基于瑞利法的多弹簧串联等效质量的确定

李立建，徐　音

(河南理工大学 万方科技学院，河南 郑州 451400)



基于瑞利法的多弹簧串联等效质量的确定

李立建，徐音

(河南理工大学 万方科技学院，河南 郑州 451400)

基于瑞利法求解质量-弹簧系统固有频率的分析思路与计算步骤.将工程实际问题中可简化为由质量块与多弹簧串联而成的质量-弹簧系统，通过采用瑞利法推导得到了其多个弹簧等效质量的解析计算公式.同时，以两弹簧串联等效质量的确定作为分析实例，对弹簧等效质量的理论计算公式进行了有效验证，并对两弹簧串联时两弹簧的等效质量与其自身质量两者的比值特性进行了分析研究.研究内容将为多弹簧串联其等效质量的确定奠定了理论基础，并且拓宽了瑞利法在工程实际中的应用范围.

瑞利法；固有频率；多弹簧串联；质量-弹簧系统；等效质量

对于由质量块与单个弹簧串联而成的质量-弹簧系统，计算系统固有频率时仅考虑质量块的质量对其的影响已能满足实际要求.但在一些弹簧质量相对于系统总质量不可忽略时，再不考虑弹簧质量在振动时所产生的动能，将导致计算结果相对于实际结果偏差较大.

基于此，瑞利于1873年通过将弹簧质量对系统固有频率的影响考虑进去，提出了一种求解单自由度系统固有频率的近似计算方法.随后，相关学者对质量-弹簧系统中的弹簧质量的等效质量进行了系统而深入的研究，同时，瑞利法也被应用于许多工程实际问题当中[1-2]，为系统固有频率的计算及结构设计与优化奠定了理论基础.梁兴雨等[3]通过将内燃机曲轴等效为连续分布的阶梯轴模型，基于瑞利法对高速内燃机曲轴的轴向振动进行了研究.李龙根等[4]采用瑞利法对引线键合系统关键部件压电微夹持器的抽象模型进行了动力学建模及优化，并将压电微夹持器柔性连接及支臂部分的质量对振动系统的固有频率的影响考虑了进去，从而得到了与系统固有频率更为接近的精确解.石元华等[5]通过结合邓柯莱法将瑞利法应用于某飞机结构成品件振动试验的振动夹具的设计当中，极大降低了结构设计的成本及计算时间.同时，对由质量块与单个弹簧串联而成的质量-弹簧系统振动周期求解项中关于弹簧等效质量确定的相关研究也很多[6-10]，这里就不一一赘述.

然而在实际的工程问题当中，可等效为质量-弹簧系统的工程结构或机械结构，并非仅是由质量块与单个弹簧串联而成的，当等效的质量-弹簧系统中弹簧的刚度系数是分段相等时，质量-弹簧系统则变成了由质量块与多弹簧串联组合而成，若此时仍采用单个弹簧的等效质量来计算系统的固有频率显然是不合适的.因而，本文以质量块与多弹簧串联而成的单自由度质量-弹簧系统为研究对象，在瑞利法求解质量-弹簧系统弹簧等效质量的基础上，对多弹簧串联时其等效质量的确定问题进行了研究，并结合两弹簧串联等效质量确定作为数值算例对多弹簧等效质量的确定进行了验证.

1　多弹簧串联等效质量的确定

图1　质量块和m个弹簧串联　　　　的等效模型

由图1可知，O1、O2、…、Om点的位移与系统广义坐标x之间的关系分别为：

(1)

由此可得到，弹簧1、弹簧2、…、弹簧m距固定端ξ处的位移为：

⋮

(2)

⋮

(3a)

(3b)

整个质量-弹簧系统的总动能为质量块和m个等效弹簧的动能之和，则整个质量-弹簧系统的总动能为：

(4)

在平衡位置处，质量-弹簧系统的动能最大，由式(4)可得，其最大动能为：

(5)

其中，弹簧1、弹簧2、…、弹簧m的质量分别为M1=ρ1l1、M2=ρ2l2、…、Mm=ρmlm.

整个质量-弹簧系统的最大势能为：

(6)

根据机械能守恒原理可知，Tmax=Umax，于是联立式(5)和式(6)可得：

(7)

式中，M1、M2、…、Mm分别为弹簧1、弹簧2、…、弹簧m的等效质量，且满足：

(8a)

⋮

(8b)

对于简谐振动，x=Asin(ωnt+φ)，振动的最大幅值xmax=A，最大速度νmax=Aωn，将其分别代入式(7)便可得到质量-弹簧系统的固有频率为：

(9)

上述分析是在假定系统为静变形时的振动形式，并且由式(8)所得m个弹簧的等效质量理论与实际相比，具有较高的求解精度，因而可用于多弹簧串联时弹簧实际等效质量的近似代替.

2　数值算例与特性分析

2.1 数值算例

下面以质量块与两弹簧串联而成的单自由度质量-弹簧系统为例，对上述理论推导过程进行验证，并对等效质量的特性进行分析.图2为质量块与两弹簧串联的等效模型.

