引入撞击力的滚动轴承内圈故障振动模型

黄文涛，董振振，孔繁朝

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨　150000)



引入撞击力的滚动轴承内圈故障振动模型

黄文涛，董振振，孔繁朝

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨150000)

轴承动力学建模是深入理解故障产生机理的重要手段，是滚动轴承故障诊断的理论基础和关键环节。为了更准确地预知振动特征，以Hertz接触理论为基础，将轴承内圈与轴、外圈与轴承座之间的接触部分简化为弹簧-阻尼连接，轴承与滚道的接触点等效为线性弹簧。并将与轴承转速密切相关的撞击力这一运动参数引入到振动模型中，建立了一种能够综合考虑结构参数和运动参数的三自由度滚动轴承故障振动模型。对滚珠与缺陷的接触过程进行了详细分析，给出了包含转速参量的撞击力求解公式，并采用Runge-Kutta法对得到的非线性振动方程进行数值求解。最后采用6204滚动轴承内圈故障实测信号与所提出的振动模型求解得到的仿真信号进行了比较分析。结果表明，所建立的考虑撞击力的振动模型能够有效地对轴承故障信号的故障频率以及幅值进行预测。

滚动轴承；振动模型；撞击力；转速；故障诊断

滚动轴承作为一种重要的关键基础部件，广泛应用于机械工业各重要领域，它的运行状态对整个机械系统的精度、可靠性和寿命等性能有着重要影响。因此故障诊断对于滚动轴承的安全、连续运行和预测更新至关重要。故障建模研究故障状态下动力学参数和响应征兆之间的内在联系，是故障诊断技术的重要基础和依据[1]。因此，开展滚动轴承缺陷故障的动力学建模与振动分析的研究，具有重要的理论意义和工程应用价值。

目前已有许多学者进行了轴承缺陷故障动力学模型的研究工作。MCFADDEN等[2-3]用一串周期性的脉冲函数模拟缺陷对轴承的冲击激励，综合考虑轴承几何结构、转速、轴承载荷分布、信号传递通道函数和信号衰减函数等各方面的影响，建立了故障轴承振动模型。HO[4]对MCFADDEN[2]的模型进行了改进，在冲击时间间隔上引入了微小的随机变量来代替固定周期序列。杨将新等[5]将滚动轴承等效为二阶的质量-弹簧-阻尼系统，用矩形脉冲模拟缺陷故障产生的脉冲力，对内圈局部损伤的滚动轴承动态特性进行了分析。SASSI等[6]建立了考虑外圈、滚珠和内圈的三自由度轴承振动方程，考虑了油膜的影响，并对滚珠与缺陷之间的相互作用进行了分析。该模型主要考虑了轴承运动参数对模型的影响，但忽略了大部分结构参数的影响。ANTURK[7]建立了滚动轴承的三自由度振动方程，分析滚珠数目和预紧力对轴承振动的影响。SOPANEN等[8-9]采用六自由度的振动方程来描述轴承系统，分析了游隙对系统固有频率和振动响应的影响。ARSLAN等[10]增加了轴承各元件在轴向的运动关系，考虑接触角对运动关系的影响，建立了轴承振动方程。PATIL等[11]将滚珠和滚道之间的接触等效为非线性弹簧，依据Hertz接触理论，建立局部故障轴承的振动模型，并采用此模型对滚动轴承的故障特征进行仿真模拟和实验验证。该模型对轴承的结构参数考虑更为全面，但对运动参数考虑较少。PATEL等[12]依据Hertz接触理论并考虑滚珠质量，建立滚动轴承三自由度振动模型，并对内圈两点故障和外圈两点故障进行仿真模拟，获得了较好效果。张伟刚等[13]建立了一个基于Hertz接触力模型的6自由度机床主轴-滚动轴承系统，考虑了游隙、变刚度、非平衡力等因素，得出了负游隙有助于提高机床主轴 - 滚动轴承系统稳定性的结论。

