线性时滞多智能体系统多类型拓扑切换下的一致性

张亚霄，陈阳舟，曲晓俊

（北京工业大学城市交通学院交通工程北京市重点实验室，北京 100124）

线性时滞多智能体系统多类型拓扑切换下的一致性

张亚霄，陈阳舟，曲晓俊

（北京工业大学城市交通学院交通工程北京市重点实验室，北京 100124）

针对带有时变时滞协议的连续时间线性高阶多智能体系统在多类型有向通信拓扑切换下的一致性问题进行研究.考虑多智能体系统在可一致与不可一致通信拓扑之间进行切换的情况.通过一个线性变换将该一致性问题等价地转化为一个切换时滞系统的稳定性问题.基于切换系统稳定性理论与时滞系统理论，利用平均驻留时间方法分析，以线性矩阵不等式（linear matrix inequalities，LMIs）的形式给出多智能体系统达到状态一致的充分条件.数值实例验证了理论分析所得结论的正确性.

多智能体系统；有向切换通信拓扑；时变时滞；线性矩阵不等式；平均驻留时间

近年来，随着通信、网络以及计算机技术的发展，多智能体系统被越来越广泛地应用于军事、交通等领域.在分布式协调控制中，为完成共同目标，智能体之间相互影响并且最终在某些个体状态上达成一致，称为一致性问题［1］.

在实际应用中，智能体之间的通信拥堵或者有限的传输距离会导致通信时滞.通信链路断开或重连情况会导致通信拓扑结构发生变化，出现切换通信拓扑的情况.基于低阶带有通信时滞和切换拓扑的多智能体系统一致性问题的研究已经取得了丰硕的成果［2-3］.

然而实际应用中智能体的运动方程有时需要高阶动力学模型来刻画.对于高阶连续系统，文献［4］基于强连通平衡图，利用Lyapunov-Krasovskii定理以线性矩阵不等式（linear matrix inequalities，LMIs）的形式给出带有多常时滞高阶多智能体系统平均一致性的充分条件.对于高阶离散系统，文献［5］基于图论得出当通信拓扑的并集存在一个有向生成树时，带有多时滞的多智能体系统在切换拓扑下达到一致的充分条件.

然而，少有文献考虑通信拓扑的切换过程对多智能体系统一致性产生的影响.文献［6］基于无向通信拓扑，利用平均驻留时间切换方法给出带有相同时变通信时滞的多智能体系统在切换拓扑下达到一致（同步）的充分条件.文献［7-8］针对无通信时滞的多智能体系统，研究了系统在可一致有向通信拓扑之间进行切换的情况，并得出当切换信号分别满足平均或动态驻留时间条件时系统可以达到状态一致的结论.

但是实际应用中，通信拓扑切换过程中可能会出现短暂的不可一致通信拓扑（例如，通信拓扑中不存在有向生成树）的情况.本文基于文献［10-11］研究带有相同时变时滞并且通信拓扑在一个同时包含可一致拓扑和不可一致拓扑的集合内进行切换的情况.首先通过一个线性变换，将带有时滞的多智能体系统在切换通信拓扑下的一致性问题等价地转化为对应的切换时滞系统的稳定性问题，基于满足平均驻留时间方法和时间比率条件的切换信号，运用自由权矩阵的方法得出的多智能体系统一致性的充分条件并以LMIs的形式表示.

在本文中，令IN表示N阶单位矩阵，⊗表示矩阵或向量的Kronecker积，1N表示所有元素均为1 的N维列向量.

1　问题描述

考虑一个多智能体系统

式中:xi∈R Rn和ui∈R Rm分别为第i个智能体的状态和控制输入（协议），I=｛1，2，…，N｝是智能体的指标集，A∈R Rn×n和B∈R Rn×m分别为系统矩阵和输入矩阵，假设（A，B）可镇定.

多智能体系统（1）的通信拓扑N（t）可用动态有向图G（t）=（V，E（t），W（t））来表示，其中顶点集V=I中的元素代表智能体.边集E（t）⊆V×V中的元素表示智能体之间的通信链路.定义智能体i邻居的集合Ni（t）=:｛j∈V:（j，i）∈E（t）｝，通信拓扑N（t）=｛Ni（t），i∈I｝.加权邻接矩阵W（t）=: ［wij（t）］N×N，其中矩阵元素wij表示智能体j向智能体i传输信息的通信权重.