图2　两弹簧串联的等效模型

由式(8)可知，当m=2时，弹簧1和弹簧2的等效质量可分别求得为：

(10)

令K2=ηK1，并令M1(η)=Me1/M1、M2(η)=Me2/M2，则式(10)可简化为：

(11)

从式(11)可见，两弹簧的等效质量与其自身质量的比值均与两弹簧刚度之间的比例系数η有关，而与两弹簧的长度无关.同时，从式(11)也可得到，当弹簧1和弹簧2的刚度系数相等时，即η=1时两弹簧的等效质量为：

(12)

当弹簧1和弹簧2的刚度系数、质量密度均相等时，即K1=K2和ρ1=ρ2=ρ，于是由式(12)可得到两弹簧总的等效质量为：

(13)

从式(13)所得的计算结果可知，当两弹簧满足上述条件时，所得到的等效质量与采用瑞利法计算得到的由质量块与单一弹簧组合而成的质量-弹簧系统弹簧的等效质量相同，可见，式(8)所确定的由质量块和多弹簧串联而成的质量-弹簧系统各弹簧的等效质量计算公式是正确的.

3.2特性分析

由上述分析和式(11)可知，两弹簧的等效质量与其自身质量的比值M1(η)与M2(η)均与两弹簧刚度之间的比例系数η有关，其中，比例系数η的取值在[0,+∞)之间.由此可得：比值M1(η)与M2(η)随比例系数η的变化曲线，如图3所示.

图3　比值M1(η)与M2(η)随比例系数η的变化曲线

从图3可见：当比例系数η较小时，也即是弹簧1的刚度系数远大于弹簧2的刚度系数时，弹簧1的等效质量几近于零，因而对质量-弹簧系统的固有频率影响甚微，可以忽略，且可以将其近似等效为刚度系数较大的刚体，这时对系统固有频率产生影响的主要是刚度系数较小的弹簧2，其等效质量为采用瑞利法计算由质量块与单个弹簧串联而成的质量-弹簧系统弹簧的等效质量相同，为其自身质量的1/3；当比例系数η较大时，也即是弹簧1的刚度系数远小于弹簧2的刚度系数时，弹簧1和弹簧2的等效质量分别接近与其自身质量的1/3和1，说明这时弹簧2可近似等效为刚度系数较大的刚体，对系统固有频率影响较大，而刚度系数较小的弹簧1对系统固有频率的影响的质量仅为其自身质量的1/3.同时，从图3还可看出，当比例系数η约在区间(1,40]范围内变化时，两者将共同对系统的固有频率产生影响.

4　结论

在瑞利法求解单自由度质量-弹簧系统的基础上，对由质量块与多弹簧串联而成的质量-弹簧系统中多个弹簧的等效质量进行了推导计算，得到了多个弹簧在刚度系数、密度、长度均不相等情况的理论计算公式.对两弹簧串联时两弹簧的等效质量与其自身质量的比值特性进行了探讨分析，发现该比值仅与两弹簧刚度之间的比例系数η有关，而与两弹簧的密度、长度无关.同时，通过分析发现：当两弹簧之间的刚度系数相差悬殊时，若刚度系数较大的弹簧位于固定端一侧时，对系统固有频率影响较大的是刚度系数较小的弹簧；反之，两者共同对系统的固有频率产生影响.

[1]孙洪涛, 刘元镛. 一个计算弹性矩形等厚板固有频率的近似公式[J]. 机械科学与技术, 1994(4)：37-44.

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[3]梁兴雨, 舒歌群, 张宝欢, 等. 基于瑞利法的内燃机曲轴纵向振动研究[J]. 中国机械工程, 2008, 19(6)：648-653.

[4]李龙根, 陈永刚. 基于瑞利法的压电微夹持器动力学建模及优化[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2014(7)：9-11.

[5]石元华, 邓俊, 田俊丰, 等. 采用邓柯莱法和瑞利法的振动夹具设计[J]. 重庆理工大学学报(自然科学), 2013, 27(9)：97-101.

[6]罗蔚茵. 关于弹簧振子固有频率的进一步讨论[J]. 大学物理, 1985(11)：9-11.

[7]黄兆梁. 质量-弹簧振子系统的ANSYS有限元分析[J]. 常州工学院学报, 2011, 24(2)：38-41,73.

[8]周俊敏, 王玉梅. 弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨[J]. 周口师范学院学报, 2009, 26(5)：58-60.

[9]黄兆梁. 弹簧质量对振动的影响[J]. 大学物理, 1998, 17(3)：12-16.

[10]徐月明. 弹簧质量对振子振动周期影响的实验研究[J]. 物理通报, 2010(11)：64-65.

Equivalent mass determination of multiple springs in series based on Rayleigh method

LI Lijian，XU Yin

(Wanfang College of Science & Technology HPU, Zhengzhou 451400,China)

Based on the analysis thought and calculation steps of the Rayleigh method used for solving the natural frequency of mass-spring system, the simplifiable mass-spring system composed of single mass and multiple springs in series in the engineering practical problems, whose the analytical calculation formulas of multiple springs equivalent mass are derived by using the Rayleigh method in this paper. Meanwhile, the equivalent mass determination of two springs in series as an analysis example is used to verify the effectiveness of springs equivalent mass’s theoretical calculation formulas. the characteristics of ratio between spring equivalent mass and its own mass is also analyzed and studied at the time of the two springs in series. The research contents will be laid an theoretical foundation for the equivalent mass determination of multiple springs in series, and widens the application range of Rayleigh method in the engineering practice.

Rayleigh method; natural frequency; multiple springs in series; mass-spring system; equivalent mass

2016-03-23;

2016-04-18

河南省教育科学“十二五”规划2015年度( No.(2015)-JKGHYB-0681)

李立建(1986- )，男，河南周口人，讲师，硕士，研究方向为并联机器人及柔性机构.E-mail:lljianzhu@126.com，联系电话：15038010200

O326；TH113.1

A

1671-9476(2016)05-0060-05

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.016