在上述模型中，都是通过内外圈之间接触变形的变化来实现故障的模拟。本文认为，当滚珠与缺陷接触时，除接触变形产生的变化以外，滚珠与缺陷之间的撞击不可忽略。由此，本文通过对滚珠和缺陷的接触过程进行分析，给出了包含转速参量的撞击力求解公式，建立了一种考虑撞击力的三自由度滚动轴承故障振动模型。通过对内圈单点故障的模拟，并与实验数据对比表明，本文所建立的模型不仅能够有效地预测故障特征频率及其幅值，而且具有良好的稳定性。

1　引入撞击力的轴承故障振动模型

1.1模型简化

由于轴承接触关系复杂，本文基于以下基本假设建立轴承振动模型：① 滚珠相对于轴均匀分布；② 滚珠在滚道表面的运动为纯滚动；③ 不考虑温度变化带来的影响；④ 只考虑轴承在径向所受的力；⑤ 滚珠与滚道之间的接触符合Hertz接触条件；⑥ 忽略润滑剂的刚度与阻尼；⑦ 内外圈为刚性体，滚珠可变形。

基于以上简化条件，本文根据Hertz接触理论，将轴承内圈与轴、外圈与轴承座之间的接触部分简化为弹簧-阻尼连接，将滚珠与内外滚道之间的接触部分简化为线性弹簧连接。与以往模型不同之处在于，将轴承座的刚度分为水平刚度和竖直刚度两部分分别考虑。建立的滚动轴承振动模型如图1所示。

图1　滚动轴承振动模型示意图Fig.1　Diagram of the vibration model of rolling element bearings

图2　滚动轴承运动关系及载荷分布图Fig.2　The movement relationship and load distribution of the bearing

在轴承故障建模中，对于缺陷的模拟是建模的重要环节。本模型首先由局部缺陷诱发的接触变形激励模拟缺陷，然后由滚珠与缺陷之间的撞击力对缺陷进行模拟。

1.2接触变形模拟局部缺陷

如图2所示，滚动轴承第i个滚动体处的接触变形是内外圈径向位移(xin,yin)、(xout,yout)，滚珠角位置θi以及游隙cr的函数，由几何关系可知：

δi=(xin-xout)sinθi+(yin-yout)cosθi-cr

(1)

滚动轴承常见的故障可以分为两类，一类是表面损伤类故障，包括点蚀、剥落、擦伤等；一类是磨损类故障。由于表面损伤类故障对于轴承运行危害严重，轴承故障诊断大多关注表面损伤类故障。

表面损伤类故障往往在内外圈滚道上形成一个凹坑。本模型中将凹坑的形态简化为矩形槽，记模型中缺陷宽度为L，深度为h。当滚动轴承运行到缺陷位置的时候，滚珠的接触变形瞬间减小，相当于游隙cr增加，其增加量取决于滚珠与缺陷的几何关系。

当4h2+L2≥8rbh时，滚珠可以接触到缺陷底部，如图3(b)所示，此时滚珠最大下陷距离为缺陷深度H0=h。

图3　缺陷形状对接触变形的影响Fig.3　The influence of shape defects on contact deformation

当缺陷的位置处于承载区时，滚珠与缺陷接触时会下陷一段距离H0，而当滚珠位于非承载区时，即使经过缺陷也不会下陷。

滚动轴承的承载区分布范围如图2所示，其分布范围极限角为：

(2)

综合以上分析可知，当滚珠在任意位置时，滚珠最大下陷距离为：

(3)

将接触变形变化H代入到式(1)中，即可将缺陷引入到模型中：

δi=(xin-xout)sinθi+

(yin-yout)cosθi-cr-H

(4)

1.3引入速度的撞击力计算

在现有的滚动轴承振动模型中，都是通过游隙的瞬间增加来模拟滚珠与缺陷的接触过程，并且游隙增加量并不会随轴的转速提高而产生变化。实际上，滚珠与缺陷接触处产生的振动幅值随轴频的提高而增大，因此在模型中，必然要有一个与转速大小呈正相关的量来体现这种实际情况。基于以上想法，本文在建立了滚动轴承结构参数的振动模型的基础上，将与轴承转速相关的撞击力这一运动参数引入到模型中，通过分析滚珠与缺陷之间的撞击过程，给出了撞击力的近似计算方法。

