具有多元马氏需求的易变质多产品的EOQ模型

陈 杰陈志祥



具有多元马氏需求的易变质多产品的EOQ模型

陈 杰1，2，陈志祥1

（1.中山大学管理学院，广东广州 510275；2.琼州学院理工学院，海南三亚 572022）

本文研究一类新的易变质多产品库存控制策略，即具有多元马氏需求特征的多产品的最优策略,该策略综合考虑了市场需求在不同产品之间具有马氏转移特征和变质率因素。论文首先建立了多产品多周期的多元马尔可夫需求预测模型，并通过该模型确定了各种产品在订货周期内的需求之间的关系。同时，在该关系的理论基础上，进一步给出了多产品多周期库存的最优策略，进而结合算例给出模型的最优策略的数值解。

易变质产品；库存；多元马尔可夫模型；最优策略

0 引言

易变质产品是诸多产品的较为特殊的一类，以时质性为显著的特征。因此，基于易变质产品的时质性这个条件，对其库存问题进行研究尤为重要。陈军等[1]研究认为目前我国相关的易变质产品供应方缺乏订货决策的科学理论方法，还处在经验指导行动的粗放式操作阶段。因此，导致我国易变质产品的平均损耗率较大。第25届世界批发市场大会研究报告的数据应验了这个结论，即我国生鲜产品采摘后的平均损耗率为25%-30%，而发达国家的平均损耗率大多数都低于5%，其中美国和日本的仅有1%-3%。当然，造成这么悬殊的数据产生还存在其他客观方面的原因，如地域气候、保质科学技术和物流技术等诸多因素。由此可见，在客观因素既定的条件下，对易变质多产品的库存控制问题的研究是一个具有实践意义的理论问题。目前理论界对易变质多产品库存的随机联合决策的研究虽有所涉及，但是现有文献中针对此类库存控制策略仅考虑独立同分布的随机需求状态,缺乏对产品间的需求具有相互转移特征的库存控制策略的研究。本文研究了具有多元马氏需求的易变质多产品的EOQ模型的最优策略，构造了相应的理论分析模型并进行数值分析。

目前，国内外对学者对易变质产品的EOQ模型的研究有不少文献。Ghare和Chrader[2]率先展开了对易变质产品的库存问题的研究，并奠定了指数型的EOQ模型的理论基础。进而各国学者在这个理论支系的框架下，为了拓展易变质产品EOQ模型理论的应用性，加入库存模型的各种要素，如折扣因子、价格、允许延期完全（部分）供给、资金时间价值、……，对模型理论展开深入的研究,并取得丰富的成果，进一步完善了各支系的理论体系。Chang和Dye[3]视需求为时变的条件下，提出了允许短缺发生并部分延期供给的EOQ模型，而Chuang和Lin[4]在相应的EOQ模型的假设引入了带折扣因子，并给出了该模型的最优解。王道平等[5]则基于需求和采购价格均为时变的EOQ模型,进一步考虑物品的变质对库存系统的影响，并证明了在给定的条件下，计划期内库存的总成本是关于服务水平的凸函数。Padmanabhan和Vrat[6]假定销售率是以任意时刻库存水平为变量的函数,变质率为常数,在瞬时订货, 提前期为零的条件下,建立了变质物品短缺量不允许拖后、部分拖后和完全拖后情形下使总利润最大化的EOQ模型。在模型加入资金时间要素的条件下，Haley和Higgins[7]首次在库存模型中考虑资金的时间价值；Moon和Giri[8]考虑了变质物品和增值物品在通货膨胀和时间价值折扣条件下的EOQ 模型；而文晓巍[9]则构建了通货膨胀下允许延期支付的非常数变质率的易变质商品的EOQ模型,并给出了总库存成本最小的最优库存补充决策和算法。基于随机变质率的视角，Wee[10]假设变质率服从双参数的Weibull概率分布，研究了数量折扣下且允许回购的EOQ模型；Chakrabarty和Girl[11]则在三个参数的Weibull函数的条件下, 研究了变质物品在瞬时供货、需求函数为线性增函数、允许缺货时的库存系统的最优EOQ模型；Papachristos和Skouri[12]在此模型的理论基础上结合指数分布构建了相应的模型。在随机需求环境下，Kalpakam和Shanthi[13，14]基于泊松需求提出了易变质产品的EOQ 模型；Chatwin[15]考虑了基于连续时间的变质产品库存问题，认为在泊松需求的条件下，产品的需求和价格形成反比的关系，并得出模型的最优定价策略是分段常数。而在假定产品的需求具有马氏性的前提条件下，国外学者对EOQ 模型优化的问题也进行了研究。Karlin[16]建立了时间离散型的马氏库存模型，并给出模型的最优（s,S）策略，而在基于时间为连续的以及库存成本函数为线性的条件下，Song和Zipkin[17]提出了时间连续型的马氏调制泊松过程模型，研究的结果表明模型的最优（s,S）策略是状态依赖的。Cheng和Sethi[18]拓展了上述的研究成果，认为只有在未满足需求定义为失销和零提前期的条件下，最优（s,S）策略才是状态依赖的，Chen和Song[19]则进一步发展了马氏库存模型，即建立了多级库存模型。Raftery[20]在传统马氏理论基础上提出更一般化的高阶马氏模型，而Ching 等[21]则进一步推广该模型，提出了多元马尔可夫模型，并建立了多产品的需求预测模型。虽然基于上述库存优化模型的各种条件所取得的研究成果日趋于成熟，但是对多产品的需求的关联性问题的研究还处于初步周期，缺乏基于多元马尔可夫模型对多产品的库存优化控制问题进行深入的研究。

