基于抛物线形气-液界面的超疏水微通道减阻特性

李春曦，张硕，薛全喜，叶学民



基于抛物线形气-液界面的超疏水微通道减阻特性

李春曦，张硕，薛全喜，叶学民

(华北电力大学电站设备状态监测与控制教育部重点实验室，河北保定 071003)

针对超疏水表面微通道中的流动减阻特性，基于抛物线形气-液界面假设，采用VOF模型模拟了微通道中的二维层流流动，分析了流动和结构参数对减阻效果的影响。结果表明，含矩形微坑的超疏水表面微通道具有显著减阻作用，随Reynolds数增大而略有提高，量纲1压降比随入口速度增大而略有下降。当增大微坑面积比或减小微通道高度时，减小，量纲1压降比增大；且微通道高度越小，微坑面积比对的影响越显著。随抛物线形高度增加，压降比和滑移长度均线性减小，而则线性增加。当微坑深度大于其宽度的40%时，压降比和滑移长度趋于定值。微坑形状对减阻效果的影响依次是燕尾形、矩形、梯形和三角形。

超疏水表面；微通道；数值模拟；气-液界面；层流；微尺度；两相流

引 言

超疏水表面在减小流动阻力和自清洁材料方面具有良好的应用前景，如水下航行器的表面减阻[1]，石油储层的注水减阻技术[2]，荷叶表面的自清洁特性等。超疏水表面研究大多基于Cassie空气垫模型[3]，如图1所示。其表面具有凹凸不平的粗糙微结构，当流体流过时，在表面张力作用下，这些微结构内部能驻留部分气体，形成剪切力较小的气-液接触面，极大地减少了表面上的固-液接触面积，从而降低黏性阻力[4]。通常，在宏观流动研究时，将原本具有凹坑微结构的真实固体表面采用平整光滑固体表面替代，而在壁面处采用滑移边界条件来表征超疏水表面的减阻效果[5]。

层流条件下超疏水表面的减阻效果已得到广泛验证。Ou等[6]通过具有微柱型超疏水表面的微通道实验发现，在气-液接触面上流体有明显滑移特征，减阻效果显著。Choi等[7]研究了具有纳米柱微结构的超疏水表面微管道，指出其压降较普通微管道可降低20%～30%。霍素斌等[8]采用化学刻蚀和表面修饰法在铝制微通道内壁上制造出超疏水表面，并对比了水在超疏水微通道和超亲水微通道中的流动压降，发现水在超疏水微通道中的流动阻力降明显降低，压降减少最大可达25%。同样，宋善鹏等[9]实验研究了由化学刻蚀法得到的铝基微通道，结果表明，超疏水微通道的明显低于超亲水微通道的，还发现气体在凹槽中发生了旋涡运动。卢思等[10]针对具有微纳双重结构的超疏水表面槽道阻力实验表明，壁面处流体存在明显滑移现象，减阻效果突出，最大减阻可达36.3%。

Ou等[6]在实验中特别关注了疏水表面微结构间的气-液界面形状，采用共聚焦表面轮廓测试仪观测了微柱高度为30mm的超疏水表面，发现了气-液界面曲率的存在，且压差越大，气-液界面轮廓的曲率越大，微柱间气-液界面的下凹深度最大可达4mm，近似可视为抛物线。然而，目前大部分关于超疏水表面减阻的研究均假定气-液界面为直线，而忽略了气-液界面曲率所带来的影响。其中，常允乐[11]采用固-气复合壁面模型，研究了梯形、三角形、矩形和燕尾形4种微结构对超疏水表面减阻的影响，结果表明，三角形微结构的减阻效果最差，燕尾形微结构的减阻效果最佳。Nizkaya等[12]基于气-液界面为直线的气垫模型，提出了将气相内流动影响转化为气-液界面处局部滑移长度的方法。宋保维等[13]构造了具有棋盘状微结构的疏水表面，探讨了气-液界面上表面张力对疏水表面微结构内气体封存的影响；以水下航行器的运动为背景，湍流下的非定常计算结果表明，气-液界面并非直线，而是具有非常复杂的特征。Davies等[14]同样基于气-液界面为直线的假设，通过在气-液界面上设定速度和剪切力，进而研究了超疏水表面微通道中的减阻特性，发现降低微通道高度有助于提高滑移流动和减阻效果。赵士林等[15]在壁面上设定滑移速度和忽略气-液界面曲率的前提下，模拟了超疏水表面的单侧滑移流动，并指出量纲1压降比最大可达18.5%。