对于固定在保持架中的滚珠而言，忽略滚珠自身的转动之后，可将滚珠沿滚道的运动简化为圆周运动。滚珠受到来自内外滚道挤压产生的力，受力情况如下：

(5)

式中:mb为滚珠的质量；Fb-in为滚珠在缺陷处所受的来自内滚道的径向负荷，当缺陷位于滚动轴承承载区时，滚珠在缺陷处所受的来自内滚道的径向负荷为

(6)

当滚珠与内圈缺陷相遇时，来自内滚道的力Fb-in消失，Fb-out的值可由下式计算：

Fb-out=

(7)

此时，滚珠位置角θi与内圈缺陷损伤角位置φin可以认为近似相等。由于Fb-out是由滚珠与外滚道之间的接触变形产生，所以，Fb-out在滚珠与缺陷接触时不会产生突变。由于滚珠的运动受到外圈的限制，所以在内滚道接触力消失的瞬间，一部分继续为圆周运动提供向心加速度 ，另一部分使得滚珠在径向产生加速运动。

(8)

此加速度会使滚珠产生一个径向速度：

(yin-yout)cosθi-cr]

(9)

在速度v2的作用下，滚珠从内圈缺陷边沿A点开始撞击，经过缺陷到达另一边沿B点的过程如图4所示，在地面参考系下,内圈上A点的线速度是大于滚珠的线速度的，滚珠实际上被缺陷超过了，但是如果以A点为参考点的话，也可以看成是滚珠以速度vΔ迎面撞向内圈缺陷。图4中vA是内圈上A点的线速度，v1为滚珠的线速度，vΔ是滚珠与内圈的相对速度。

图4　滚珠撞击缺陷的过程示意图Fig.4　Process of ball’s impact

假设滚珠从离开左端点A到撞击到右端点B的时间为t1，根据图4中的几何关系可得：

(10)

式中，vΔ=vA-v1,v1=ωcDm/2。

撞击力用Fimpact表示，则对于滚珠在径向方向上运用冲量定理，有：

Fimpactcosθ×t2=mv2

(11)

得到与转速大小呈正相关的撞击力的计算公式如下：

式(12)表明，当滚动轴承的角速度ωs增大时，撞击力Fimpact也相应增大，描述了当滚动轴承的滚珠与缺陷撞击时，轴承的运转速度与撞击力之间的关系。

1.4引入撞击力的轴承振动模型

根据简化条件5可知，滚动轴承的滚珠与滚道之间的接触为Hertz接触。根据Hertz接触理论中的点接触情况可知，载荷与接触变形的关系为：

F=Kδ1.5

(13)

式中，δ为接触变形，K为Hertz接触刚度。

如图1所示，对于材料为轴承钢的轴承，用Kb-in和Kb-out分别表示滚珠与内、外滚道的接触刚度，计算公式分别为：

Kb-in=2.15×105(∑ρb-in)-0.5(nδb-in)-1.5

(14)

Kb-out=2.15×105(∑ρb-out)-0.5(nδb-out)-1.5

(15)

式中，∑ρb-in和∑ρb-out分别代表内外滚道与滚珠接触处的曲率和，可由滚珠和滚道的半径计算得到。nδb-in以及nδb-out可通过计算曲率差F(ρ)进而查表[14]获得。

内外圈总接触刚度由滚珠与内外滚道的接触刚度计算得到：

(16)

由于滚动轴承的接触阻尼随平均负荷变化，本文采用经验计算公式[15]计算滚动轴承的接触阻尼：

2.5×10-3×K≤C≤2.5×10-2×K

(17)

