“数与形”教学研究报告

涟源市小学数学研究会潇湘数学教育工作室

“数与形”教学研究报告

涟源市小学数学研究会潇湘数学教育工作室

一、对数形结合思想方法的理解

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。数学的许多问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的。在数学上，我们把根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想方法叫做数形结合。小学数学教材一直都很重视对数形结合思想方法的渗透与运用。几乎从第一节课认识数字开始，学生就受到数形结合思想方法的熏陶。

人教版新教材在六年级上册安排了数与形为主题的教学，让学生有机会走近、理解并运用数形结合的思想方法。这一内容呈现在“数学广角”版块中，集中发挥了它在培养学生的思维能力上的优势——由数思形，培养思维的灵活性；由形思数，培养思维的缜密性；数形结合，培养思维的创造性；数形对照，培养思维的批判性。这种抽象思维与形象思维有机结合时，能促使学生多方位、多角度、多层次地思考问题，进而培养他们灵活、深刻地分析问题与解决问题的能力。

二、教学中存在的问题及分析

（一）教学实践中的问题

因为这是教材新增的内容，可供参考的文献资料不多，无形中给教学增加了难度。实际教学中，数学老师对数形结合的思想方法了解多少？在具体的操作中，又是如何落实这种思想与方法的呢？对此，我们在全市抽取了40名小学数学教师和40名六年级学生作为样本进行了问卷调查。调查结果显示，大多数教师对数形结合基本含义的理解多集中于一些具体现象，对功能性含义关注不够；认为数学思想方法在教学目标中是隐性的，想渗透但不知怎样渗透；教学时关注了以形助数，对以数解形重视不够。学生只有少部分听说过数形结合的思想方法，主动用数形结合的方法解决问题的经验明显不足。由此可见，数形结合的思想方法还没有真正落实到小学数学课堂教学中，老师们普遍重视不够，数学思想方法的教学是不到位的。

1.如何合理地定位教学目标。在旧教材中，例2及后面的几道练习题都属于思考题甚至竞赛题，而新教材把这些内容作为主体内容进行教学，那么这部分内容在教学时究竟要达到怎样的要求呢？

2.如何精选教学材料。课后练习题里编入的习题哪些能让学生真正感悟数形结合的思想方法？需要补充哪些学习材料让学生体会数形结合的优越性？

3.如何选择有效的教学策略。这部分内容的教学难度较大且相对独立，教学时如何搭建脚手架，既能让学生够得着又能够避免教师硬给？

4.如何让学生较好地感悟极限思想。教材中例2的内容体现了极限思想。极限思想作为一种数学思想，小学生理解起来会觉得比较抽象。教材也试图借助形直观形象地解释的结果就是1。这样的处理，学生对结果1的理解是否有困难？教学时如何创设合适的情境，让学生感悟极限思想？

1.学生常常把画线段图、作图等借助几何图形简化代数思考的过程看成是老师加在他们身上的负担，体会不到数形结合方法的精妙。

2.数形结合大致可以分为以形助数、以数解形两大类。由于小学生年龄、知识的局限，数形结合在小学阶段更多地表现为以形助数，以降低思维难度。也因为小学阶段学生接触的大多是具体的数据，用字母表示数的内容较少，往往难以满足以数解形教学的需要。

（二）对问题的分析

1.抓住问题情境和数学思想方法之间的结合点

如果教师用心琢磨，就会发现数形结合思想在数学教学中无处不在。教师教学时，要善于发现，充分挖掘问题情境中隐含的数学思想方法，找准数学思想方法与问题情境之间的结合点，利用数形结合思想帮助学生在形象思维和抽象思维之间搭建桥梁，让学生在学习数学、理解数学的过程中感悟数学思想方法，发展思维能力。

2.如何提升学生运用数学思想方法解题的素养

对学生而言，如果能充分感受数形结合思想方法在数学学习中的价值，并将数形结合的思想迁移到解决其他一些实际问题，对他们形成良好的思维素质与技巧，提升数学能力是大有裨益的。所以，问题的关键还在于教师如何把教学内容中隐含的数形结合思想方法显性地传递给学生，把学生潜在的关于数形结合思想方法的经验激活。教师的教学需要在这方面下功夫。