综上所述，目前针对超疏水表面微通道中的流动减阻理论研究均假定气-液界面为直线或在固体壁面处给定一个滑移速度，而并未考虑气-液界面曲率的影响，因此上述结果并不能真实反映其实际减阻效果。为此，本文基于抛物线形气-液界面，采用VOF模型确定恒定的气-液界面形状[6]，利用Fluent进行二维定常数值模拟，研究层流状态下超疏水表面微通道中的流动减阻特征，分析流动和结构参数对减阻能力的影响。

1 数学物理模型

针对两无限大平板间的流动，由于流动沿微通道宽度方向保持不变，因此采用二维模拟展开分析。如图2(a)所示，流体在二维微通道内做层流流动，上壁面为具有规则微坑结构的超疏水表面，下壁面为光滑无滑移表面；微坑内驻存有气体，气-液界面形状设为形状因子为0.5的抛物线形，以使气-液界面形状与Ou等[6]实验结果相符。假定水的密度和黏度均为常数，采用稳态控制方程求解定常层流流动，并忽略重力影响。

对于微尺度下的流动，基于连续介质假设的控制方程仍然适用[16]。

连续性方程为

运动方程为

本文模拟的是气液两相流动，且气-液界面保持不变，界面形状依据Ou等[6]实验结果选定，采用Fluent中的VOF模型跟踪界面进行求解。VOF模型通过流体体积函数来确定自由面、跟踪流体的变化。在计算单元的每个控制体积内，用w和a表示水和空气的体积分数，两者之和为1。在任何给定单元内的变量及其属性或代表水、或代表空气、或为两相混合，其值由体积分数值决定。w=0指该控制体积中充满空气，w=1指该控制体积中充满水；0<w<1指该控制体积中水占有体积w，空气占有1-w，且两相间存在界面。VOF模型通过求解相的体积分数连续方程来跟踪相之间的界面，对于水相

模型中未给相指定质量源，因此右侧源项为零。

输运方程中的属性由存在于每一控制体积内的分相决定。对于气液两相流动，用下角标a和w表示气相和水相，若水相体积分数被跟踪，则每一单元的密度为=ww+(1-w)a，所有其他属性（如黏度）均以该方式计算。

计算中，微通道左端和右端分别给定入口速度in和出口压力作为边界条件，且出口压力保持1 kPa不变。速度与压力采用SIMPLE耦合，动量方程采用二阶迎风格式离散。VOF初始化区域时，认为流场已达到稳态，微坑内充满空气，通道内充满水,如图2(b)所示。文中采用结构网格，并对微结构附近，尤其是靠近气-液界面处的网格进行加密，如图2(c)所示。

微通道长度为=1000mm，高度为；微坑深度和宽度分别为和，两微坑间的固体壁面（简记为微脊）宽度为，周期单元长度为=+=25mm，抛物线形气-液界面最大高度为。模拟中，微通道长度和周期单元长度保持不变，微通道中共有40个周期单元。

为便于分析，采用如下量纲1参数：相对微通道高度c=h/(/2)，量纲1入口速度c=in/，微坑面积比=/，相对抛物线形最大高度c=/，相对微坑深度c=/。其中h=2为微通道水力直径，基准速度=0.2 m·s-1。

模拟中进行了网格无关性检验，结果显示，网格数分别为4.9万、7万、10万、12万、15.6万个时与网格数为20.4万个时所得微通道进出口压降的最大偏差分别为2.7%、1.85%、1.47%、1.27%、0.67%。综合考虑计算精度和计算时间，确定网格数为15.6万个。

由数值计算所得微通道压降可进一步求得Poiseuille数，其中Reynolds数=uinh/，为微通道的平均摩擦因子，为流体动力黏度。对于光滑壁面微通道中的稳定不可压层流[17]，为

式中，D1p2，为微通道中部稳定段的压降，1和2分别取500mm和900mm（相对进口的量纲1距离分别为0.5和0.9）处的截面平均压强,此压降段不受进口段效应的影响；为压降所对应的微通道长度，为水的动力黏度。

