全国课标卷命题趋势分析及备考策略探讨*

广州市教育研究院（510030） 曾辛金



全国课标卷命题趋势分析及备考策略探讨*

广州市教育研究院（510030） 曾辛金

2016年的高考已经落下帷幕，但围绕2016年的高考话题却从没间断.2016年又有七个省进入使用全国课标卷，使用全国课标卷高考的省市自治区达到24个，教育部考试中心考虑到各省市自治区数学教学的差异，共命制了I卷、II卷、III卷共3套数学试卷，那么，全国高考数学课标卷有何特点？难易程度如何？对未来的考生备考有何启示？这是从学校到家长、从教师到学生尤为关注的焦点.

高考数学命题的主要依据是《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、《普通高等学校招生全国统一考试大纲-数学（文、理科）》（以下简称《考试大纲》）和《普通高等学校招生全国统一考试（课标卷）考试大纲的说明-数学（文、理科）》（以下简称《考试说明》）.

2016年全国高考数学课标卷文理科试题整体难度与往年全国卷大致相当，试题的结构与考查内容没有本质变化，命题者在选择题与填空题方面作了一定的调整，选择题与填空题相对往年的全国卷降低了部分试题的难度.命题充分体现能力立意的理念，突出“理性思维”和“应用能力”的考查.以下通过对2016年全国课标卷命题特点的分析探讨高考数学备考的策略，不当之处，敬请斧正.

一、2016年全国高考数学课标卷的命题特点

1.从2016年全国高考数学课标卷知识点分布看命题特点

表1　2016年全国高考数学课标卷（文科）试题考查知识点分布表

解三角形4 15 17 9 17数学5数列17不等式16 14 13常用逻辑用语选修1-1圆锥曲线与方程5/20 5/21 12/20导数及其应用9/12/21 20 16/21统计案例18选修1-2推理与证明16复数2 2 2框图几何证明选讲22 22 22选做题坐标系与参数方程23 23 23不等式选讲24 24 24

表2　2016年全国高考数学课标卷（理科）试题考查知识点分布表

从表1、表2可以看出：

（1）2016年全国高考数学课标卷考查的知识点基本一致，在客观题中必考的有集合、函数的图像与性质、三视图、算法初步、三角函数的图像和性质、平面向量、直线与圆锥曲线的位置关系、复数等.

（2）文理科必做解答题第17题的考查内容在解三角形与数列中选择一个，2016年侧重考查了数列，立体几何由于《考试说明》要求不同（主要体现在第（II）问）而不同，其余3道试题（统计与概率或统计案例、解析几何、函数与导数）考查的知识点基本相同，但对文理科在难度与要求上不同，若考查统计案例则文理科要求相同.值得注意的是，在近三年统计案例的考查中，2014年、2015年、2016年分别在全国课标II卷、I卷、III卷考查了回归方程问题.

（3）选做题的三个模块各卷文理科内容与要求完全相同.

2.从2016年全国高考数学课标卷试题看命题特点

2016年全国高考数学课标卷贯彻了“立德树人”的理念，突出理性思维，考查实际应用，关注社会发展，体现时代特征.试卷根据《考试大纲》的内容与要求，在基础性、思想性、创新性等方面作了深入的研究和积极的探索.试卷突出考查逻辑推理能力，重视学科基础性、综合性，加强数学实际应用能力的考查.纵观2016年全国高考数学课标卷有以下主要特点.

（1）体现基础性，弘扬数学文化

2016年全国I卷数学选择题与填空题相对往年的全国I卷降低了部分试题的难度，起点明显降低了门槛，压轴题也没有刻意创新.

例如，全国I卷文理科第（1）题考查了简单集合的运算，第（2）题考查了复数的基本概念与运算，知识点的考查要求与往年全国课标卷比较有所降低.

I卷文科（1）设集合A=｛1,3,5,7｝，B=｛x|2≤x≤5｝，则A∩B=（）.

A.｛1,3｝B.｛3,5｝C.｛5,7｝D.｛1,7｝

I卷理科（1）设集合A= ｛x|x2-4x+3＜ 0｝，B=｛x|2x-3＞0｝，则A∩B=（）.

说明 文理科第（1）题主要考查集合的运算.在求解有关集合之间的交集、并集、补集问题时，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素的特征，通过观察集合之间的关系，借助数轴使问题直观准确地得到解决.

I卷文科（2）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）.

