从高考数学题探讨数学不等式教学

胡芳府

摘 要：不等式是高中数学教材中的核心内容之一，在平常生活中也得到广泛应用，因此频繁地出现在历年高考试卷中，且试题形式多样。多年来，在高考的试题中，对于不等式的考查主要锻炼和检测高中学生的抽象逻辑思维能力以及观察、分析、探索及归纳演绎能力，在难度上属于中等偏上的水平，因此是高考考查的重点题型。本文在观察分析近年来北师大版高考数学试题的基础上，通过一系列深入的分析，对不等式的教学提出了一些学习建议，以供参考。

关键词：数学高考；不等式教学；教学探讨

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 B 【文章编号】 1671-8437（2016）01-0005-02

1 不等式在高中数学中的重要性及相关教学策略

1.1 不等式在高中数学中的重要性

高中不等式知识点是在高中数学课本（北师大版）必修5第3章，是在三角函数、平面向量等知识点的基础上对不等式的进一步拓展，可以看到不等式应用的综合性。

不等式与函数、方程、数列、三角函数、算法等都具有紧密的联系，是解决以上问题的重要数学工具。比如在给定的条件下求函数的定义域值域问题时、在一定参数下求方程根的数量时、在一定条件下求根的存在性时、求数列有无最值的情况时等等，在求解这些问题时都需要应用到不等式。不等式是集合、函数、数列、三角、方程、解析几何等知识点的交叉处，在整个高中数学中都有很多的应用。

在学习不等式的过程中，学生可以养成良好的数学素养，培养出良好的数学思想。不等式的学习涉及到数形结合思想、函数与方程的思想、归纳演绎思想、分类转化思想等，在学习这些思想的同时能对其他数学知识点的学习有很大的帮助。

1.2 高中不等式教学的一般策略和方法

目前针对高中数学不等式教学策略的研究主要出现在一些硕士博士的毕业论文中，韩瑞在《高中数学新课程中<不等式选讲>专题的有效教学策略研究》中提出“把握教学要求，抓住教学重点”以及“重视不等式几何意义的教学，引导学生认识不等式本质”等方法，取得了不错的教学效果；刘国平撰写《高中数学不等式必修课程教学的实践与探索》中也为不等式的教学提供了教学时间安排和大量的教学案例，并论证了知识点学习的先后问题。

2 高考中涉及不等式的试题分析

近几年江苏省、安徽省、陕西省等学习北师大版数学教材的考取中涉及不等式知识点考查的重点内容有：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式的求解、不等式的证明（比较法、综合法、分析法）算术-几何平均不等式与柯西不等式、利用不等式求最大（小）值、运用数学归纳法证明不等式，我们以安徽省2015年高考理科数学试卷中涉及的不等式知识点为例，分析高考数学试卷中不等式知识点的考查特点。

例2（2015安徽卷-理15） 设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）

（1） a=-3，b=-3 （2） a=-3，b=2

（3） a=-3，b>2； （4） a=0，b=2；

（5） a=1，b=2

解：设函数f（x）=x3+ax+b，则f′（x）=3x2+a

当a≥0时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增，则肯定有一个实根存在，（4）和（5）正确。

当a<0时，（1）（2）（3）选项中a=-3，此时，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），函数f（x）的极值为f极大（x）=f（-1）=b+2， f极小（x）=f（1）=b-2，在仅有一个实根的情况下， f极大<0或f极小>0，此时，b<-2或b>2。

综上，答案应选（1）（3）（4）（5）。

通过以上的高考数学真题，我们可以看到，高考试卷中对有关不等式知识点的考查一般不会单独出题，都是和其它的知识点一起出现。在题型上，对不等式知识点的考查一般都会出现在选择题、填空题和解答题上，难度适中，其中解答题的难度较大些。

3 针对高考的高中不等式教学策略分析

通过对高考数学考纲的解读以及对近几年高考数学真题中涉及不等式试题的分析，我们会发现，高考的考试内容越来越趋近于向解决生活中的实际问题的方向发展，知识点与生活的联系越来越密切，为此我们应当在对学生的运算求解能力、抽象概括能力、空间想象能力、数据处理能力、推理论证能力培养的同时，针对不等式各部分的教学内容和考点，本文构建了如下的教学策略：

（1）注重生活中实际问题的解决。在教学过程中，设置大量生活中的实际例子来教授知识点，这样既能激发同学学习兴趣，又能培养他们解决问题的能力。

（2）注重各个知识点之间的联系。以点带线，以线带面，把数学的各个知识点系统的总结在一起，以思维框图的记忆模式在真正理解的基础上记忆知识点，既能做到举一反三，又能延伸其内涵。如在学习数列的知识点时，可以带入不等式的知识点，求解数列的最值问题。

（3）注重培养学生的推理能力。在一层一层的推理过程中提高其计算能力和解题能力，在老师授课的过程中可以引导学生推导数学课本中的一些重要的不等式，如柯西不等式等；

4 结论

本文通过对不等式的重要性以及不等式的教学策略的研究，论述了不等式教学的重点和一般的教学策略及方法，然后进行实例的分析，最后论述了针对高考不等式出题特点的教学策略。不等式所具有的巨大实用性必定使不等式在以后的高考中占据越来越重要的地位，为此，教师在不等式教学的过程中需要不断的调整教学的策略，以更好的适应高考教学的变化。

参考文献：

[1] 李建华.波利亚的“问题解决”理论及其发展[J].数学通报，2009.

[2] 金彪.多元智能理论下的高中数学课堂教学[J].数理化学习，2011.