基于“四基”的高三数学微专题教学设计与反思

邵美珍

[摘 要] 基于高考对“四基”（基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）的考查，预示着高三复习教学形式应有所变化，微专题教学是高三复习教学的有力补充，对提升学生的“四基”有所帮助.

[关键词] 四基；平面向量；微专题

高中数学教学活动主要是引导学生要学会数学思考，为学生创设会学数学、会用数学的情境. 高三复习时间比较紧张，我们教师要努力争取在短时间内激发学生学习数学的兴趣，调动学生学习的积极性和主动性，提高学生数学思维的参与度. 高三复习课要以提高复习效率，提升学生基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验为目的，最终提升学生数学核心素养. 为便于说明，本文以“平面向量概念及运算”为例，来开展微专题教学. 本教案的设计主要源于课本，近5年的高考、模考卷，以提升学生“四基”为目的.

考情分析与教学目标

1. 研究考题，掌握考情

平面向量的概念及运算是近几年高考和模考试题中常考的内容，在江苏省近5年高考题中，每年都考1-2题，2011年第10题，2012年第9、15题，2013年第10、15题，2014年第12题，2015年第6题.本节主要从向量的概念、几何表示法、向量的加减法、实数与向量的积、坐标运算等基础知识入手，难度不大，多以低、中档题为主，高考考纲主要是B级要求.

2. 明确目标，突出能力

从知识层面上，通过本课教学使学生熟练掌握平面向量的知识点，回归课本，引导学生熟练掌握向量的加减法，向量的坐标运算等问题.从知识结构上，通过不断改变问题情境，培养学生的观察分析、数形结合、拓展延伸能力，总结解决平面向量问题的通性通法，以点带面，促进学生构建知识网络. 从培养学生能力的角度上，通过题目内在的联系，培养学生抽象概括、数形结合、转化化归的数学思想以及应用数学知识解决问题的能力.

教学设计

1. 课前热身，自主学习

（1）给出下列五个命题：①a2=a2；②=；③（a·b）2=a2·b2；

④（a-b）2=a2-2a·b+b2；⑤若a·b=0，则a=0或b=0. 其中正确的是①④.

（2）（教材P80例5改编）设向量a=（m，1），b=（1，m），若a与b共线且方向相反，则m= -1 .

（3）（2015江苏高考）已知向量a=（2，1），b=（1，-2），若ma+nb=（9，-8）（m，n∈R），则m-n的值为 -3 .

（4）等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC=2，D是斜边BC上一点，则·（+）= 4 .

设计意图与教学设想：问题（1）通过自主学习，掌握向量的概念及运算律，向量不满足消去律、结合律，两向量数量积为0的充要条件是两向量垂直或两向量中至少有一向量为零向量；问题（2）复习了两向量平行的充要条件，a∥b？圳？埚λ∈R，a=λb？圳x1y2=x2y1，两种方法都可以，要学会灵活运用；问题（3）是常规的向量计算；问题（4）是向量的数形结合，主要考了向量的加法法则、平行四边形法则. 预设题型教学时间为10分钟左右，让学生交流解题方法，总结易错点和结论，教师根据学生的回答，进行适时点拨以达到真正理解和掌握基本知识的目的.

2. 经典陈题，合作探索

例1（教材P82-8改编） 已知=（1，2），=（2-m，1-m），若∥，则实数m= 3 .

解：因为∥，所以1·（1-m）=2·（2-m），解得m=3.

变式1：若A，B，C三点共线，则实数m=3.

变式2：若∠BAC为锐角，则实数m的取值范围为m<.

变式3：若∠BAC为钝角，则实数m的取值范围为m>且m≠3.

变式4：若△ABC为直角三角形，则实数m=-，，1，.

设计意图与教学设想：本题的设计意图主要是让学生熟练掌握两向量平行的充要条件；变式1通过三点共线转化为两向量共线的问题，变式2、变式3对于两向量夹角是钝角（锐角）的情况要转化为a·b<0或（a·b>0）且a不平行于b进行处理；变式3要注意分类讨论∠A，∠B，∠C为90°.

例2 （2014高三调研一）在△ABC中，BO是AC上的中线，=2，若∥，且=+λ（λ∈R），则实数λ的值为.

