高等数学中利用辅助函数证明不等式的几种方法

沈秀娟

摘 要：高等数学中证明不等式的方法多种多样，而且有些题目适合一题多解.常用的方法有：比较法、反证法、判别式法等.本文从构造辅助函数出发，利用拉格朗日定理和函数的单调性，对于不等式的证明做了较系统的归纳和总结.

关键词：拉格朗日定理；单调性；不等式；辅助函数

在高等数学的学习过程中，不等式的证明是一个重点和难点，大多数人在遇到不等式证明的问题是就不知所措，对不等式的证明，常用以下情形证明不等式，如：拉格朗日中值定理法、Taylor展开式公式法、泰勒中值定理、极值法、定积分的一些性质等.本文以作辅助函数为出发点，对不等式的证明做了一下探讨.

一、用拉格朗日中值定理构造函数证明不等式

该定理证明不等式的关键是构造适当的函数和闭区间[a，b]，使得：

（一）要证不等式的一部分可以写成或；

（二）在上满足拉格朗日公式的适当放大或缩小，即可证出要证明的不等式.

二、用函数的单调性构造函数证明不等式

构造辅助函数，取定闭区间；

构造辅助函数方法：

1、利用不等式两边之差构造辅助函数；

2、利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；

3、若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.

（一）利用不等式两边之差构造辅助函数

（二）利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数

（三）利用公式法构造函数

三、结论

不等式的证明在整个数学学习中占有舉足轻重的作用，是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要内容.不等式的证法多种多样，针对本文所存在的局限性，在以后的学习中一定注重题型的复杂多变形，把问题简单化，找到合适的解决方法.本文从构造辅助函数为出发点，把题目变形整形，利用拉格朗日定理和函数单调性，对于不等式的证明给出了系统的归纳和总结，然后找到最简洁的证明方法.该方法对不等式的证明具有极其重要的意义，对学生在证明不等式时选择恰当的方法有一定的指导作用.

参考文献：

[1]郭大钧，陈玉妹.数学分析[M].山东科学技术出版社，2005，35-38.

[2]王晓锋，李静.证明不等式的若干方法[J].数理医学杂志，2008.

[3]田玉伟.微积分在解方程和不等式中的应用[J].长江大学学报，农学卷，2009.

[4]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995.

[5]叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研究，2005，10（3）：89-91.