本文利用SolidWorks对轴以及轴承座建立结构模型，并将其导入到软件ANSYS-11中进行有限元分析，计算轴与轴承座在竖直和水平方向上的刚度。经计算获得如下的刚度值：轴刚度为1.43×103N/mm，轴承座水平方向刚度值为K1=7.06×105N/mm，轴承座竖直方向刚度为 K2=7.91×105N/mm。

由1.2～1.3的分析，结合图1，建立考虑撞击力的轴承故障振动方程如下：

(18)

式中：FXH、FYH为水平和竖直方向的总接触力，其值可由各滚珠处的接触变形代入式(13)并求和得到；W为滚珠所受的最大径向负荷；min、mout分别为内外圈的质量。

2　轴承故障模型仿真及实验结果

采集滚动轴承故障数据的实验平台如图5所示：

实验平台可以模拟轴承，齿轮，皮带的故障等。驱动器是速度高达3 000 r/min的变速直流电动机(1马力)。直径30 mm的短轴通过柔性联轴器连接到电机轴上；这可以有效减少偏差和来自电机的振动的影响。轴的两端通过两个滚动轴承支撑。靠近电机侧安装的是故障轴承，进行各类轴承故障模拟，另一侧是完好的轴承。压电加速度传感器通过粘接剂安装在轴承座顶部的平坦光滑部位，以确保信号的有效耦合。

图5　实验平台Fig.5　Experimental platform

本文使用6204型轴承作为试验样品，轴承采用脂润滑。获取的轴承振动信号通过数据采集系统送入到计算机进行分析处理。为验证速度对滚动轴承故障信号的影响，实验平台的短轴选取30 Hz和45 Hz两种不同的转频运转。所用的轴承及实验平台的参数如表1所示。

表1　轴承及实验平台参数

本文采用Runge-Kutta法对得到的非线性振动方程组进行数值求解。计算步长设为10-7s，初值取为10-6。并在6204深沟球轴承上用线切割方法在内滚道加工一个宽L=0.2 mm、深h=0.1 mm的损伤区域来模拟轴承内圈缺陷故障，如图6所示。

图6　内圈故障轴承Fig.6　Bearing with a inner defect

(1)振动模型仿真信号时域分析

经过对非线性振动方程组进行数值求解，得到如图7所示的内圈故障仿真信号时域图，图中显示时间范围是0.1～1 s，因为在0～0.1 s范围内时，方程处在由初始激励趋稳的过程，仅取0.1～1 s内的稳定过程进行分析。

图7　内圈故障仿真信号时域图Fig.7　Simulated acceleration time response of a bearing with an inner defect

当内圈滚道上存在故障时，所得到的仿真信号相比于外圈故障信号要复杂得多。这是由于故障随内圈转动，从而不断地出入承载区，导致滚珠与故障接触时的接触力随之变化，撞击力也随之变化。当故障位于承载区时，在时域图上反映为幅值较大，如图7中t=0.840 1时；当故障位于非承载区时，在时域图上反映为幅值较小，如图4～13中t=0.569 1时。

图8是内圈故障仿真信号撞击力时域图,即Fimpact，为方便观察规律，图中只显示出部分时间段的撞击力。当轴承转频是30 Hz时，计算得内圈的故障频率为147.7 Hz，对应内圈故障与滚动体每隔0.006 77 s撞击一次。从图8中可以看出撞击力的时间间隔与理论撞击时间间隔0.006 77 s是基本一致的，例如0.067 79-0.061 01=0.006 78 s。而图中撞击力间隔较大的区域正是内圈缺陷转动到非载荷区域的时段，这时滚珠与缺陷不再接触,它们的时间间隔也与轴承单圈转动时间0.033 s对应。