图1

解法1：因为=+=+=+（-）

=+=+，

=-=+（λ-1）.

又因为∥，所以λ-1=，即λ=.

解法2：不妨设=m，则有

=+=+m=+m（+）

=+m+=+m-

=+m-·（+）

=+m-·（+-）

=+.

又=+λ，所以=，从而m=，所以λ==.

设计意图与教学设想：本题考查向量的基本知识点，属于中档题，做此类向量题目时，唯一的标准是通过向量的运算法则将未知的向量向已知的向量靠拢.

变式1：（2014江苏高考）在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，则·= 22 .

图2

说明：解法1，突破口是把，通过向量的运算法则转化为已知的，；解法2，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，A（0，0），B（8，0），设D（a，t），通过坐标运算来解决.

变式2：在等腰三角形ABC中，底边BC=2，=，=，若·= -，则·=-.

图3

说明：以BC为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，B（-1，0），C（1，0），设A（0，y），通过坐标运算求解.

3. 课堂反馈，动手实践

（1）设向量a=（1，2），b=（2，3），若向量λa+b与向量c=（-4，-7）共线，则λ= 2 .

（2）（2013年江苏高考）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=·AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为.

（3）（教材P97习题9改编）设e1，e2是两个不共线的向量，=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A，B，D三点共线，则k=-8.？摇

（4）（2015高三调研一）在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB=，AD=1，且·=-，则·=.

图4

设计意图与教学设想：课堂的及时反馈，是教师掌握学生课堂学习效果与质量的重要环节，设计的几个题型围绕例题展开，目的在于，一方面让学生感受高考题，熟悉其设计思路，另一方面，希望学生在实践活动的基础上，及时总结归纳，反思得失.

4. 复习巩固，课后反思

（1）已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A，B，C三点共线，则k=11或-2.

（2）（教材P82）设向量a=（2，1），b=（1，x），若（2a+b）∥a+b，则x=.

（3）已知a=（2，1）与b=（1，2），要使a+tb最小，则实数t的值为-.

（4）（教材P89改编）设a=（x，3），b=（2，-1），若a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是x<且x≠-6.

（5）（2013辽宁高考）已知点A（1，3），B（4，-1），则与向量同方向的单位向量为，-.

（6）（2015苏州高三期末）在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，F为DE的中点，则·的值为 4 .

图5

设计意图与教学设想：设计高考、模考题型的训练，帮助学生及时巩固所学知识，体会考点要求，查漏补缺.

小结与反思

小结：向量是数学中比较重要和基本的概念之一，它是沟通代数、三角函数和几何的一种重要工具，有着极其丰富的实际操作背景. 向量的概念比较抽象，理论性强，解题方法也比较独特，现把向量的运算做如下归纳：

（1）代数运算：向量的加减法运算，向量的数乘运算，向量的数量积运算；

（2）几何运算：数形结合的基本思想，是解决问题的基本方法.重点是三角形法则、平行四边形法则，利用这些法则能很好地解决向量中的几何运算问题，充分体现了数形结合的数学思想；

（3）坐标运算：向量的坐标运算是连接几何与代数运算的桥梁，通过坐标运算的“解析法”来解决解析几何及立体几何中的实际问题.

反思：在解决平面向量问题时，要熟练掌握向量加、减法的运算、向量数乘的运算，两向量的平行、垂直、坐标运算，能够将向量的运算律和实数的运算律进行比较；借助数形结合的思想方法，把抽象的问题转化为形象具体的问题.通过对向量运算的操作性练习，发展学生的运算能力，感受向量与代数、几何之间的联系，体会它们之间的联系，认识向量的科学价值、应用价值和文化价值.

总之，在准备高三复习课时，我们要以核心素养观为指导，以提升学生“四基”为基础设计教学，要更多地把关注点放在知识的回顾、巩固、再学习和再认识上，放在学习策略、思维方法和探索途径上. 让学生走出题海战术，更多地倡导启发式、讨论式、探究式、参与式教学，激发学生的好奇心和学习的兴趣，为学生营造独立思考、自主探究、勇于创新的良好环境，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，从而提高高三复习效率，提升学生数学素养.