A.-3B.-2C.2D.3

说明 本题主要考查复数的运算、复数的实部与虚部的概念.熟练掌握复数的四则运算，利用复数的概念和已知条件，寻找关于参数的方程（组），通过解方程，求出参数的值.

I卷理科（2）设（1+i）x=1+yi，其中x,y是实数，则|x+yi|=（）.

说明 本题主要考查复数的运算、复数相等的充要条件、复数的模等基础知识.熟练掌握复数的四则运算，利用复数相等的充要条件，寻找关于参数的方程（组），通过解方程，求出参数的值，再利用复数模的定义求解.

全国I卷文科第（12）题考查了函数的单调性问题，理科第（12）题考查了三角函数的图像与性质，文理科第（16）题考查线性规划问题，这些压轴题与考生的认知水平基本相当，与往年全国卷选择题、填空题的压轴题比较相对容易理解.

说明 本题主要考查函数的单调性、函数的导数、二次函数与三角函数相交汇的不等式的恒成立问题.但本题需求复合函数的导数，对文科生有“超标”嫌疑.对于已知函数f（x）在区间D上单调递增（减）求参数的取值范围，常转化为f′（x）≥0（f′（x）≤0）在D上恒成立，再通过构造函数转化为求最值或转化为函数图像都不在x轴上（下）方的问题.

A.11B.9C.7D.5

说明 本题主要考查三角函数的对称性、单调性、函数的零点等基础知识.要熟练掌握三角函数的图像和性质，并能利用换元的思想处理一般的情形.

I卷文理科（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为____元.

说明 本题主要考查简单线性规划问题，考查运算求解能力和应用意识.解决此类题目的关键：一是构建模型，读懂应用背景（最好用列表的形式把有关数据列出），构建简单线性规划模型；二是判断二元一次不等式表示平面区域的方法“选点法”：直线定边界，分清虚实，选点定区域，常选原点；三是求线性目标函数的最值：一画二移三求.

此外，今年的数学试题设计努力发掘我国古代数学的精髓.例如，全国II卷理科第（8）题（文科第（9）题）的程序框图考查我国南宋时期著名数学家秦九韶提出的求多项式值的算法，题目不仅考查考生对程序框图基本逻辑结构以及算法的含义的理解和应用，更重要的是通过解题使考生深刻认识到中华民族优秀传统文化的博大精深和源远流长.

II卷理科（8）（文科（9））中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s=（）.

图1　

A.7B.12C.17D.34

说明 本题主要考查程序框图.当程序框图的运行次数不多时，可以逐次列举，若运行次数较多，则可通过前几次运行结果发现规律.

（2）突出选拔性，注重逻辑推理

2016年的全国课标卷提高了考查逻辑推理能力试题的比例，把考查逻辑推理能力作为命题的首要任务，运用数学知识作为载体，考查考生缜密思维、严格推理能力.

例如，全国I卷理科第（7）题（文科第（9）题）将函数奇偶性、函数导数与函数图像等知识迁移到创设的问题情境中，结合图形考查推理论证能力.

I卷理科（7）（文科（9））函数y=2x2-e|x|在［-2,2］的图像大致为（）.

图2　

说明 本题主要考查函数的图像和性质、导数的应用等基础知识.在已知函数解析式，判断函数的图像问题，不仅会用特殊点排除，还需利用图像的特性（如单调性或几何意义等）去识别.

全国II卷数学试题，一如既往保持了课标卷“整体稳定，适度创新”的风格.全国II卷理科第（15）题（文科第（16）题）没有公式、数字、符号，在自然的生活形式和状态中考查考生的逻辑推理能力，更真实、有效.

II卷理科（15）（文科（16））有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是___.

说明 本题主要考查推理的实际应用.解决这类问题可以将所有可能情况列举出来，再排除不符合条件的即可.

三套课标卷的立体几何试题将空间想象能力、运算求解能力与逻辑推理能力的考查有机结合，考查考生的综合素养.全国I卷文科第（18）题立体几何从理解正投影的概念，到作出正投影的位置，需具备很强的空间想象能力才能完成.

I卷文科（18）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

图3　

（I）证明：G是AB的中点；

（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积.

说明 本题主要考查空间几何体的线面位置关系、体积的计算等.第（I）问转化为证明PG⊥AB；第（II）问利用等体积法与三棱锥的体积公式求四面体PDEF的体积.