图8　内圈故障仿真信号撞击力时域图Fig.8　Simulated impact force of an inner defect

(2)仿真信号与实测信号的包络谱分析

为了验证本文所提出的引入撞击力的滚动轴承振动模型的有效性，对轴承内圈故障的仿真信号与实测信号进行包络分析。

当转轴的频率为30 Hz时，采用四阶Runge-Kutta法对本文所建立的振动模型进行求解，得到仿真信号的包络谱，如图9所示。

模拟内圈故障的轴承在实验台上实测的振动信号的包络谱如图10所示。

图9　仿真信号的包络谱Fig.9　Envelop spectrum of the simulated signal

图10　实测信号的包络谱Fig.10 Envelop spectrum of the experimental signal

从图9中可以看出，仿真信号内圈故障频率为147 Hz，与图10实测信号中的147.7 Hz非常吻合，仅相差0.47%。由于内圈与转轴一起运行，其故障频率受转频调制，因此在主频及其倍频两边有以轴频为间隔的调制谱线。图9中的仿真信号包络谱成功模拟了各阶倍频两边的调制谱线，并且调制谱线的频率与实测信号仅相差0.47%。

除故障特征频率外，对于故障信号幅值的预测也是故障模型研究的重要内容之一。表2为本模型仿真信号与实测信号之间幅值的比较。

表2　仿真信号与实测信号的幅值比较

与PATEL等[12]的结果相比，本模型中仿真信号的幅值更接近实测信号。由此可见，本文所提出的考虑撞击力的轴承故障振动模型在信号的幅值预测上也有着良好的表现。

(3)不同转速下仿真模型分析

下面研究轴频为45 Hz时仿真模型的准确性。轴转频为45 Hz时轴承内圈缺陷故障的仿真信号和实测信号包络谱如图11所示。

图11　轴转频45 Hz时轴承内圈缺陷故障信号包络谱Fig.11 Envelop spectrum of the signal with a signal defect on the inner race (fs=45 Hz)

由图11可知，以实测信号为参照，根据本文提出的振动模型求解得到的仿真信号与实测信号在特征频率值上相差0.3%，幅值误差在30%以内。

把图9、10与图11对比可知，在轴转频提高时，由于加入了与轴转速有关的撞击力，实测信号和仿真信号的包络谱幅值都随之提高，且仿真信号依然能够与实测信号相吻合。这说明本模型能很好的反映出变化的转速对内圈故障产生的撞击力的影响，即：轴承内圈故障产生的撞击力随轴承转速的增加而增大。

3　结　论

本文以Hertz接触理论为基础，将轴承的结构参数和运动参数相结合，建立了一种新的考虑撞击力的滚动轴承振动模型。与以往不同的是，本文中的刚度值分为水平和竖直两个方向分别计算，并且在考虑滚动轴承的滚珠与缺陷之间的撞击过程的基础上，将撞击力加入到滚动轴承故障振动模型中。采用6204滚动轴承内圈故障振动实测信号与本文所提出的振动模型求解得到的仿真信号进行了比较分析。结果表明，引入撞击力的轴承故障振动模型能够有效预测振动频谱中的故障特征频率及其幅值，并且撞击力与轴承转速成正相关变化。

[1]王国彪,何正嘉,陈雪峰,等.机械故障诊断基础研究“何去何从”[J].机械工程学报,2013,49(1):63-72.

WANG Guobiao,HE Zhengjia,CHEN Xuefeng.Basic research on machinery fault diagnosis-what is the prescription[J].Journal of Mechanical Engineering,2013,49(1):63-72.

[2]MCFADDEN P D,SMITH J D.Model for the vibration produced by a single point defect in a rolling element bearing [J].Journal of Sound and Vibration,1984,96(1):69-82.[3]MCFADDEN P D,SMITH J D.The vibration produced by multiple point defect in a rolling element bearing [J].Journal of Sound and Vibration,1985,98(1):263-273.

[4]HO D,RANDALL R B.Optimization of bearing diagnostic techniques using simulated and actual bearing fault signals [J].Mechanical Systems and Signal Processing,2000,14(5):763-788.

[5]杨将新,曹冲锋,曹衍龙,等.内圈局部损伤滚动轴承系统动态特性建模与仿真[J].浙江大学学报(工学版),2007,41(4):551-555.