由式（4）可得量纲1滑移长度[18]

此外，为有效衡量超疏水表面微通道的减阻效果，引入量纲1压降比

式中，DS为不含微坑的光滑微通道中的压降，Pa；D为含微坑的超疏水表面微通道中的压降，Pa。

2 模拟结果与分析

2.1 与实验结果对比

为验证采用抛物线形气-液界面假设的合理性，首先针对文献[6]中的三维周期单元结构进行了三维数值模拟，并与Ou等[6]的实验结果进行了对比，如图3所示，其中气-液界面为抛物面假设，抛物面最大高度为4mm。图3表明，与气-液界面为平面假设相比，抛物面假设下的模拟结果更接近实验值，由此表明采用抛物线形气-液界面更接近超疏水表面的减阻效果。

为全面考察流动和结构参数对减阻的影响，下文针对入口速度、微坑面积比、微通道高度、抛物线形高度和微坑深度等参数的影响展开分析，并比较4种微坑形状的减阻效果。计算中所用量纲1参数，如无特殊说明，取值如下：c=1，=0.8，c=0.48，c=0.08，c=1。

2.2 微通道中Poiseuille数的变化

图4为微通道中Poiseuille数随Reynolds数的变化。已有研究表明，对于两光滑无限大平板间的流动，Poiseuille数为常数，=96[19]。图4表明，光滑微通道的模拟结果与理论解吻合良好，最大偏差仅为0.6%，由此表明文中所做数值模拟的准确性。对于超疏水表面，其明显小于光滑表面情形，平均降低了5.4%，即采用含矩形微坑的超疏水表面具有明显的减阻作用。另外，随增大，略有提高，这是因为当平均流速增大时，水流过周期性分布的微观结构时所需的压降会更大。

2.3 流动运动学特征

图5为微通道中微坑附近的速度场分布。在该微通道中，由于微坑中驻留有部分气体，从而使上壁面处的流动分为两类：微脊处固-液界面上的无滑移流动和微坑处气-液界面附近的滑移流动。而且，流动在这两类边界上的差别很大，固-液界面处的速度梯度大，在靠近壁面处速度减小为零；而微坑处的速度梯度小、速度并不为零，并且在微坑中存在明显的逆时针环流[图5（c）]。

图5 微坑附近的速度场

图6为在第20个微结构附近不同位置处的量纲1速度纵向分布，选取位置分别为：微坑入口（s/=0.1）、微坑中间（s/=0.5）、微坑出口（s/=0.9）和微脊中间。其中s为以第20个微坑左侧壁面为起点，向右沿流向的距离；*=/cl，cl为光滑微通道的截面最大速度。图6(b)表明，4个位置处的速度分布仅在壁面附近有明显差别，远离壁面后则逐渐重合。在微坑中间位置，速度较大，且微通道中心线处的最大速度小于光滑微通道情形，这是因为流体在上壁面发生滑移，为满足连续条件，中心线上的速度势必减小。当流体从微脊流向微坑时，因流动阻力减小，气-液界面附近的流体逐渐加速，而当靠近微坑出口时，微脊阻挡流体致使阻力增加，因而流动又逐渐减速。

图7为第20个微结构周期单元段沿流动方向的横向速度分布，图中每种情形下未做说明的量纲1参数值即为默认参数值，即c=1，=0.8，c=0.48，c=0.08，c=1。比较图7中=0.5和0.9可知，增大微坑面积比可提高微坑段的量纲1壁面速度，这是因为增大微坑面积比扩大了气-液接触面积，由此削弱了微脊表面的作用。当其他参数相同时，=0.9时的微坑段最大量纲1壁面速度为=0.5时的两倍多。当=0.9时，对比c=0和0.08可知，当气-液界面为直线（c=0）时，微坑段壁面速度更大，表明直线形界面假设未考虑气-液界面弯曲效应带来的阻力增加影响，因而不能准确反映实际结果。

图7还比较了入口速度c=1和3时对壁面速度的影响。由图7可知，降低入口速度可提高微坑段的壁面速度，且速度分布关于微坑中心线的对称性更好。微坑段壁面速度的分布关于微坑中心线一般不对称，而是向下游偏移，这是由流动惯性所致。