考虑如下一致性协议［3］:

式中:K（t）∈R Rm×n为反馈增益矩阵；d（t）为时变时滞.考虑如下情况的时滞.

假设1 0≤d（t）≤т且|d·（t）|≤δ＜1，其中т 和δ是已知常数.

定义1 称系统（1）在协议（2）下达到渐近状态一致，若对于任意给定的初始状态，均有

定义2 一个固定的通信拓扑N称为可一致的，若存在形如（2）的协议，使得系统（1）在N上可以达到渐近状态一致.否则N不可一致.

假定系统（1）可能出现的通信拓扑是有限的，不失一般性，设共有M个通信拓扑，其中M1个可一致，M2个不可一致，M=M1+M2，即N（t）∈｛Nk，k∈M=｛1，2，…，M｝｝，M=M-∪M+.本文考虑满足如下条件的通信拓扑.

假设2 通信拓扑N（t）在集合｛Nk，k∈M｝内切换，其中｛Nk，k∈M-｝中所有通信拓扑可一致，而集合｛Nk，k∈M+｝中所有通信拓扑都不可一致.

协议（2）下系统（1）可以用如下切换系统表示:

式中:x=［xT1…xTN］T∈R RNn；φ（θ）为连续可微的初始条件函数.切换信号σ（t）:［0，+∞）→M是一个分段常值函数，用于描述通信拓扑N（t）的切换规律，即N（t）=Nk⇔σ（t）=k.假定在任意有限时间区间内通信拓扑N（t）只有有限次切换.对任意给定的切换信号σ（t），定义切换序列｛（t0，k0），（t1，k1），…，（tr，kr），…，|kr∈M，r=0，1，…｝，其中σ（tr）=kr，即当t∈［tr，tr+1）时，系统（1）的通信拓扑为Nkr.Lσ（t）∈R RN×N是通信拓扑 Nσ（t）的加权Laplacian矩阵，它的元素为

本文研究目的是当智能体之间的通信链路变化时，针对通信拓扑N（t）满足假设2的情况，研究切换信号σ（t）需要满足怎样的条件才能通过协议（2）使系统（1）达到渐近状态一致.由于并非所有的切换信号都能使得系统（1）在切换拓扑下达到状态一致，因此考虑一类满足如下平均驻留时间条件的σ（t）.

定义3［11］对任意时刻t2＞t1≥0，令Nσ（t1，t2）为切换信号σ（t）在时间间隔（t1，t2）内的切换次数.对于给定的Ta＞0和N0≥0，若

成立，则Ta称为切换信号σ（t）的平均驻留时间，N0为其抖振上界.Sa［Ta，N0］表示所有满足条件（4）的切换信号集合.

下面通过一个线性变换将带有切换通信拓扑N（t）和时变时滞的系统（1）在协议（2）下的一致性问题等价转化为一个切换时滞系统的稳定性问题.应用切换时滞系统稳定性理论得出在满足平均驻留时间切换和时间比率条件的切换信号σ（t）下，通过协议（2）系统（1）达到渐近状态一致的充分条件.

2　线性变换

其中

考虑如下线性变换［9］:

通过线性变换（5），系统（3）变为线性系统

令

由于Cσ（t）=Dσ（t）=0，系统（7）与变量z无关，可以写成

定义4［11］如果存在δ＞0，c＞0，α＞0，当初始条件满足‖y（θ）表示2-范数）时，系统（8）的解满足‖y（t）‖≤c‖y（θ）‖cle-αt，则称系统（9）在切换信号σ（t）下是指数稳定的.其中α称为系统（9）的衰减指数.

类似于定义4可定义切换系统（8）的第k（k∈M）个子系统满足的衰减指数αk和α+k.

类似文献［9］中引理2和定理1的证明过程，可得如下结论.

引理1 给定通信拓扑集｛Nk，k∈M｝和切换信号σ（t），通过协议（2），系统（1）达到渐近状态一致的充要条件是切换时滞系统（9）是指数稳定的.

给定连续函数V:［-т，+∞）×R R（N-1）n→R R+，

3　主要结果

当通信拓扑满足假设3时，分析系统（1）的通信拓扑在有限集合｛Nk，k∈M｝之间切换时，带有时变时滞的多智能体系统（3）达到状态一致的充分条件.

