一种严谨的“割补法”——谈谈不均匀容器类压强题的解法

陈显盈 尤爱惠

(温州中学　浙江 温州　325000) (温州市南浦实验中学　浙江 温州　325000)



一种严谨的“割补法”
——谈谈不均匀容器类压强题的解法

陈显盈 尤爱惠

(温州中学浙江 温州325000) (温州市南浦实验中学浙江 温州325000)

对于不均匀容器类的压强题，往往采用一种不严谨的“割补法”，本文分析了一种严谨的“割补法”，并介绍了“补充法”“割除法”“简化法”“膨胀法”“综合法”等一系列其他解题方法．

压强题解法割补法补充法割除法

对于液体压强竞赛题，涉及的容器往往不是上下粗细均匀的柱体状容器(如圆柱体、长方体等)，而是上细下粗或上粗下细的不均匀容器(如圆台、棱台等)，下面结合一道典型的压强竞赛题分析其解法．

1　例题再现

【题目】如图1所示，甲、乙两只完全相同的圆台状容器内，分别装有质量相等的水和煤油，置于水平桌面时，设两容器内液体对底部的压强分别是p1和p2，关于两压强的大小，下列说法正确的是

A.p1>p2B.p1=p2

C.p1

图1　例题平面示意图

下面笔者结合教学经验，再谈一谈该类压强竞赛题的各种解法．

图2　割补法平面示意图

2　解法分析——割补法

2.1错误解法

许多参考资料采用一种在平面示意图上直接割补成圆柱体的“割补法”进行解题．如图2所示，先将两圆台容器都割补成圆柱体容器，根据p=ρgh(ρ和h不变)可知p都各自不变．割补后，根据

因m相等甲的S大，可知甲中的压强p较小(即

p1

2.2错法解析

(1)能否割补出圆柱体．

文献[1]指出：采用该方式不能将圆台容器经过一次割补变成圆柱体容器．如图3所示，圆台是立体的，通过图2的割补方法都无法变为圆柱体．如果容器不是圆台而是棱台，才可以用该割补方式直接变为长方体．

图3　圆台(或棱台)切割立体示意图

(2)割补出的圆柱体体积是否相等．

如图4所示，假如通过多次割补将圆台变成圆柱体，割补前后体积相等吗？设圆台上、下底面的半径分别为R上和R下，根据圆台体积公式可得

图4　割补法示意图(体积不相等)

2.3严谨解法

那么，该题能不能采用“割补法”解题呢？其实是可以的，只不过需根据体积相等原理进行割补．如图5所示，在理论上是可以要将上、下底面积分别为S上和S下的圆台容器通过多次精细化割补变成一个圆柱体的容器，其底面积为

图5　割补法立体示意图(体积相等)

图6　割补法平面示意图(体积相等)

3　其他解法

可见，对于圆台等容器可以采用“割补法”，但其解法比较繁琐，其实该题可以采用其他简单的“补充法”“割除法”等解法．

3.1补充法

如图7所示，将圆台补充后得到圆柱体，此时压强p各自不变(h和S不变)．可得，甲中补充的液体质量Δm较小(即Δm1<Δm2)，根据公式

可知，甲中液体压强p较小(即p1

图7　补充法

3.2割除法

如图8所示，将圆台割除后得到圆柱体，此时压强p各自不变．可得，甲中割除的液体质量Δm较大(即Δm1>Δm2)，根据公式

可知，甲中液体压强p较小(即p1

图8　割除法

3.3简化法(简化容器形状)

如图9所示，为了解题方便可将两圆台容器简化为由两段柱体组成的容器，简化后底部液体压强p也各自不变．甲中的压强

而乙比甲多了一部分容器对液体向下的压力ΔF，所以乙中的压强

可得

p1

图9　简化法

3.4膨胀法(转移法)

如图10所示，可以将乙液体看成由甲液体热膨胀得到(密度不相等)．热膨胀后液体体积增大，部分液体从两侧往中间位置转移，导致中间位置的压强增大，可见膨胀后液体压强也增大(即p1

图10　膨胀法

3.5综合法

(1)简化法+膨胀法

如图11所示，先用简化法将圆台简化为两段柱体；再用膨胀法，同理热膨胀后液体会从两侧往中间位置转移，从而导致液体压强增大(即p1

图11　简化法+膨胀法

(2)替代法+膨胀法[1]

图12　替代法+膨胀法

总之，该类容器粗细不均匀的压强竞赛题可以采用“割补法”，对于棱台等容器可以在平面图上直接割补成柱体进行解题；对于圆台等容器，需先结合体积相等原理割补成圆柱体再解题．除了“割补法”外，还可用“补充法”“割除法”“简化法”等多种方法进行解题，其解题关键是如何将上下粗细不均匀的容器转化为粗细均匀的容器．

1王伟民.不能将立体图当作平面图处理.中学物理教学参考,2015(8)：18～19

2016-01-07)