=0，成功地消掉了x1及a，为问题的解决奠定了基础。

五、设而不求

如果函数是一个超越式，我们无法直接解出其零点。但由零点存在性定理或作图知道设函数在某一区内有零点时，我们可采用先设零点再反串的方法予以解决。

例5.设函数f（x）=e2x-alnx。

（1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；

当a＞0时，方程g（x）=a有一个根，即f′（x）存在唯一零点；

当a≤0时，方程g（x）=a没有根，即f′（x）没有零点。

（2）由（1），可设f′（x）在（0，+∞）的唯一零点为x0。当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0。故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以f（x）min=f（x0）。

由f′（x）=0得0，进而得①和

以函数零点相关问题作为高考压轴大题，就是因其综合性极强，思想内涵丰富，有很好的选拔功能，有难度是必然的。但只要我们用活五大招，从数与形两方面思考，学生破解这类问题应该没有问题。

（作者单位：永顺县第一中学）