随机事件及其概率的理解中易混淆的几个概念

张坤

摘 要：随机事件及其概率是概率论中最基本、最重要的内容之一，在几乎所有的教材或教学参考书中都会出现关于事件的关系及运算、事件概率的性质的引入与证明，在教学过程中老师虽然都能完整地讲解并应用举例，但常会忽略其中知识点的联系和差异，从而导致学生混淆知识点并产生错解。通过对这几个概念的实例分析和错解根源的追寻，提出了精准把握随机事件及其概率中易混淆的几个概念的要点。

关键词：随机事件；事件概率；概念；问题举例

【中图分类号】 G642.45 【文献标识码】 B 【文章编号】 1671-8437（2016）01-0004-02

1 问题举例及分析

在随机事件及其概率的学习中老师和学生常常会忽略知识点间的联系和差异，从而导致混淆及错解，下面举例说明。

例1 判断对错：若P（A）=0，则A是不可能事件。（ ）

分析：虽这是一道判断题，但在处理过程中特别容易出错而且还不自知。错误做法是：若P（A）=0，则A=Φ，即A是不可能事件，此题正确。错误原因：此题考查的是不可能事件与零概率事件的关系，学生将两者混淆。题目的正确提法应该是：由于A是不可能事件即A=Φ，则P（A）=0，也就是说不可能事件是事件概率为0的充分非必要条件。在学习过程中，师生都很难把握这一条性质，想要证明以上性质的正确性，充分性在概念的讲解中已然明显，但非必要性一定要通过举反例进行证明，这里给出一个反例：若X为[0，1]上的均匀分布，令B=″X在[0，1/2]之间取值则″，C=″X在[1/2，1]之间取值″，则A=B∩C={X=1/2}，由于均匀分布是连续型的分布，则随机变量取某一个特定点处的概率恒为0，即P（A）=P{X=1/2}=0，但事件A并不是不可能事件，因为A={X=1/2}。

例2 判断对错：事件A、B互不相容，则事件A、B相互独立。（ ）

分析：这也是一道判断题，在处理过程中学生几乎不知从何下手，错误判断为此题正确。错误原因：些题考查的是互不相容（互斥）事件与相互独立事件的关系，学生不能很好的区分两者的概念点。题目的正确分析：首先要明确事件A、B互不相容是指A、B不能同时发生，即A∩B=Φ；事件A、B相互独立是指A、B的发生地彼此发生没有影响，即P（AB）=P（A）P（B），从定义上可以看出两个概念间彼此是没有直接的导出关系的。如果非要说明互不相容与独立之间的联系，那就是互不相容事件不一定是相互独立事件，相互独立事件也不一定是互不相容事件。我想可以从以下两个方面来说明：第一，当A、B中至少有一个是不可能事件时，则A、B互不相容与A、B相互独立是等价的；第二，当A、B都不是不可能事件时，若A、B互不相容，则事件A、B一定不是相互独立事件（因为A发生B就不发生，A对B的发生有影响），若A、B为相互独立事件，则A、B一定不是互不相容事件（因为A对B的发生或B对A的发生无影响，故A、B可以同时发生）。

2 错解及原因分析

以上是关于随机事件及其概率这一部份的两个例子，虽是客观判断题，但在实际教学中老师和学生都常常忽略客观判断题产生错误，原因总结起来有三个方面：

第一，对随机事件间的关系及运算的概念，对随机事件的概率的定义和性质理解不准确。一般地，随机事件间的关系（类比集合间的关系）有包含、相等和（并）、积（交）、差、互不相容（互斥）、对立、完备事件组，事件的运算规律有交换律、结合律、分配律、自反律、对偶律（De Morgan定理），其中特别要注意差事件，互不相容事件和对立事件的定义理解。以上两个例子都考查了对互不相容事件的理解，而随机事件的概率的定义有两种，一种是统计定义，一种是公理化定义，通过公理化的定义，我们能得到事件概率的几条性质，这些性质是解决概率论问题的基础。另外事件的独立性是对随机事件中条件概率的一个有力补充，所以以上概念的精准理解对于避免错解尤为重要。

第二，单独理解随机事件间的关系及运算的概念，随机事件的概率的定义和性质还远远不够，要知道随机事件及其概率是一个知识单元，当中的知识点是有相关联系和差异对比的，如何将它们进行联系和对比理解，这才是知识学习的关键。如以上两个例子，我们不仅要做到解题正确，还要认识到错解及问题所在。联系与对比理解这一学习方法是解决概率论中问题的很好方法。

第三，在本专科的概率论学习中，大部份教学的重难点都侧重在理论对于应用的充分理解中，但对理论本身知识体系的理解不够深刻。例如在以上两个例子所涉猎的知识点的考查过程中，一般都会偏向对于古典概型和条件概率的应用（全概率与贝叶斯），所以回归知识点本身，正确精准理解概念和性质，再将其应用于实际，这才会减少错解。

参考文献：

[1] 吴赣昌.概率论数理统计（理工类 简明版）[M].第四版.北京：中国人民大学出版社，2011：3-24.

[2] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第四版.杭州：浙江大学出版社，2010.

[3] 刘次华，万建平. 概率论与数理统计[M].第一版.北京：高等教育出版社，1999.

[4] 张建华.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.