和满足

的常数μ≥1，使得

则对于满足平均驻留时间条件

证明:由引理1可知，仅需要证明切换时滞系统（8）是渐近稳定的.当k∈M-时，选取如下分段Lyapunov函数:

当k∈M+时，选取如下分段Lyapunov函数:

对于带有恰当维数的任意矩阵Xk=XTk≥0，有

当t∈［tr，tr+1］时，令σ（t）=k，有

即当t∈［tr，tr］时，有

由式（12）（24）可得

由式（4）（10），有

于是，可得

因此，在满足式（10）（16）的切换信号下，切换系统（8）是渐近稳定的.证毕.

定理2 如果存在n（N-1）×n（N-1）维的矩阵Pk=PTk＞0，Qk=0，Rk=RTk＞0，Yik（i=1，2，3），Zik（i=1，2），恰当维数的矩阵（11）和满足式（12）的μ≥1，不等式（13）～（15）成立.则对于满足式（10）（16）的任意切换信号σ（t）∈Sa［Ta，N0］，当通信拓扑N（t）在集合｛Nk，k∈M｝之间按照σ（t）切换时，通过带有时变时滞的控制协议（2），多智能体系统（1）达到渐近状态一致.

4　仿真实例

考虑系统（1）中

且存在3个通信拓扑:

不失一般性，设拓扑的各边权重为1，与通信拓扑相应的增益矩阵为

通信时滞d（t）=0.005（1-sin t），所以有т=0.01 和δ=0.005，满足假设1的条件.

由定义2和引理1可知，N1为可一致拓扑，N2、N3为不可一致拓扑.

当通信拓扑进行切换时，可以计算出 α-= 0.692，α+=0.106，μ=1.3，选取α=0.2，α*=0.4，根据式（10）（16）分别得到时间比率

和平均驻留时间

图1给出多智能体系统在拓扑N1、N2、N3按照如图2满足式（10）（16）的切换信号σ（t）下的状态变化曲线，此处取Ta=1.35和T-（t）/T+（t）=2.初始状态x（0）=［4 0 16 11 10 15 18 9］，可以看出多智能体系统在拓扑N1、N2、N3切换时仍可达到一致.

5　结论

1）利用文献［9］中应用于无时滞固定通信拓扑协议下多智能体系统时的线性变换，得出带有时变时滞和切换拓扑协议的多智能体系统一致性的一个充要条件.

2）找到一类满足平均驻留时间条件和时间比率条件的切换信号，给出带有时变时滞协议的多智能体系统在多类型拓扑切换下达到一致的充分条件，并以LMIs的形式表示.

［1］JADBABAIE A，LIN J，MORSE A S.Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48（6）:988-1001.

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［6］LIU T，ZHAO J，HILL D J.Exponential synchronization of complex delayed dynamical networks with switching topology［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers，2010，57（11）:2967-2980.

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［8］ZHANG Y X，CHEN Y Z，ALEKSANDROV A Y. Dynamic dwell-time condition of switching information topology for consensus of linear multi-agent systems［C］∥Proc of the 34rd Chinese Control Conf.Hangzhou:Chinese Association of Automation，2015:6918-6923.

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［11］LIBERZON D.Switching in systems and control［M］. Boston:Springer Science&Business Media，2003:21-61.

（责任编辑 吕小红）

Consensus of Linear Multi-agent System With Time-delay Under Multi-type Switching Topologies

ZHANG Yaxiao，CHEN Yangzhou，QU Xiaojun
（Beijing Key Laboratory of Transportation Engineering，College of Metropolitan Transportation，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

Consensus problem was studied for continuous-time linear high-order multi-agent system with time-varying delay under multi-type switching communication topologies under the case that the system switches between consensusable and unconsensusable communication topologies.This consensus problem was equivalently transformed into an asymptotic stability problem of a corresponding switched delay system by a linear transformation.Based on the stability theory of the switched systems and time-delay systems，a sufficient condition was presented by the average dwell-time method in terms of linear matrix inequalities（LMIs）to guarantee the consensus of the multi-agent system.The simulation result illustrates the effectiveness of the obtained results.

multi-agent system；directed switching communication topologies；time-varying delay；linear matrix inequalities（LMIs）；average dwell time

U 461；TP 308

A

0254-0037（2016）02-0184-06

10.11936/bjutxb2015080033

2015-08-17

国家自然科学基金资助项目（6141101096）；高等学校博士点专项科研基金资助项目（20111103110017）

张亚霄（1985—），女，博士研究生，主要从事多智能体协作控制、鲁棒控制方面的研究，E-mail:zhangyaxiao@ emails.bjut.edu.cn