“怎样拼”教学案例及点评

“怎样拼”教学案例及点评

董建军 张新春

课前思考

人教版五年级下册“长方体和正方体”的整理复习题中有这样一道题：把2块棱长为1.5m的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的体积，表面积分别是多少？如果用3块正方体拼的图形呢？我将此题拓展为长方体的拼接，并将拼的个数增加了4个和6个两种情况，以便对学生进行更高层次的思维训练。学生在进行长方体的拼接时，既要考虑被覆盖的面的数量，还要考虑被覆盖面的大小，什么情况下拼成的长方体表面积最小。随着小长方体个数的增加，怎样拼最省也变得更复杂。在这一系列的思考中，学生能够培养用发展变化的眼光看问题的意识。

教学过程

一、复习旧知

教师引导学生复习长方体、正方体的表面积、体积计算公式。然后出示问题：一个长方体茶叶盒的长、宽、高分别是15cm、6cm和9cm，求它的表面积和体积。

二、长方体的拼接

1.2个长方体的拼接

师：老师手上有2个长方体茶叶盒，长、宽、高分别是15cm、6cm和9cm。我想将它们拼成一个大长方体。请你们计算这个大长方体的体积和表面积。

生1：体积是15×6×9×2=1620（立方厘米），表面积是（15×6+15×9+6×9）×2×2-15×6×2=936（平方厘米）。

生2：体积是15×6×9×2=1620（立方厘米），表面积是（15×6+15×9+6×9）×2×2-15×9×2=846（平方厘米）。

生3：体积是15×6×9×2=1620（立方厘米），表面积是（15×6+15×9+6×9）×2×2-6×9×2=1008（平方厘米）。

师：仔细观察3位同学的计算，你有什么发现？

生4：我发现他们3人计算出的体积都一样，但表面积不一样。

师：为什么会这样呢？

生5：无论怎么拼，2个茶叶盒所占的空间都一样，大长方体的体积是这2个小长方体的体积之和。而表面积却不是2个小长方体的表面积之和，还要减去被覆盖的面积。因为茶叶盒3个相邻面的大小不一样，被覆盖的面积也不一样，所以拼成的大长方体的表面积也就不一样。

师：那怎样拼表面积最大？怎样拼表面积最小呢？

生6：被覆盖的面越大，拼成的长方体的表面积就越小；被覆盖的面越小，拼成的长方体的表面积就越大。

学生活动：同桌两位同学拿出数学书拼出表面积不同的三种长方体。

2.3个长方体的拼接

师：同学们，现在有3个这样的茶叶盒，将它们拼成一个长方体，要求拼成的长方体的表面积最小，又该怎么拼？

生7：我知道，拼的时候将最大的面进行覆盖就可以使得到的长方体的表面积最小，是（15×6+15× 9+6×9）×2×3-15×9×4=1134（平方厘米）。

师：这样看来，拼3个茶叶盒与拼2个茶叶盒相比，有什么相同和不同的地方？

生8：都是覆盖掉15×9的大面，但拼2个茶叶盒时覆盖了4个面，拼3个茶叶盒时覆盖了6个面。

师：也就是说，不管几个相同的长方体拼接，只要将最大的面覆盖，一直累加成一列，得到的长方体的表面积就最小，是这样吗？

生：是这样的。

3.4个长方体的拼接

师：现在老师要将4个这样的茶叶盒拼成一个大长方体，怎样拼表面积最小呢？

生9：（15×6+15×9+6×9）×2×4-15×9× 6=1422（平方厘米）。

师：还有不同的拼法吗？

生（异口同声）：没有。

师：你们能保证拼出的表面积就是最小的吗？

生10：肯定是。因为15×9的面是茶叶盒里最大的面，要使拼成的表面积最小，就要覆盖掉最大的面。

师：同学们学得非常认真，值得表扬。你们想继续挑战吗？老师这里有2个纸盒，长、宽、高分别是15cm、9cm和12cm。（其实每个纸盒中藏着2个茶叶盒）我想将它们拼成一个大长方体，怎样拼表面积最小？