2016年高考数学试题突出了试题的创新设计.全国II卷文理科第（17）题要求考生理解新的函数定义解决数列问题；文理科第（24）题将参数满足的条件用不等式的解集给出，设问方法新颖，不落熟套.全国III卷文理科第（4）题要求考生读懂“雷达图”；理科第（12）题要求考生准确理解“规范01数列”的定义.

II卷文科（17）等差数列｛an｝中，a3+a4=4，a5+a7= 6.

（I）求｛an｝的通项公式；

（II）设bn=［an］，求数列｛bn｝的前10项和，其中［x］表示不超过x的最大整数，如［0.9］=0，［2.6］=2.

II卷理科（17）Sn为等差数列｛an｝的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=［lgan］，其中［x］表示不超过x的最大整数，如［0.9］=0，［lg99］=1.

（I）求b1,b11,b101；

（II）求数列｛bn｝的前1000项和.

说明 全国II卷文理科第（17）题主要考查等差数列、数列求和的综合应用，考查考生的运算求解能力和转化与化归能力，两道试题均引入取整函数，让考生理解取整函数的意义，再进行数列的求和，这种求和方式在平时的训练中较少出现，考查考生的随机应变能力，解题的关键就是确定数列｛bn｝的通项公式（规律）.

（I）求M；

（II）证明：当a,b∈M时，|a+b|＜|1+ab|.

说明 本题主要考查含有绝对值的不等式的解法以及不等式的证明，考查考生的推理论证能力以及运算求解能力.第（I）问利用零点分区间讨论法去掉绝对值符号转化为简单不等式组求解；第（II）问利用作差比较法证明.

III卷文理科（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15◦C，B点表示四月的平均最低气温约为5◦C.下面叙述不正确的是

图4　

A.各月的平均最低气温都在0◦C以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均气温高于20◦C的月份有5个

说明本题主要考查平均数、统计图的应用，考查考生通过“雷达图”获取数据、分析数据的能力.

III卷理科（12）定义“规范01数列”｛an｝如下：｛an｝共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1,a2,···,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）.

A.18个B.16个C.14个D.12个

说明 本题主要考查计数原理的应用和新概念的阅读与理解，考查考生的逻辑推理能力、分析能力.求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，若所求计数结果不太大时，往往采用表格法、树状图等将其所有可能一一列举出来.

（3）提高综合性，考查通用方法

2016年全国课标卷数学试题更加注重通性通法，淡化特殊技巧，重点考查学生的数学能力.以一道试题为载体，呈现给考生的是一类题，从而起到举一反三的作用，也达到检查能力水平的目的.全国I卷文理科第（8）题既考查了数形结合的方法，也考查了利用特殊值解决选择题的方法；全国I卷文理科第（21）题和全国III卷文理科第（21）题考查了分类讨论的思想、化归与转化的思想；全国I卷理科第（18）题及II卷、III卷理科第（19）题考查求直线与平面、平面与平面所成角的方法；全国I卷文理科第（19）题及II卷、III卷文理科第（18）题考查了利用统计与概率思想解决实际问题的方法.

I卷文科（8）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）.

A.logac＜logbcB.logca＜logcb

C.ac＜bcD.ca＞cb

I卷理科（8）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）.

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

I卷文科（21）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

I卷理科（21）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（I）求a的取值范围；

（II）设x1，x2是的两个零点，证明：x1+x2＜2.

说明 I卷文理科第（21）题主要考查函数的单调性、函数的零点与导数的应用等基础知识，考查分类讨论的思想、化归与转化的思想，以及推理论证能力.要求考生能结合图像讨论函数的几何特性，文科试题是将理科试题的第（I）问分解为先求函数f（x）的单调区间，再判断函数f（x）有两个零点时a的取值范围，理科则在此基础上证明两个零点的和小于2，显然对理科考生的化归与转化思想要求更高，无论是文科还是理科，两问之间都属于递进关系.

III卷文科（21）设函数f（x）=lnx-x+1.

（I）讨论f（x）的单调性；

（III）设c＞1，证明当x∈（0,1）时，1+（c-1）x＞cx.

说明 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明，考查考生的逻辑思维能力、推理论证能力、等价转化能力和运算求解能力.第（I）问考查函数的单调性，属于基本要求，第（II）问的两个不等式证明，既可直接运用第（I）问的结果，也可通过构造不等式证明，难度也不大，第（III）问难度陡然增加，难点在构造函数求导后，极值点的大小确定要有一定的技巧.本题相对I卷文科卷要容易入手.

