四角立方局域共振声子晶体结构低频能带研究

张佳龙，姚　宏，杜　军，董亚科

(1.空军工程大学航空航天工程学院，西安　710038；2.空军工程大学理学院，西安　710051)



四角立方局域共振声子晶体结构低频能带研究

张佳龙1，姚宏2，杜军1，董亚科1

(1.空军工程大学航空航天工程学院，西安710038；2.空军工程大学理学院，西安710051)

针对航空发动机产生低频噪声过大影响飞行员完成作战任务的问题，本文提出了一种新型局域共振复合单元结构模型。采用有限元法对局域共振结构带隙生成机理进行深入分析。结果显示：共振频率的位置是由局域共振模态的固有频率决定，且局域化程度与基体之间的相互耦合作用的强度有关；通过扩充后的局域共振复合结构单元，可以实现多重共振，打开多条低频共振带隙。通过对局域共振复合结构单元结构的带隙机理和局域共振特性进行仿真分析。结果表明：该复合单元结构在250 Hz以下的频率范围打开超过68.54%的共振带隙，最低频率降低至53.6 Hz，即在航空发动机低频降噪效果良好，在大型军机舱室低频降噪具有重要的理论意义和工程应用价值，显著提高作战效率。

局域共振； 低频噪声； 复合单元； 作战效率

1　引　言

在实际生活环境中，噪声污染对人身体健康存在很大的危害，逐渐被人们广泛关注。绝大多数的振动源分布在250 Hz以下的低频范围。科学研究人员一般也将频率在 之间的声音定义为低频噪声。对于机舱降噪，传统的方法主要包括吸声降噪、隔声降噪、使用消声器、阻尼减振降噪[1]。其基本原理是将声能或者振动能转换为热能而消耗掉[2]，从而达到降噪的目的。但这种降噪方式具有明显的缺点，即整套系统比较庞大笨重，对低频噪声的控制能力差，且会影响飞行器的整体性能，增加飞机的燃油消耗，不符合现代飞机的发展方向[3]。

近年来兴起的局域共振声子晶体和声超材料,解决该问题提出了新的思路。2005年，王刚等[4]提出了一种低频局域共振带隙的周期结构细直梁。结果表明，局域共振结构可大大降低带隙频率，并增大带隙衰减。2012年，黄丽娟等[5]设计了周期附加局域振子地蜂窝夹层板结构，在带隙范围内，弯曲振动能得到较大的衰减。同年 ，吕林梅等[6]将声子晶体中的局域共振现象引入到水下吸声材料的设计中，此设计可使该结构在2300～6000 Hz频率范围实现宽频吸声。2014年，张晶[7]的硕士论文《薄膜声学超材料板力学特性研究》，提出有限三维结构薄膜结构，共振频率为75.8Hz，具有良好的隔声效果。2015年，黄佳等[8]提出一种圆管型局域共振声子晶体三维结构，通过分析包裹层材料对带隙特性的影响，进一步提出了一种带隙设计方法，以使其满足结构中对减振、隔振降噪的需求，解决实际工程问题。声超材料是一种人工合成材料，具有特殊的功能，比如战机隐身，负折射率，以及超分辨率成像等。Yang等[9]首次发现，薄膜类声超材料(MAM)具有良好声衰减特性，使声波衰减超过40 dB，而且会产生带隙频率范围为50～1000 Hz，它的低频范围和带隙可以通过环形膜局域共振质量，表面密度，薄膜个数来调节。噪声以弹性波的形式在声子晶体中传播，受其内部周期性结构作用，禁止传播的频率范围称为带隙，基于此机制，研究人员设计了很多声子晶体结构，以达到低频宽带的目的[10-12]。2000年，香港科技大学刘正猷教授等[13]首次提出并研究了基于共振结构的三维声子晶体结构，实现了“小尺寸控制大波长”。航空发动机是飞机的主要振源之一[14]，高频段噪声被安装在发动机上金属橡胶减振连接杆所吸收掉，低频段(69.2～250 Hz)被局域化，从而达到很好的降噪效果。

