一类p次方型差分系统解的性态研究

母易，于昊天，张德存

（海军航空工程学院基础部，山东烟台264001）

一类p次方型差分系统解的性态研究

母易，于昊天，张德存

（海军航空工程学院基础部，山东烟台264001）

文章研究了一类p次方型差分系统解的性态。运用数学归纳法、极限思想研究了0＜a≤1，a＞1时系统解的性态，证明了系统全局吸引子、有界持久性、非振动解的收敛性等有关结论。

差分系统；子列；极限

文献［5-6］在解决了这一猜想的基础上，进一步思考，证明了解的持久性、振动性等相关问题。近年来，有关差分系统的研究逐渐引起了越来越多的人的关注，参见文献［7-14］。文献［15-18］在研究差分系统时运用了极限思想、不等式、数学归纳法等方法，值得本文借鉴。受上述文献的启发，本文研究差分系统：

运用迭代、极限的性质以及子列等知识，研究了该差分系统的全局吸引子、有界持久性、振动性等解的性态。

1　主要引理

证明：由平衡点的定义得：

引理证毕。

引理2：若1＜p＜2，则对于任意的y＞0，有yp-1-y-1＜0。

证明：设f（y）=yp-1-y-1，对f（y）求导数有

引理证毕。

引理3：若a≤1、p＞1且x-1≥y0、y-1≥x0，则系统（1）的正解满足x-1≥y0＞x1＞y2＞x3＞y4＞…、y-1≥x0＞y1＞x2＞y3＞x4＞…且。

证明：由系统（1）有：

因此，

显然，x-1≥y0＞x1＞y2＞x3＞y4＞…，y-1≥x0＞y1＞x2＞y3＞x4＞…。

由引理1可知m=n=0。

引理证毕。

2　主要定理

定理1：若a≤1，1＜p＜2，则平衡点x¯=y¯=0是系统（1）的全局吸引子。

假设x-1＜y0≤x1≤y2≤x3≤y4≤…且y-1＜x0≤y1≤x2≤y3≤x4≤…。

由系统（1）有：

由引理2有：

因为x-1＜y0≤x1≤y2≤x3≤y4≤…且y-1＜x0≤y1≤x2≤y3≤x4≤…。

所以，当n为奇数时：

将式（2）分子中的xn-1，式（3）分子中的yn-1分别用式（1）替换，从而将式（2）、（3）变形，得：。即数列的偶数项是有界的。

这与引理1矛盾。

n为偶数时同理可证。

所以，x-1＜y0≤x1≤y2≤x3≤y4≤…不成立，y-1＜x0≤y1≤x2≤y3≤x4≤…也不成立。

即：一定存在M、L（假设M、L为奇数，M、L为偶数的情况类似可证），使得xM＞yM+1、yL＞yL+1。

定理证毕。

定理2：若a＞1，1＜p＜2，则系统（1）的所有正解都是有界持久的。

由系统（1）有：

由引理2有：

由引理2有：

根据式（4）～（7），由数学归纳法可知：

下面证明是不可能的，即的情况类似可证）。

由不等式（8）、（9）可知：

由式（10）、（11）可知：k是大于1的整数。

由系统（1）有：

由数学归纳法可知：

由系统（1）有：

由数学归纳法可知：

因此，当n2＞n1时，xn2+1＞yn2。

取M=max｛n2，n3｝，则当M＞n1时，xM+1＞yM，yM+1＞xM。

所以数列｛xn｝的奇数项和偶数项都是单调增加的，数列｛yn｝的奇数项和偶数项也都是单调增加的。这与矛盾。

综上，系统（1）的所有正解都是有界持久的。

定理3：若a＞1，1＜p＜2，则系统（1）的所有非振动解都收敛到平衡点x¯=y¯=a-1。

由系统（1）有：

由数学归纳法可知，当n＞n4时

。

取M=max｛n5，n6｝，则当M＞n4时，xM+1＜yM，yM+1＜xM。

所以，数列｛xn｝的奇数项和偶数项都是单调减少的，数列｛yn｝的奇数项和偶数项也都是单调减少的，且xn＞、yn＞。根据单调递减有下界的数列必有极限可知：。

定理证毕。

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Research on the Characteristics of Solution of ap-times Difference System

MU Yi，YU Haotian，ZHANG Decun
（Department of Basic Sciences，NAAU，Yantai Shandong 264001，China）

In this paper，a p-times difference systemwas studied.The method of induction and limitation was applied to study the characteristics of solution of the system with0＜a≤1，a＞1.Furthermore，some conclusions were gotten about global attractor，permanent，non-oscillatory solution.

difference system；subsequence；limitation

O241.84

A

1673-1522（2016）03-0390-05DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.016

2016-03-05；

2016-04-15

母易（1992-），男，硕士生。