III卷理科（21）设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+ 1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A.

（I）求f′（x）；

（II）求A；

（III）证明|f′（x）|≤2A.

说明 本题主要考查三角恒等变换、导数的计算、三角函数的有界性，考查考生的三角恒等变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.由于本题涉及到三角恒等变换与三角函数的有界性，加上a的范围的限制，考生入手并不容易，不过命题者增加了第（I）问的直接求导，属于给考生送点分.

I卷理科（18）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF= 2FD，∠AFD=90◦，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60◦.

图5　

（I）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

说明 本题主要考查空间直线与平面的位置关系、求二面角等，考查考生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力.本题给出一个考生不太熟悉的五面体，由此判断并证明CD//EF，这是考生难以逾越的障碍，加上二个已知二面角，再求一个二面角，给考生不少心理压力.

图6　

（I）证明：D′H⊥平面ABCD；

（II）求二面角B-D′A-C的正弦值.

说明 本题主要考查空间线面位置关系，求二面角等，考查考生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力.第（I）问证明线面垂直相对I卷证明面面垂直和III卷证明线面平行要容易入手，且比较直观；第（II）问由于有第（I）问铺垫，建系较直接，因此难度也就不大.

III卷理科（19）如图，四棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

图7　

（I）证明MN//平面PAB；

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

说明 本题主要考查空间直线与平面间的平行于垂直关系，棱锥的体积等，考查考生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力.第（I）问证明线面平行有一定的难度，这需要熟练掌握线线平行与线面平行之间的转化，不过如果不证第（I）问，可跳过它直接做第（II）问，且求线面角的运算量相对求二面角要少.

（4）关注差异性，体现文理有别

2016年全国卷对文科和理科的要求，无论是从容量设置和难度的设置上，均存在一定的差异，比如在统计与概率，理科生要比文科生多掌握排列组合等计数原理，二项式定理，离散型随机变量的分布列.

2016年全国课标卷在命题时充分考虑考生数学能力的个体差异，绝大多数试题的解答方法、思维方式不是唯一，而是多种多样的，各卷的解析几何试题将曲线的几何性质和数量特征紧密结合，体现利用代数方法研究几何的特点，都可以有多种方法求解.通过方法选择、解题时间长短，区分出考生能力的差异，为了区分文理科考生逻辑推理能力与运算求解能力的水平，全国I卷在命题方面想了不少方法体现这种差异性.如文理科相同序号的客观题中，第（1）题是集合，文科主要考查点集的概念，理科主要考查数集的概念与解不等式；第（2）题是复数，文科主要考查实部与虚部的概念以及复数相等的条件，理科主要考查复数相等的条件和模的概念与运算；第（5）题是解析几何，文科主要考查求椭圆的离心率，理科主要考查求双曲线中参数的取值范围；第（13）题是平面向量，文科主要考查两个向量垂直的条件、数量积的运算，理科主要考查平面向量的模长、平面向量的坐标表示.而所有解答题的要求也不尽相同，如第（17）题，文科考比较容易入手的数列，理科考解三角形；第（18）题是立体几何，文科考正三棱锥中的线面位置关系与体积计算，理科考五面体中的线面位置关系与二面角；第（19）题是统计与概率，虽然背景相同，但要求明显不同，文科主要考查柱状图、频数与平均数，理科主要考查柱状图、频数与离散型随机变量的分布列和期望；第（20）题是解析几何，文科主要考查抛物线的图像和性质、直线和抛物线的位置关系，理科主要考查椭圆的定义、椭圆与圆的图像和性质、直线与椭圆的位置关系以及四边形的面积计算；第（21）题是函数与导数，文科主要考查函数的单调性、函数的零点、导数的应用，理科主要考查函数的零点、不等式的证明、导数的应用.

说明 本题主要考查椭圆的图像和性质、直线和椭圆的位置关系.要熟练掌握椭圆的基本量及其关系.

A.（-1,3）B.（-1,3） C.（0,3）D.（0,3）

说明 本题主要考查双曲线的图像和性质.要注意分类讨论，由于本题当焦点在x轴上时不存在这样的m，所以如果考生默认焦点在x轴上就可得到正确答案，因此失去了分类讨论的意义.