三、教学实践

片段一：

教师板书一列数：1，4，9，16，（）。

师：猜猜看，接下来的这个数会是什么呢？说说你的想法。

生1：这列数中相邻两数之间依次相差：3、5、7，是连续的奇数，接下来应该加9，所以这个数应该是16+9=25。

师：同学们听明白了他的意思吗？谁还有不同的发现吗？

生2：我发现这些数都是平方数。第一个数是1的平方，第二个数是2的平方，第三个数是3的平方，第四个数是4的平方，所以我猜第五个数是5的平方，应该填25。

师：看到这些平方数，你能马上联想到我们熟悉的哪个图形呢？

生3：正方形，正方形的面积就是边长的平方。

师：棒极了！难怪平方数又叫正方形数呢。看来，数与形之间有着一些奇妙的联系，这节课我们就一起来研究“数与形”（板书课题）。

师：有意思的是，在上面的同一组数据中，同学们找出了两种不同的规律，这又是为什么呢？带着这个疑问，我们一起走近这个奇妙的正方形吧。（出示图1）你能一眼看出这是多少个小方格吗？是怎么知道的？

生4：25个小方格，用5×5=25。

师：不错，25就是5的平方数。现在的问题是，这些小方格的个数除了用5×5计算外，还有没有别的算法？也许你会觉得这个问题很奇怪，除了用5×5计算，还能有什么好办法呢？数学就是这样有意思，有时候我们换个角度思考就会有不一样的发现。刚才我们不是在同一组数据中发现了不同的规律吗？现在，你换个角度看看这幅图，怎么看就能看出每次加3、加5、加7……这样的规律呢？

图1

学生思考。

生5：我是拐着弯进行计数求和的，第一层1个，第二层3个，第三层5个，第四层7个，第五层9个，那么25=1+3+5+7 +9。（课件相机演示，如图2）

师：咦，加一层不就是加一行一列吗？一行2个，一列2个，两个2不是4吗？为什么这里只加了3个？

生6：看图就会发现，拐角上的这个方格在行里数到它，在列里又数到它，重复了一次，减去1，就只有3个了！

师：噢，我明白了！数形结合就是这么奇妙！（动画演示：依次递加一层）

图2

生7：3+3-1加了5个，4+4-1加了7个，5+5-1加了9个。

师：每加一层，正方形的边长就多1，1+3+5+7+9构成了5×5的正方形！刚才我们从不同的角度研究了同一个图形，找到了两种不同的算法，一种是5× 5，另一种是1+3+5+7+9，若综合这两方面考虑，这两个算式之间可以用什么符号联结？

生：等于号。（板书：5×5=1+3+5+7+9）

师：大家大胆地想象一下，如果我们在这个正方形的外面再加一层，这个等式会怎么变？

生8：6×6=1+3+5+7+9+11。

师：真好！我们再大胆地想象一下，有一个正方形的小方格数可以写成这样一个算式：1+3+5+…+99，那是多少个小方格的正方形呢？

学生交流讨论。

生9：我们找到了规律，这个算式有多少个加数，小方格的个数就是这个加数个数的平方数。100以内的奇数有50个，这个正方形的小方格数就是50× 50！

师：数学真奇妙，换个角度看一看，竟然有了这么多的发现！同学们，如果再换个角度观察这个正方形，你还会有新的发现吗？

学生独立思考后进行同桌交流。

生10：我们发现斜着看也很有意思（如图3），1+2+3+4+5+4+3+2 +1。

师：太棒了！斜着看，谁还有不同的发现？

生11：斜着看，每次多了1个小方格，加到5以后，每次又少1个小方格，5是最大数，5的左右两边是对称的。

图3

师：你们的表现真不错！正因为这种对称，才使得这些小方格拼成了一个5×5的正方形。同学们大胆地猜想一下，如果这个最大数是6呢？1+2+3+4 +5+6+5+4+3+2+1又会是几行几列的正方形呢？

生12：6行6列，有36个小方格。

师：看样子，同学们在数与形中找到了规律。回顾刚才的研究历程，我们从两个不同的角度研究了同一个图形，发现1+3+5+7+9和1+2+3+4+5+4 +3+2+1都可以表示5行5列的大正方形中小正方形的个数。怎么样？数学有意思吧？刚才这些有意思的发现都源于一个非常简单的图形——正方形。我们都要感谢它！难怪数学家华罗庚也曾这般感叹：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合的方法如此之好，不如老师给一个问题，你们也来体验体验数形结合的妙处吧。（课件出示：

生13：分母有规律呢，后一个加数的分母总是前一个加数的分母的2倍。

师：嗯，很重要的发现！

生14：如果通分再计算的话太难了，肯定有简便算法的吧？

师：寻求简便算法是一条很好的思路。问题是，你没有这类题的解题经验的时候，如何找到这个方法就显得特别重要了。华罗庚先生说过这么一个方法，不知道对同学们寻求方法有没有帮助——我们要善于退，足够地退，退到原始而不失重要性的地方，退到我们容易看清问题的地方。对这个问题，我们要退到什么地方比较合适呢？