微通道高度对壁面速度也有显著影响，比较图7中c=0.48和0.05发现，增加微通道高度降低了微坑段的壁面速度，且改善了速度分布关于微坑中心线的对称性，这是由于增加微通道高度减小了超疏水表面面积与流体体积的比值，因而超疏水表面的作用被削弱。对比图7中微坑深度的影响可知，降低微坑深度可减小微坑段的壁面速度，这是因为在微坑内存在气体逆时针环流，当降低微坑深度时，气-液界面离微坑底部的固体表面接近，从而增大了局部剪切力，进而降低了微坑段的壁面速度。

2.4 流动和结构参数对减阻效果的影响

2.4.1 入口速度的影响 图8对比了两种气-液界面情形下量纲1压降比随入口速度的变化。由图8可知，压降比均随入口速度增大而略有下降；与抛物线形界面相比，直线形界面下的压降比更大，平均高出3.25%，由此表明直线形界面假设因未考虑界面弯曲效应，而高估了超疏水表面的减阻效果。

2.4.2 微坑面积比和微通道高度的影响 图9为不同微坑面积比和微通道高度下的Poiseuille数变化。图9表明，随微坑面积比增大，单调减小；这是因为在微通道长度不变的前提下，增大微坑面积比将缩小微脊所占面积，由此减小了固-液接触面积，因而阻力降低。随微通道高度降低而减小，且微通道高度越小，随微坑面积比的变化越显著。当c=0.05时，与微坑面积比近似呈线性减小关系，这是由于降低微通道高度增大了超疏水表面面积与流体体积的比值，因而超疏水表面的作用变显著。与光滑微通道相比，当=0.9时，c=0.05对应的可减小54%（»44）；若其他参数不变，仅增大微通道高度使c=0.64，则仅减小8%（»88）。由此可见，在较小的微通道结构中可获得更好的减阻效果。

图10为微坑面积比对压降比的影响。图10表明，压降比随微坑面积比增大而提高，这是由于增大微坑面积比可扩大气-液接触面积，因而减阻效果越好，压降越小。同样，采用直线形气-液界面假设下的减阻效果明显高于抛物线形气-液界面假设。

图11为量纲1压降比随微通道高度的变化。该图表明，随微通道高度增大，量纲1压降比减小；这是由于当微通道高度增大时，超疏水表面面积与流体体积的比值变小，因而超疏水表面作用减弱。

2.4.3 抛物线形高度的影响 为分析抛物线形界面高度对微通道减阻的影响，图12和图13给出了量纲1压降比、Poiseuille数和量纲1滑移长度随抛物线形高度的变化。图12表明，当c=0，即气-液界面为直线时，量纲1压降比和滑移长度最大，最小。随抛物线形高度增加，量纲1压降比和滑移长度线性减小，而线性增加，表明增加抛物线形高度对超疏水表面的滑移起到了阻碍作用。这是因为水向微坑内的浸润一定程度上影响了流动的顺畅性，使流体经历交替的收缩与膨胀，同时滑移的减小使壁面速度梯度增加，导致摩擦阻力增加，因此随抛物线形高度增加，减阻效果下降。因此，合理选择微坑结构参数，进而控制气-液界面的弯曲高度对于提高减阻效果具有重要的作用。

2.4.4 微坑深度的影响 微坑深度对量纲1压降比和滑移长度的影响如图14和图15所示。当c<0.4时，量纲1压降比和滑移长度均随微坑深度增加而提高；但当c>0.4时，二者则趋于定值，不再受微坑深度影响。这是由于气体在微坑中发生逆时针环流，当微坑深度较小时，气-液界面附近的局部剪切力较大，因而阻力较大；而当微坑深度较大时，气-液界面附近的局部剪切力较小，阻力较小。另外，增大微坑面积比也可明显提高减阻效果；当=0.8且微坑深度足够大时，量纲1压降比为0.065，滑移长度为0.025，明显高于=0.5时的0.013和0.006。

2.4.5 微坑形状的影响 为分析微坑形状对微通道减阻的影响，图16比较了4种不同微坑形状下的量纲1压降比。该图表明，燕尾形微坑对应的量纲1压降比最大，减阻效果最好，这是因为燕尾形微坑更有利于气相内旋涡运动的发生，从而在气-液界面处产生更大的局部滑移速度；三角形微坑的量纲1压降比最小，减阻效果最差；矩形和梯形微坑则介于两者之间，该结论与文献[11]中的结果一致。