该局域共振复合声子晶体结构在航空发动机支架外罩上进行降噪，具有体积小、质量轻，针对性强，降噪效果明显，降噪频率低、频带宽等特点。

2　共振单元模型及带隙机理分析

图1　单元结构简图； 第一布里渊区(阴影部分)Fig.1　(a)Unit structure drawing ； (b)First brillouin zone(The shaded part)

2.1共振单元模型

该声子晶体单元结构如图1(a)所示。图中元胞由四个尺寸相等的立方橡胶均匀镶嵌直径为0.016 m的金圆柱芯体中，共同组成散射单元，并嵌入环氧树脂中。其中晶体常数为a，散射体边长为r1，每个立方体橡胶表面长为b，宽为h。图1(b)给出了单元结构的第一布里渊区(阴影部分)。采用有限元求解结构的固有频率，并沿第一布里渊区Γ→X→M→Γ进行扫描，考虑到该单元结构在x，y方向的周期性，即设定好 边界条件；其中，散射体材料为橡胶薄膜包裹金圆柱芯体，基体材料为环氧树脂。材料和尺寸参数如表1、2所示。通过计算得到该复合结构单元能带结构如图2(a)所示。

表1材料参数

Tab.1Material parameters

ρ/kg·m-3E/GPa泊松比υ金195008.5e100.42硅橡胶13001.175e50.469环氧树脂11800.435e100.37

表2结构尺寸

Tab.2Structure sizes/mm

aa1rbh结构2021886

2.2带隙机理及特性

图2(a)可得，该结构在59.63～393.2 Hz之间形成较宽的低频带隙。为说明低频宽带隙的形成机理，图2(b)给出了带隙上、下边界所对应的模态。该带隙下边界(59.63 Hz)形成两条平直带 A1、A2分别是由质量块(金圆柱芯体)-橡胶(四个立方体)组成的"质量-弹簧"振动单元平移共振模态，该模态是由“质量-弹簧”系统横向、纵向共振所形成。在极低频(长波极限)，由于弹性波的波长远大于单元结构长度(晶格常数)，低频弹性波在结构中的传播和均匀介质中一样，色散曲线呈线性关系。如图2(a)所示，能带在Γ点分支。当基体中行波的频率接近共振单元固有频率时，在该单元结构会发生局域共振，弹性波不能继续传播。在能带结构中表现为，在 点处色散曲线被共振平直带分割开，从而形成了局域共振带隙，如图2(a)灰色长方形所示。在共振带隙中，由于耦合作用的存在，行波对外框基体的作用力与局域共振产生的作用力大小相等、方向相反，因此相互抵消。故带隙的宽带与局域化程度、填充率以及和基体之间的耦合作用有关。当填充率增大，带隙宽度也随之增大，这是由于刚体与基体间的相互作用增强所引起的[15]。对于72 Hz处平直带，它所对应的“质量-弹簧”组成的共振单元，其共振模态如图B所示。该模态为旋转共振模式，对基体产生扭转作用，而没有对x、y方向有合力作用；在较高频率范围，如带隙上边界393.26 Hz处，对应的模态C1、C2所示，金圆柱芯体位移为零，主要是橡胶和外框的振动。

图2　能带结构； 分别是对应能带上A，B，C三处的局域共振振动模态(其中箭头表示了位移的相对大小和方向)Fig.2　(a)Band gap of phononic crystal;(b) Local resonance modes of the band gap A、B、C

根据上述对单元结构共振模态的分析，平移、扭转局域共振模态，基体外框均处于静止状态，而内部相当于一个单自由度系统，该局域共振单元结构的简化模型如图3所示。当外界噪声以弹性波的形式传播该结构单元时，对基体产生力F的作用，而振子(金圆柱芯体)Me运动会对基体产生一个反作用F'，因此基体在外部激振力F和内部反作用力F'共同作用下振动。当两频率接近时，外部激振力F和内部共振单元对基体的反作用力F'反向叠加，基体所受合外力基本趋于零，基体外框趋于静止，行波被局域化，振动无法在基体中传播，并且行波能量被共振单元消耗掉，仅局限在局域共振单元中，从而产生振动带隙。由于四个立方橡胶与金柱之间的扭转力矩很小可以忽略，可以根据该单元结构简化为图3所示的“质量-弹簧”系统提供的等效质量和等效刚度来进行估算：

