初学者如何突破乘法公式的应用

□安徽省六安市清水河学校　王梧　代少国

初学者如何突破乘法公式的应用

□安徽省六安市清水河学校王梧代少国

乘法公式是初中段数学所要学习的重要内容之一，它对后续知识的学习有着重要的影响。而初学者在应用这个公式时常会感到困难，进而出现差错。根据在教学过程中的实际经验，学生只要能从正确认识公式的本质特征，形成固定的处理习惯，运用好整体思想和巧用积的乘方公式等方面着手，就可以有效地提高乘法公式的运用能力。

初学者乘法公式应用能力

在新沪科版教科书中乘法公式的学习是安排在七年级下册的第八章第三节进行的。公式的导出是应用多项式的乘法直接得出的，并以几何图形中面积关系给予直观解释，这是一个由一般到特殊的认识过程。笔者曾在偏远的农村初中工作数年，在教学中通过课堂观察和检测，发现不少初学该知识的学生，虽能熟记乘法公式，但对公式的结构特征认识不清，更难以娴熟地去应用该公式。就此笔者结合自己的教学经历，浅谈一下如何突破乘法公式的简单应用，希望能对初学者有所帮助。一方面，这是在学习了整式的加、减、乘、除的基础上，对多项式乘法的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习“因式分解”、“配方法”等知识奠定了基础，是进一步研究一元二次方程、二次函数的工具性内容，不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一、抓住结构特征，认清公式本质

从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维能力有待培养，从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展，所以在教学中应抓住这些特点，以方便学生直观形象把握完全平方公式结构特征。

从认知状况来说，学生在此之前已经学习了多项式乘法法则的探索过程，对“完全平方公式、平方差公式”已经有了初步的认识，为顺利完成教学任务打下了基础，但对于“完全平方公式、平方差公式”的理解，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白、深入浅出的分析，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，让学生掌握公式的本质。

1.两个多项式相乘时，如果第一个多项式的每一项都与第二个多项式每项相同或符号相反时，则可以选用公式

通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、猜想、发现、归纳、概括等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力。

2.多项式乘多项式时，如果第一个多项式的部分项与第二个多项式的部分项相同，剩余项与第二个多项式的剩余项的符号不同时，则选用平方差公式，如（x-2y）（-x-2y）=（-2y+x）（-2y-x）=（-2y）2-x2=4y2-x2。

3.当一个多项式与另一个多项式的项数不同，同类项的系数绝对值不等，或字母及其指数不能对应相等时，不能使用乘法公式，如（x-2y）（2x+y）不能使用乘法公式。遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。

二、形成科学的处理方法，避免符号差错

《新课标》指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。这些都需要学生具备一定的自我表达能力作为前提。让学生自己探索发现公式的特点，对于公式中一些符号问题学生就会熟练掌握，迎刃而解。

例1.用乘法公式计算（-2x+3y）2。

解法一：原式=（-2x）2+2（-2x）3y+（3y）2=4x2-12xy+9y2

解法二：原式=（3y-2x）2=（3y）2-2（3y）2x+（2x）2=9y2-12xy+4x2

例2：用乘法公式计算（-2x-3y）2

解法一：原式=（-2x）2-2（-2x）3y+（3y）2=4x2+12xy+9y2

解法二：原式=［-（2x+3y）］2=（2x+3y）2=4x2+12xy+9y2

本两例中两种解法，无论哪种解法，关键是由中间的“+”或“-”号决定了在（a+b）2和（a-b）2这两公式中选用哪一个。在本例两种解法中，解法二不易出符号的差错，故建议选用第二种解法为宜。要解决好这个问题，需注意两方面：（1）初学者不要过多地跳步；（2）要形成自己科学的处理习惯，避免在符号上出错。教师务必进一步发展符号感和推理能力，使学生熟练技能、掌握方法、形成能力，发展积极向上的情感体验，获得终身发展的学习动力，培养数学建模的思想。

三、掌握好“整体思想”在该知识上的应用

整体思想是在研究和解决有关数学问题时的一种常用方法：通过研究问题整体结构特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性。在初中数学中的数与式等方面，整体思想都有很好的应用，在提高学生的思维能力和创新意识方面具有独特的作用。用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程。同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功。如在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系地看；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力。教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行学法指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质。

例3.（1）（2a+b+1）（2a+b-1）=［（2a+b）+1］［（2a+b）-1］

（2）（a-2b-3）（a+2b+3）=［a-（2b+3）］［（a+（2b+3）］

“整体思想”是初中数学中重要的思想方法。本例中可将分别在两个三项式中对应符号相同的项，放在每个三项式的前面视为整体用括号括起来。作为公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，其余的项放在后面括起来作为。或将分别在两个三项式中对应符号不同的项，放在每个三项式的后面视为整体用括号括起来，作为公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的b，其余的项放在前面括起来作为a。如例3（1）中将（2a+b）视为公式中的a，例3（2）中将（2b+3）视为公式中的b。

学生在解题中，要把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解。

四、巧用积的乘方公式

学生解题时运用积的乘方公式，也是为了引导学生回忆巩固前面的知识。积的乘方公式的理解及应用，首先要让学生理解这个公式，而要让学生理解这个公式，就要让学生理解积的乘方的含义，这也体现了数学知识的互相联系。

例4.（a-2b）2（a+2b）2=［（a-2b）（a+2b）］2=（a2-4b2）2= a4-8a2b2+16b4

乘法公式在初中数学中有着重要的地位和广泛的应用，这有点像“九九乘法表”在小学数学中的地位。正如此，所以在刚开始学习这部分内容时，就不能一知半解，含混过关，而需要正确地理解，并能娴熟地应用各公式。对于初学者来说，要想达到这种要求就可以结合本文所提到的几点，在解题和应用的实践过程中注意观察，勤于思考，多做总结，就可以有效地提高自己应用乘法公式的能力。

总之，只要学生真正认清公式的本质特征，形成科学的处理方法，运用好整体思想和巧用积的乘方公式等方法，在解题时，克服“思维定势”的影响，通过辨析、学会分析可以帮助学生加深对此公式的正确认识，加之灵活运用，观察、探究、归纳等方法，就能有效地提高乘法公式的运用能力。