说明 本题主要考查平面向量的坐标表示，向量垂直的条件等基础知识

说明 本题主要考查平面向量的模长、平面向量的坐标表示等基础知识.

I卷文科（20）在直角坐标系xOy中，直线l∶y=t（t̸= 0）交y轴于点M，交抛物线C∶y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

说明 本题主要考查直线与抛物线的图像和性质、直线和抛物线的位置关系，考查考生推理论证能力和运算求解能力.第（I）问主要通过求解直线与直线、直线与曲线的交点，然后求线段的比值，第（II）问判断直线与曲线是否存在其他交点，考查考生的数学探究能力.此题只要根据题目要求依次写出点M，点P，点N，点H的坐标，则可得到5分，这与不到1分的结果确实值得我们备考时深思.

I卷理科（20）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

说明 本题主要考查椭圆的定义、椭圆与圆的图像和性质、直线和椭圆的位置关系、四边形的面积等基础知识，考查考生推理论证能力和运算求解能力.第（I）问考查了利用椭圆的定义求轨迹方程的方法，命题者为了降低难度，特意设置了先判断一个动点到两个定点的距离之和为常数，第（II）问求对角线互相垂直的四边形的面积，侧重考查运算求解能力.

但从今年的全国课标卷来看，文科与理科的差异化正在缩小，文理科不仅选修部分内容完全一样，就连必考部分的考查也有40多分一模一样的考题，比如全国I卷文理科完全相同的试题有：文科第（7）题与理科第（6）题，文科第（9）题与理科第（7）题，文科第（10）与理科第（9）题，文理科第（11）题，文理科第（16）题，基本相同的有：文理科第（8）题，文科第（21）的第（II）问与理科第（I）问.这为修改后的课程标准高考数学文理不分科作了心理准备和逐步过渡.

（5）增强应用性，考查应用能力

2016年高考数学试题命题，体现了紧密结合社会实际和考生的现实生活的特点.全国I卷文科第（3）题的情景涉及环境美化，主要考查古典概型的计算；理科第（4）题的情景涉及公司班车，主要考查几何概型的计算；文理科第（16）题为高科技企业产品利润，主要考查简单线性规划问题，考查运算求解能力和应用意识；文理科第（19）题为企业的成本控制，主要考查柱状图、频数、平均数、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查考生阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力.

全国II卷文科第（8）题情景为交通灯设计，理科第（5）题的街道路径选择，文理科第（18）题为保险费用的设计；

全国III卷文理科第（4）题的情景为旅游城市的气温统计，文理科第（18）题为生活垃圾无害化处理.

这些试题考查了考生应用数学工具和方法解决实际问题的能力.体现了数学与社会的密切联系，展现数学的应用魅力，具有浓厚的时代气息.

I卷文科（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）.

I卷理科（4）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）.

说明 本题主要考查几何概型等基础知识.求解几何概型题，关键是明确测度是一维（如长度、角度）、二维（如面积）还是三维（如体积）.

I卷理科（19）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

图8　

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求X的分布列；

（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

说明 本题主要考查柱状图、频数、等基础知识，考查考生阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力.文理科第（19）题均为企业的成本控制问题，为了区分文理科的要求，命题者设计文科“购买1台机器”、理科“购买2台机器”，且理科侧重于考查分布列与期望，但由于文科的数据偏大，加上第（II）问的叙述较难理解，得分很不理想.

II卷文科（8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）.

图9　

说明 本题主要考查几何概型的计算.求解几何概型问题关键是明确测度是一维、二维还是三维.

II卷理科（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）.

A.24B.18C.12D.9

说明 本题主要考查计数原理的应用，考查推理论证能力.利用分步计数原理时要弄清完成事件的步骤以及各步的方法.

II卷文科（18）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数0 1 2 3 4≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险次数0 1 2 3 4≥5频数60 50 30 30 20 10

（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的估计值；

（II）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P（B）的估计值；

（III）求续保人本年度的平均保费估计值.

说明 本题主要考查随机事件的概率及均值的计算和应用，考查考生的运算求解能力和转化与化归的能力.注意将实际问题转化为数学问题求解.

II卷理科（18）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数0 1 2 3 4≥5 0.85a保费a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数0 2 1 3 4≥5概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

说明 本题主要考查互斥事件的概率、条件概率以及随机变量的概率分布和数学期望的计算和应用，考查考生的运算求解能力和转化与化归的能力.注意将实际问题合理转化为数学问题求解.在解决概率问题时，对于复杂事件的概率求解时要对基本事件分类或分步，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解，正面情况较多的概率问题可以利用对立事件的概率简化运算.