生15：先计算两个数相加，然后每次加一个数看看。

师：对，摸着石头过河，大家试试看吧。

学生独立计算，小组交流、展示。

生16：我是一个一个加的，得数好像有点规律。

生17：得数的分子总是比分母少1。

生18：得数的分母和最后一个加数的分母是一样的。

生19：我知道了，这样加下去的话，结果的分母是最后一个加数的分母，分子总比分母少1。

生20：我也知道了这道题的结果

师：这是一个很有意思的结果，老师很欣赏大家学习数学的方法。我们面临一个新的问题时，寻求解决问题的方法很重要。前面我们学习了数形结合的方法，你能找到一个合适的形表示这个加法算式的意思吗？

生21：我用一个正方形表示的。正方形的一半是

图4

师：这个形很生动地解释了这个结果。同学们可以大胆地想象，加的数越多，这个结果越接近1。除了正方形，你还能想到别的形吗？

生：长方形！圆形！线段！

师：（课件相机出示，如图5）有道理！虽然形各不相同，但说明的数理是一样的。而且我们不难发现，像这样比较复杂的问题，画图的确是个解决问题的好方法！

图5

教学意图：这一片段的设计体现数形结合中以形助数的一般特征和解题优势，实现了数学问题中数与形的沟通，使学生初步了解了数与形之间的紧密联系，掌握了数与形进行转化的方法，提升了应用数形结合思想解决数学问题的意识，发展了数学思维的灵活性。

片段二：

师：孩子们，在前面的学习中，大家都有了不起的表现。在形的帮助下我们解决了有关数的难题（板书：以形助数）。其实，数与形真是一对好朋友，数形结合除了以形助数外，数对形的帮助也同样重要。这节课我们一起研究以数解形（板书：以数解形）。研究从一道有意思的数学题开始。（课件出示图6）如图，长方形ABCD被线段EG和FH分割成4个小长方形，其中长方形BEOF的面积为30平方厘米，长方形CGOF的面积为20平方厘米，长方形DGOH的面积为12平方厘米，求长方形AEOH的面积。

学生先独立思考，然后同桌交流再汇报。

生1：我们觉得要求长方形AEOH的面积，就需要找到它的长和宽，但是题目只给了另外几个长方形的面积，并且这几个长方形的长和宽都没有确定，我们没有找到解决问题的办法。

师：你们虽然没有找到解决问题的办法，但清楚地表达了自己思考问题的过程以及困惑，也不错。

生2：我们觉得面积是30平方厘米的①号长方形和面积是20平方厘米的②号长方形有一条公共的边，这条边的长度应该是这两个数的最大公因数，所以是10厘米，另外两条边分别是3厘米、2厘米，而这个3厘米和2厘米同时也是④号长方形和③号长方形的一条边长，③号长方形的另一条边的长度是6厘米，也是④号长方形的一条边长，这样，④号长方形的面积就是3×6=18（平方厘米）。（如图7所示）

师：这位小老师很有范儿，一边表达自己组的观点，一边用数描绘了这个长方形面积的计算过程，你们对他的发言有什么意见吗？

生3：他讲得好像有点道理，但是①号和②号长方形的那条公共边的长度一定是它们的最大公因数吗？

师：这问题提得非常有价值！是啊，如果这条公共边不是最大公因数，还有可能是哪些数呢？

生4：可能是2，也有可能是5！生5：还有可能是1呢！

生6：说不定是个小数呢。

师：要不你们各自选一个可能的数，算一算④号长方形的面积吧。

图6

图7

学生独立运算后交流。

生7：我把①号和②号长方形的公共边看成5厘米，算出④号长方形的面积仍然是18平方厘米。（如图8所示）

生8：我把①号和②号长方形的公共边看成2厘米，算出④号长方形的面积仍然是18平方厘米。（如图9所示）

师：问题研究到这里，你们有什么疑问吗？

生9：看上去，只要是已知的3个长方形的面积不变，边的长短不影响问题的结果，这是为什么呢？

师：会提问题的小朋友一定是最会思考的！是啊，这是为什么呢？

学生再一次陷入沉思。

生10：我想，既然边的长短与问题的结果没有关系的话，我们用字母表示应该也可以啊，这个字母想代表几都是可以的。

师：你说的有道理，下面我们把OE，OF，OG，OH的长度分别记作a，b，c，d（如图10所示），算一算这些长方形的面积，你又

发现了什么？

图8

图9

图10

生11：从图形中我们可以看出a×b=30（1），b×c=20（2），c×d=12（3），问题是求a×d=？这里的a和d在算式（1）和算式（3）中，而且要算乘积，我们可以把算式（1）和算式（3）乘起来，a×b×c×d=30×12=360，其中b×c是20，那a×d就是360÷ 20=18！