YANG Jiangxin,CAO Chongfeng,CAO Yanlong,et al.Model for dynamic characteristics produced by inner race local defect in ball bearing system and its simulation[J].Journal of Zhejiang University(Engineering Science),2007,41(4):551-555.

[6]SASSI S,BADRI B,THOMAS M.A numerical model to predict damaged bearing vibrations[J].Journal of Vibration and Control,2007,13(11):1603-1628.

[7]ANTURK N,UNEEB M,GOHAR R.The effects of number of balls and preload on vibrations association with ball bearings[J].Transaction of the ASME,Journal of Tribology,1997,119(4):747-753.

[8]SOPANEN J,MIKKOLA A.Dynamic model of a deep-groove ball bearing including localized and distributed defects,Part 1:theory[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part K:Journal of Multi-body Dynamics,2003,217(3):201-211.

[9]SOPANEN J,MIKKOLA A.Dynamic model of a deep-groove ball bearing including localized and distributed defects,Part 2:iImplementation and results[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part K:Journal of Multi-body Dynamics,2003,217(3):213-223.

[10]ARSLAN H,AKTÜRK N.An investigation of rolling element vibrations caused by local defects.[J].Journal of Tribology,2008,130(4):04110101-04110110.

[11]PATIL M S,MATHEW J,PAJENDRAKUMAR P K,et al.A theoretical model to predict the effect of localized defect on vibrations associated with ball bearing.[J].International Journal of Mechanical Science,2010,52(9):1193-1201.

[12]PATEL V N,TANDON N,PANDEY R K.A dynamic model for vibration studies of deep groove ball bearings considering single and multiple defects in races[J].Journal of Tribology,2010,132(4):04110101-04110110.

[13]张伟刚,高尚晗,龙新华,等.机床主轴-滚动轴承系统非线性动力学分析[J].振动与冲击,2008,27(9):72-75.

ZHANG Weigang,GAO Shanghan,LONG Xinhua,et al.Nonlinear analysis for a machine-tool spindle system supported with ball bearing[J].Journal of Vibration and Shock,2008,27(9):72-75.

[14]冈本纯三.球轴承的设计计算[M].北京:机械工业出版社，2003

[15]朱永生,袁幸,张优云,等.滚动轴承故障振动建模及Lempel-Ziv复杂度评价[J].振动与冲击,2013,32(16):23-29.

ZHU Yongsheng,YUAN Xing,ZHANG Youyun,et al.Vibration modeling of rolling baring considering compound multi-defect and appraisal with Lempel-Ziv complexity[J].Journal of Vibration and Shock,2013,32(16):23-29.

Vibration model of rolling element bearings with inner race faults considering impact force

HUANG Wentao,DONG Zhenzhen,KONG Fanchao

(School of Mechatronic Engineering,Harbin Institute of Technology,Harbin 150000,China)

Bearing dynamic modeling is an important mean to understand its fault mechanism,it is the theoretical foundation and the key link of fault diagnosis of rolling element bearings.In order to predict rolling bearings’ vibration characteristics correctly,based on Hertz contact theory,a 3-DOF dynamic model for rolling element bearings with inner race faults considering impact force was developed,and the contact between inner race and shaft and the contact between outer race and housing were simplified as spring-damper connections.The contacts between rolling elements and races were simplified as springs.The impact force related to rotating speed was in troduced into the dynamic model as a motion parameter.The formula for impact force containing the parameter rotating speed was derived.The numerical solution to the non-linear vibration equation was obtained using Runge-Kutta method.The numerical results for 6204 deep groove type ball bearings with inner race faults were obtained with the proposed model and compared with test results.The results showed that the proposed dynamic model considering impact force can be used to effectively predict fault frequencies and amplitudes for rolling element bearings’ fault vibration signals.

rolling element bearing; dynamic model; impact force; rotating speed; fault diagnosis

国家自然科学基金(51175102)；中央高校基本科研业务费专项资金(HIT.NSRIF.201638)

2015-06-05修改稿收到日期：2015-08-16

黄文涛 男，博士，副教授，1974年生

TH17

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.021