III卷文理科（18）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

图10　

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

说明 本题主要考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，考查考生数据处理能力、运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.要求考生能从图中获取相关数据信息，利用相关系数说明用线性回归模型拟合的合理性等等，考查考生阅读理解与学习新知识的能力.判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：一是利用散点图直观判断；二是将相关数据代入相关系数r公式求出r，然后根据r的大小进行判断.求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性.

二、高考数学备考策略

高考数学备考没有统一的标准模式，每个学校都有基于学生自身水平的备考方案，以下就备考中普遍关注的问题提几点看法，仅供参考.

1.精选训练材料，保持足够训练

训练材料的选取是高考复习的重要一环，材料选得好，可以起到事半功倍的作用.建议选用以下材料进行训练：

（1）历年全国高考数学课标卷和部分自主命题高考数学试题；高考题是高考要求的具体体现，它既反映了高考的范围、重点，又展示了题型、特点，是高三教学的“无形指挥棒”，所以我们经常选用历届高考题中的典型题目作为例题进行复习教学，引导学生分析，使学生经常将复习数学基础知识与解答高考题挂起钩来，真正做到着眼于高考.

（2）历年全国各地的高考数学模拟试题，特别要注意省内各地、市模拟题的特点.虽然模拟题不可能是高考题，但模拟题毕竟代表本地区骨干教师的集体智慧，具有较好的参考价值.

在选取材料时，要有一定量的非常规题，在选择题与填空题中要有部分陷阱题.

另外，数学有其复习的特殊性，要求每天都有一定的训练量，每周至少要做一套完整的模拟卷.训练要有针对性，必须精选精练，杜绝见题就印的不良习惯.

2.立足中下题目，力争高上水平

平时做作业，全都是按完成所有题目来要求的.但高考却不然，只有极个别的学生能交满分卷，因为时间和难度都不允许多数学生去做完、做对全部题目，所以应该明确立足中下题目，拿够基础分数.

中下题目通常占全卷的80%左右，是试卷的主要构成成份，是考生得分的重要来源，学生若能拿下120多分，则数学科已打下了一个胜仗，有了这个心理基础，对攻克高难题反而更放得开，有获得高上成绩的希望.

3.加强应试训练，掌握得分技巧

（1）容易题争取不丢分—规范表述少跳步

加强表述的规范性，准确运用数学语言，尽量做到容易题不丢分，其中解答题中出现的“跳步”现象是较为普遍存在的丢分原因之一.

（2）中等题争取少丢分—得分点不能省

容易题和中档题是试卷的主要构成，是考生得分的主要来源，是高校录取的主要依据，是进一步解高难题的基础.要确保基础分、拿下力争分、不丢零碎分.

（3）难题争取多拿分—知道一点写一点，不知道也要写一点

一道高考题做不出来，不等于一点想法都没有，不等于所涉及的知识一片空白.尚未成功不等于彻底失败，应尽量将自己知道的写出来.例如，涉及到直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般只要联立直线与圆锥曲线方程，消去一个未知数（如y），然后写出这个一元二次方程（假如二次项系数不为零，否则要讨论）的判别式和根与系数的关系，哪怕后面一点都不会解，也已拿到本题三分之一的分数.

（4）克服“会而不对，对而不全”的老大难问题

有些学生不怕难题不得分，就怕每题都扣分，例如在代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜.只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”.

（5）要正确处理难题与容易题的关系

近年来考题的顺序并不完全是按先易后难排列，在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”，那样既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了，造成“隐性失分”.解答题一般都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难，因此看似容易的题也会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得分之处.所以尽量做到中等题少丢分，难题多得分.

4.加强“培优补差”，提升录取档次

根据生源特点，扎扎实实进行“培优补差”，对于生源较好的学校重在“培优”上，旨在提高高分段人数；对于生源较差的学校则主要放在“补差”上，旨在提高平均分.这种“培优补差”是相对的，特别在各地“一模”后，更应注重对“临界生”的“培优补差”.

广东省教育科研“十二五”规划2013年度研究项目—“基于不同课型的高中数学骨干教师典型课例研究”课题成果（课题批准号：2013TJK493）.