(1)

式中，Me、ke分别代表该结构的等效质量，等效刚度。

为进一步研究填充率对振动模式的局域化作用。当立方橡胶尺寸不变，芯体半径R分别为0.008 m、0.0085 m、0.009 m、0.0095 m、0.01 m时的能带结构，并对带隙宽带、起始频率、截止频率、中心频率进行比较。对比结果如图4所示，可以得出，随着半径R增大，相应散射体的面积增大，即填充率增大，带隙下边界的频率上降，上边界上升，上下频率之间的差值就会增大，对应的带隙宽带也就随之增大，这是由于刚体与基体间的耦合作用增强所引起的。结果表明填充率的大小对局域化程度有着直接的影响。增加填充率可以有效降低局域共振带隙的起始频率，但低频不够低，为了在250 Hz以下低频范围获得较低局域共振带隙，改变结构参数，如图5(c)所示。该结构可以60～80 Hz打开了四条低频共振带隙。

图3　局域共振单元结构的简化模型Fig.3　Simplified model of locally resonant phononic crystal

图4　不同半径R芯体的能带范围Fig.4　Band-gap frequency range of different radiuses core

3　局域共振复合单元结构低频带隙特性

根据上述的分析，对于单质量块系统，可以简化为“质量-弹簧”单自由度的共振单元，该系统的固有频率由等效质量(金圆柱芯体)和等效刚度(橡胶)决定。局域共振带隙是基体中长波行波特性与周期分布的局域谐振子的谐振特性相互耦合作用的结果[16]。无论改变结构尺寸，该单自由度局域共振单元只对应一个平移模态和一个扭转模态的固有频率，也只能打开一条共振带隙。因此，提出了局域共振复合结构声子晶体，即在一个单元结构中排列了两个金圆柱芯体和八个立方体橡胶组成的共振单元，中间四个立方体橡胶固连在一起。图5(a)所示双质量块单元结构。图5(b)为该长方形晶格的第一布里渊区，沿同样的路径进行扫描，得到结构的能带图，如图5(c)所示。从能带图可以看出，该结构能够在低频范围打开四条共振带隙，其中第一共振带隙的范围为60～68 Hz。共振带隙低频比单质量块局域共振单元结构降低了20.8%。

图5　(a)并排双质量块单元结构； (b)第一布里渊区； (c)该结构能带图Fig.5　(a)The horizontally double mass unit structure；(b)First brillouin zone；(c)The band gap of structure