生11：太简单了。（15×9+15×12+9×12）×2×2-15×12×2=1332（平方厘米）。

师：你们太厉害了！请注意看，请注意看，请注意看！重要的事情说三遍。（将藏在纸盒中的茶叶盒拿出来）这是什么？

生12：4个和原来一样的茶叶盒。

师：那么问题来了。为什么同样的4个茶叶盒，你们开始拼出的最小表面积是1422平方厘米，现在拼出的最小表面积是1332平方厘米？

生13：老师，我知道错在哪儿。单个看，好像15×9的这个面最大，但是当把2个茶叶盒当作一个整体来看的话，还有比这个面更大的面。在拼的过程中最大的面变了，所以得到的结果也就不一样了。

师：说得真好，最大的面变了，不再是原来那个面了。通过这个习题，你明白了什么？

生14：我知道了不要用老眼光看问题，有些东西是发展变化的。

三、拓展训练

师：现在老师要将6个长、宽、高分别是15cm、6cm和9cm的茶叶盒拼成一个长方体。要求拼成的长方体的表面积最小是多少，你们会吗？

生15：老师，是不是像上题一样将2个茶叶盒看作一个整体，然后将3个整体拼起来？

师：那你们先试试。

生16：我算出来是1818平方厘米。

师：你能保证是最小的吗？没把握是吧？要不这样，大家画画图，看怎样拼表面积最小。

生17（激动地）：老师，我找到表面积更小的了。是把3个茶叶盒看作一个整体，得出的表面积最小，是1728平方厘米。

师：（展示两种拼法的示意图）同学们观察一下，重点看看两种拼法覆盖掉的面有什么不同。

生18：老师，我看出来了：第一种拼法覆盖掉了15×9的面有6个，15×6的面有8个；第二种拼法覆盖掉15×9的面有8个，15×6的面有6个。所以相差90平方厘米。

四、实际应用

课件展示生活中的一些包装问题。教师要求学生选择其中的一种包装课后进行研究，看这种包装是不是最省材料，可以怎样改进。

点评

从教学内容上看，本课是简单的几何极值问题。即求几个长方体拼成一个大长方体后，大长方体表面积的极小值。几个长方体拼成一个大长方体，大长方体的体积等于几个小长方体的体积之和，但大长方体的表面积却不等于小长方体的表面积之和，而是小于小长方体的表面积之和。

几个长方体拼成一个大长方体，拼的方式是有限的。因此，这一问题原则上可以通过列举、计算、比较来解决。即把各种可能的拼法都列举出来，分别计算出大长方体的表面积，再通过比较就可以找到最小的。

本课教学过程中，董老师首先通过简单的问题——求2个长方体拼成的新长方体的表面积——让学生注意到，2个长方体的表面积之和不等于拼成的长方体的表面积。并且理解其原因：原来小长方体的一些面不再是大长方体的表面了。至此，一方面为问题的提出提供了背景：既然表面积会随拼法而变，那么何时面积最小？另一方面为解决这一问题提供了基本思路：通过拼，让被覆盖的面尽可能地大。

教学过程中，老师不经意中改变题目的条件，让学生在不知不觉中犯错。在老师的指导下，学生主动纠错，并进行反思，从而提高对问题的认识。经历了这一过程，学生懂得了面对一个问题，如何对自己的解答提出质疑，又如何得到新的解答。这种看似不经意中的改变条件，其实是老师精心设计的。

值得注意的是，与本课中的问题类似，在平面图形中有这样的问题：几个长方形拼成一个大长方形，大长方形的面积等于小长方形的面积之和，但大长方形的周长却不等于小长方形的周长之和，而是小于小长方形的周长之和。我们可以进行适当类比。

（作者单位：中南大学第一附属小学长沙市教育科学研究院）