师：多么了不起的研究！用字母表示数，解开了一个大谜团！事实上，在一个乘法算式里，在积不变的情况下，一个因数扩大几倍，另一个因数一定会缩小几倍。④号长方形的面积就是由两个这样的因数相乘得来的，面积难怪总是固定的。

生12：老师，上面的算式（1）和（3）

相乘的结果就是①号和③号长方形的面积的积，是a×b×c×d，其实②号和④号长方形的面积的积也是a×b×c×d！

师：你发现了对角线上的两个长方形的面积的乘积相等，真了不起！

生13：早知道这样，我们只要用①号和③号长方形的面积之积除以②号长方形的面积就可以算出④号长方形的面积了！

师：真是茅塞顿开啊！在解决这个问题的过程中，边长和面积对应的数给了我们那么多的启发。在这些数的帮助下，我们深入地研究了这几个长方形面积，发现了这几个长方形之间的奇妙联系。我们不得不说，数形结合百般好啊！

教学意图：这一片段的设计体现数形结合中以数解形的一般特征和工具性作用，实现了数学问题中数与形的沟通。学生初步了解了数在对形的本质属性探究中的意义，认识到相对于以形助数的技巧性，以数解形具有更强的工具性和普遍性。特别值得一提的是，在教学过程中，教师从学生思考问题最自然的路径出发，渗透了从特殊到一般的思想方法，让学生经历了从特殊到一般的归纳推理过程。

四、不得不说的后话

数与形的教学，当然要关注数形结合，而数形结合离不开以形助数与以数解形这两个方面。既然作为一个专题出现在“数学广角”版块，如果只渗透以形助数的方法，我们认为是不全面的。教师通过对教材的理解，开发出能够体现这两个方面的教学内容，让学生对数形结合的两个方面都有所了解，为后继学习（特别是中学阶段的解析几何的学习）铺路是很有必要的。为此，我们对教材作了以下几方面的处理。

1.教材中的学习材料强调了对一个图形进行研究，从不同的角度分析它、计算它，就可能得到新的结论（数学家富比尼称之为“算两次”）。比如，从1开始连续几个奇数之和恰好是一个自然数的平方。这当然是研究问题的重要方法。但问题是，学生如何理解“为什么要对同一幅图算两次”呢？为了让学生思考问题有更自然的路径，我们补充设计了“给一组数据找规律”的问题。学生在教师的引领下尝试从不同角度观察同一图形，发现数与形的奇妙联系，然后呈现教材中的几个学习材料，学生对形之于数的作用就有了深入的理解。

3.片段二的学习材料是教材中没有的，我们之所以利用它来教学，源于这么几个思考。一是这个材料的确能让学生体会到以数解形的工具性，随着学生假设的数据不断呈现，规律慢慢地被揭示。这种发现的惊喜应该是学生思考获得的奖赏。二是这个材料的选取具有开放性。在对问题的讨论中，当结论集中指向一点时，学生在不经意间经历了由特殊到一般的归纳推理过程。而在课堂教学中渗透数学思想与方法是我们一直以来的追求。事实上，学生在整个学习过程中情绪饱满，始终处于“火热的数学思考”中，课堂也因此成为让思考发生的乐园。

数形结合在小学阶段更多地表现为以形助数，用字母表示数的内容较少，故往往难以满足以数解形教学的需要。事实上，随着学生思维能力的发展和数学知识的积累，以数解形在中学阶段将大放异彩。尤其在学习了函数、解析几何等知识后，数学学习才真正进入以数解形的快车道。那么，如何让小学生体会到这一点，寻找以几何内容为出发点，因形寻数，将直观的图形与抽象的代数语言结合起来，并容易被小学生所接受的素材成为我们研究的新问题。（本文系湖南省教育科学“十二五”规划立项课题（课题批准号：XJK014CZXX041）《以小课题研究促进小学数学教师专业成长的研究》的阶段性成果）

（执笔：王丽燕、谢加文、刘硕鹏、唐红霞、肖石坚、徐旺、李闯）