3 结 论

基于抛物线形气-液界面前提，对超疏水表面微通道中的单侧滑移流动进行了二维数值模拟。主要结论如下。

（1）直线形气-液界面假设高估了超疏水表面的减阻效果，采用抛物线形气-液界面假设所得的结果更接近实验结果。

（2）上壁面微坑和微脊附近的速度分布表明，流体在微通道上壁面存在明显滑移特征。沿流向不同位置处的速度分布仅在上壁面附近存在显著差别，而在远离上壁面处则逐渐重合。当提高微坑面积比和微坑深度，或降低入口速度和微通道高度时，将增大上壁面微坑段的量纲1壁面速度。含矩形微坑的超疏水表面微通道具有减阻作用，随Reynolds数增大而略有提高；量纲1压降比随入口速度增大而略有下降。

（3）随微坑面积比的增大或微通道高度的减小，减小，量纲1压降比增大，减阻效果显著；且微通道高度越小，随微坑面积比的变化越显著。增大气-液界面的抛物线形高度，量纲1压降比和滑移长度将线性减小，线性增加。当微坑深度大于其宽度的40%时，量纲1压降比和滑移长度趋于稳定，不再受微坑深度影响。

（4）燕尾形微坑的减阻效果最好，三角形微坑的减阻效果最差，矩形和梯形微坑介于两者之间。选取合适的微坑形状及其结构参数是控制减阻效果的重要方面。

符 号 说 明

a——两微坑间固体壁面（微脊）的宽度，mm B——压降Dp所对应的微通道长度，mm Dh——微通道的水力直径，mm d——微坑的宽度，mm f——微通道的平均摩擦因子 fRe——Poiseuille数 H——微通道的高度，mm Hc——相对微通道高度 h——微坑的深度，mm L——微通道的长度，mm p1, p2——分别为距离微通道进口500 mm和900 mm处的截面平均压强，Pa Re——Reynolds数 S——周期单元的长度，mm U——基准速度，m·s-1 uc——量纲1入口速度 uin——入口速度，m·s-1 Zc——相对微坑深度 b——微坑面积比 d——抛物线形气-液界面的最大高度，mm dc——相对抛物线形气-液界面的最大高度 m——水的动力黏度，Pa·s P——量纲1压降比

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Drag reduction of superhydrophobic microchannels based on parabolic gas-liquid interfaces

LI Chunxi, ZHANG Shuo, XUE Quanxi, YE Xuemin

(Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment, North China Electric Power University, Baoding071003,Hebei,China)

Based on the model of volume of fluid, two-dimensional fluid laminar flow in superhydrophobic microchannels was numerically simulated with given parabolic gas-liquid interfaces. The effects of several flow and structural parameters on, the normalized slip length and pressure drop were investigated. The results show that superhydrophobic microchannels with rectangular microcavities exhibited significant drag reduction in a way thatincreased slightly with increase of Reynolds number whereas normalized pressure drop decreased slightly with increase of inlet velocity. When the area ratio of microcavities was increased or the microchannel diameter was decreased,was reduced but normalized pressure drop was enhanced. In case of small microchannel diameter, the area ratio of microcavities significantly affected. With increase of the parabolic height, the ratio of normalized pressure drop and the normalized slip length decreased linearly, howeverincreased linearly. The impact of microcavities on the normalized slip length and the ratio of normalized pressure drop was minimal provided that the microcavity depth was greater than 40% of its width. The dovetail microcavities exhibited the greatest effect on drag reduction, followed by the rectangular, trapezoidal, triangular microcavities in the order of high to low.

superhydrophobic surfaces; microchannels; numerical simulation; gas-liquid interface; laminar flow; microscale; two-phase flow

2016-05-09.

Prof. LI Chunxi, leechunxi@163.com

10.11949/j.issn.0438-1157.20160629

O 35

A

0438—1157（2016）10—4126—09

国家自然科学基金项目（11202079）；河北省自然科学基金项目（A2015502058）。

2016-05-09收到初稿，2016-07-13收到修改稿。

联系人及第一作者：李春曦（1973—），女，博士，教授。

supported by the National Natural Science Foundation of China (11202079) and the Natural Science Foundation of Hebei Province (A2015502058).