为了进一步研究其产生带隙机理，选取第一布里源区的高对称点D、E、F、G和H的振动模态进行分析。从图5(c)能带图可以看出，从下往上依次在53.6 Hz、59.6 Hz 、66.85 Hz、67.7 Hz、71.4 Hz处出现完全或者部分布里渊区的平直带，这表明在距Γ较远的M点的六个频率附近长波行波容易与内部结构发生共振，其模态如图6(a)-(c)所示，分别对应双质量块的纵向局域共振模态、横向局域共振模态、扭转局域共振模态和反向共振模态。由于该结构的各向异性，纵向的共振频率低于横向，从而消除了他们之间的耦合作用。当基体行波的频率接近53.6 Hz时，该局域共振单元结构纵向共振模态和基体中的行波发生强烈的耦合，而与横波成分耦合很少。此时基体中的纵波成分虽然被禁止传播，而横波能够穿过该结构继续向前传播，因此不能打开带隙。对于E、F、G和H四处的频率容易被基体中的行波所激起，他们通常以两种模态形式叠加，叠加的程度决定局域共振程度。对于模态图6(a)则为反向扭转内旋局域共振模态，该局域扭转共振模态与基体行波同时存在，他们之间的耦合作用对x、y方向没有产生合力的作用，基体中的低频长波行波难以与这些共振模式发生相互耦合作用，因此其相应的色散曲线穿越其他色散曲线，对局域共振带隙的产生及其特性没有影响，因此不能打开共振带隙。如图 6(b)所示，在第一布里渊区离Γ 最远的M点处，简约波矢k最大，基体中的行波更容易激起横向局域共振模态，两模式叠加，将以横向振动为主，这种叠加形式的局域共振模式将与基体行波存在更强烈的耦合作用，进而能打开较宽的低频共振带隙，进而阻止低频范围弹性波的传播，从而达到降噪的目的。对于模态图6(c)则为反向扭转外旋局域共振模态，两金圆柱芯体相向振动，橡胶包覆层主要受拉变形，该共振模式没有对基体产生x、y方向合力作用，故不能打开共振带隙。综上所述可以可知：局域共振型声子晶体中低频带隙是基体中长波行波与周期局域振子的谐振特性相互耦合作用的结果，该耦合作用是否存在，是决定局域共振带隙能否产生的关键因素。根据上述对局域共振打开多条共振带隙机理分析，增加半径R可以增大散射体的面积，进而增大填充率，使得结构产生共振模态，从而打开更多的共振带隙。

图6　双质量块局域共振单元结构振动模态(红色箭头表示位移的方向和相对大小)Fig.6　Double mass local resonance modes of structure(Red arrow indicates the relative size and directions)

4　结　论

(1)共振带隙的频率位置是由局域共振模态的固有频率决定，且局域化程度与基体之间的相互耦合作用的强度有关；(2)改变结构参数(金圆柱芯体半径大小)，可以实现低频宽带隙；(3)扩充后的单元结构，可实现多自由度共振，在低频范围内打开多条共振带隙，并且80 Hz以下的低频范围打开20.8%宽带的共振带隙，最低频率为53.6 Hz；(4)提出的新型局域复合共振声子晶体结构，为航空发动机在低频，超低频降噪提供了一种有效的方法，在未来航空发动机低频降噪方面具有非常广阔的应用前景。

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Four Cubic Phononic Crystals with the Low-frequency Band Gap under the Locally Resonant

ZHANGJia-long1,YAOHong2,DUJun1,DONGYa-ke1

(1.Aeronautics and Astronautics Engineering College,Air Force Engineering University,Xi'an 710038,China；2.Science of College,Air Force Engineering University,Xi'an 710051,China)

Aiming at the failure to complete combat missions problem caused by aircraft engine low frequency noise, a novel locally resonant structure with composite units mode is proposed. It can descende the aero-engine low frequency noise effectively. Meanwhile, based on the analysis of the Formation mechanisms of the band gaps properties formation mechanisms, we can be thoroughly studied them with finite element methods. These results show that frequency positions of band gaps depend on natural frequencies of the corresponding locally resonant modes. Formation mechanisms of the band gaps in the Phononic Crystals is investigated with finite element methods. Phononic Crystal structures with composite units exhibit multiple resonances and band gaps in low-frequency range. Formation mechanisms and low-frequency characteristics of the band gaps in the proposed structure are simulating by extending the locally resonant composite unit structures. As the results show the composite unit structures possess band gaps below 250 Hz with the total gap width more than 68.54% and lowest frequency down to 53.6 Hz.It improves the reducing of noise in the aero-engine, has important theoretical and applied value in large aircraft cabin and improves combat fighting ability significantly.

localized resonance;low frequency noise;composite units;fighting efficiency

国家自然科学基金(11447147)；国家自然科学基金(11504429)；陕西省自然科学基础研究计划(2015JQ5155)

张佳龙(1990-)，男，硕士研究生，主要从事振动与降噪方面研究.

姚宏，博士，教授.

TB333

A

1001-1625(2016)05-1338-05