不定积分中分部积分法的新探究

刘芳

摘要：分部积分法是求不定积分的常用方法，但是学生在应用的过程中遇到很多问题。本文在深入分析不定积分公式的基础上，模糊其中函数u、v的定义和选择问题，根据被积函数自身的特点寻求其更简洁、灵活的使用方法。最后结合例题帮助学生更好地掌握分部积分公式。

关键词：不定积分；分部积分公式；微分

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）47-0200-02

高等数学是所有高等学校的一门必修课，而微积分是高等数学中的重要内容。不定积分研究的是与微分运算正好相反的问题：求一个可导函数，使它的导函数等于已知的函数。不定积分是微分运算的逆运算，是微分学和积分学的联系纽带。求不定积分的常规方法包括直接积分法、换元积分法和分部积分法，其中的分部积分法是教学过程中的一个难点。

分部积分法是利用微分公式d（uv）=udv+vdu，推导得到了分部积分公式udv=uv-vdu[1].因此，当udv不容易直接积出，而vdu较为容易求出时，可以采用分部积分公式作为转换。一部分教材[1，2]指出分部积分法的关键是要正确地选择u和v，选择时应兼顾如下两点：（1）dv容易求出；（2）vdu要比udv容易积出。但是，这样的描述比较笼统。还有一些教材[3]列举了一些常用的选择方法，如当被积函数为幂函数和指数函数相乘时，选择幂函数为u；当被积函数为幂函数和对数函数相乘时，选择对数函数为u；当被积函数为幂函数和反三角函数相乘时，选择反三角函数为u；文[4]将基本初等函数分为“低、中、高”三类，用“低等服从高等”的思路来解决u、v的选择问题；文[5]、[6]则总结出一套“口诀”，这样都需要学生死记硬背，不易于学生的理解和掌握。

本文将以例题的形式进一步分析分部积分公式，不再局限于函数u、v的定义和选择，而是将被积函数进行分类，根据被积函数的特点来进行u、v的设定，进而让学生能够灵活使用分部积分法进行不定积分的计算。

一、类型一：可降幂型

此类型的被积函数为幂函数与指数函数或三角函数的乘积。此时，一般将幂函数设为u，指数函数或三角函数则为dv.这是因为应用分部积分公式之后，幂函数通过微分后次数降低一次，使得转换后的不定积分较容易求积出。

二、类型二：直接型

此类型的被积函数为分对数函数或反三角函数（即不能直接积分的函数）与其他函数（即能直接积分的函数）的乘积。此时，将分对数函数或反三角函数设为u，其他函数则为dv.

三、类型三：循环型

此类型的被积函数为指数函数与正弦（或余弦）函数的乘积。此时，需要使用分部积分公式两次才能找到原函数。任意设定其中一部分函数为u，其他函数则为dv.分部积分两次后会还原到原来的函数，只是系数有一些相应的变化。因此，等式两边就含有系数不同的同一积分。

一元函数的不定积分是微积分中的重要知识点，对定积分的学习有非常重要的作用。教师通过对函数的类型、性质等的细致观察、理解和分析，可以培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而有助对于学生创新能力的培养。本文针对不定积分中的分部积分法，通过对被积函数类型的分析将其分为三类：降幂型、直接型和循环型，简化计算过程，帮助学生合理、有效地使用分部积分公式。

参考文献：

[1]祁爱琴，邵珠艳，胡西厚.医用高等数学[M].北京：科学出版社，2013：77-97.

[2]王培承，祁爱琴，魏曼莎.医科高等数学[M].济南：山东人民出版社，2010：76-98.

[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：184-222.

[4]范梅.不定積分的分部积分法探究[J].西安航空学院学报，2015，33（1）：66-68.

[5]胡结梅，郑华盛.不定积分计算方法注记[J].高等数学研究，2014，17（6）：10-13.

[6]朱孝春.一元函数不定积分中换元积分法与分部积分法的教学研究[J].数学教学研究，2011，30（11）：51-53，56.