浅析二次函数与几何综合类存在性问题

林东升

摘 要：二次函数与三角形、四边形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。解答这类题型贵在分析，理清解题思路与方法，条件与结论如何有机地综合在一起考虑解答。这种存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在，某个结论是否出现的问题。

关键词：二次函数；存在性；数形结合

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）16-081-02

二次函数与三角形、四边形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在，某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。

探究一、二次函数与三角形的结合

例1、如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.

（1）求点B的坐标；

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点.

①若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.

分析：

（1）抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点B的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点的坐标吗？ （2）要求抛物线解析式应具备哪些条件？ 由a=1，A（-3，0），B（1，0）三个条件试一试； （3）根据 列出关于x的方程，解方程求出x的值； （4）如何用待定系数法求出直线AC的解析式？ （5）D点的坐标怎么用x来表示？ （6）QD怎样用含x的代数式来表示？ （7）QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？ 解：（1）由题意知：点A与点B关于直线x=-1对称，A（-3，0），∴B（1，0）.

（2）①当a=1时，则b=2，把A（-3，0）代入 中得c=-3，

∴该抛物线解析式为 ，

∵ ，∴ ，

又 ，∴ ，∴ ，

当 时， ；

当 时， ；

∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）.

②∵A（-3，0），C（0，-3），则直线AC的解析式为y=-x-3.

设点Q为（a，-a-3），点D为（ ， ），

∴

当 时，QD有最大值，其最大值为 。

探究二、二次函数与四边形的结合

例2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上的一动点。

（1）求这个二次函数的解析式.

（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

分析：

（1）图中已知抛物线上几个点？ 将B、C的坐标代入求抛物线的解析式； （2）画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？ （3）由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求△BPC的最大面积.

解：（1）将B、C两点的坐标代入 ，得 ，解得

∴这个二次函数的解析式为 。

（2）假设抛物线上存在点P（x， ），使得四边形POP′C为菱形，连接PP′交CO于点E，∵四边形POP′C为菱形，∴PC=PO，PE⊥CO，∴OE=EC=32，∴P点的纵坐标为 ，即 ，解得 ， （不合题意，舍去）。∴存在点P（ ， ），使得四边形POP′C为菱形。

（3）过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F，设P（x， ），由 得点A的坐标为（-1，0），∵B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，-3），∴直线BC的解析式为：y=x-3，∴Q点的坐标为（x，x-3），

∴AB=4，CO=3，BO=3， ，

∴当x=32时，四边形ABPC的面积最大.，此时P点的坐标为（ ，四边形ABPPC的最大面积为 。

求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差。