总之,从国内外文献看,就作者所知,目前文献尚没有关于以多元马氏过程作为理论工具，对易变质多产品库存控制策略的研究。本文主要利用多元马尔可夫模型作为理论工具，建立易变质多产品库存模型，并求出其最优策略。研究结果表明，当易变质多产品的需求状态满足相关性时，我们就可以根据其历史的状态轨迹，来确定各种产品在下周期的需求状态的相关性以及对它们未来的需求做出合理的预测，进而达到优化库存的目的。

本文结构安排如下：第1节主要介绍模型的有关假设和符号定义，进而提出了易变质多产品库存模型。第2节利用多元马氏模型论证了各种产品的需求的关系和介绍了模型参数的估计法，并提出了多产品多周期的最优策略的相关命题。第3节结合文中的理论模型，给出具体的算例，得出了多产品多周期的最优策略。最后对本文做出全面的总结和一些研究展望。

1 模型描述

在竞争激烈的市场环境中,销售商往往会基于消费者的个人消费能力、偏好和实际需要等众多因素，对所销售的商品的结构进行多元化调整，以满足顾客的多样性的需求。如某水果销售商，其销售：等种水果。当顾客面临着多种选择时, 他们有可能因为选择购买了水果，而不会再选择购买其它种类的水果；或者在某个时期内选择购买，而在下个周期选择购买其他水果。显然，在这样的需求环境下，不同种类的水果的需求量之间具有一定的相关性。因此，当决策者对库存进行优化管理时, 若仅单一考虑产品自身的需求，而忽略不同类产品间的需求的关联性，则必然会导致未来的决策缺合理性和科学性。由此可见, 供应商在对需求具有相关性的多产品制定优化库存的策略时,应研究多产品的需求量的关联性。

为了便于模型的论述，我们进行以下的符号说明。

接下来我们对本文的模型做出一些基本假设：①各种产品的需求状态（）具有马尔可夫性和时齐性；②交货提前期为非固定；③产品的变质率为常数；④产品的进价和订购费为固定的；⑤允许短缺发生并全部延期供给；⑥各种产品的需求状态集保持一致性，即各状态集的元素个数和取值都相等。

（2）

（4）

在该订货期间的期望库存费用为：

而延期短缺费用为：

（6）

（7）

正如上文我们所述，易变质的各产品的需求间存在关联性，所以这里只需建立单个产品的平均总费用模型，并利用该模型的最优解，进而确定其他产品的库存系统的最优订购策略。由于为固定常数，故由（3）和（4）式可知，第种产品于第周期内的最高库存水平，依赖着和的取值；而每周期末的缺货量则仅与，和的取值有关。因此，只需利用多元马尔可夫预测模型，预测出各种产品的需求量以及通过优化平均总费用的期望模型（即费用最小化），求出和的最优值，我们就可以达到优化库存管理的目标。

图1 库存系统各周期动态订购模型示意图

图1表明了该库存系统的库存水平的随着时间推移而发生变化的情况。

2 易变质多产品EOQ模型的最优策略

。 （9）

相合性被认为是对估计的一个最起码的要求，如果一个估计量，在样本量不断增加时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精确度，那么这个估计是值得怀疑的。命题3表明，本文对需求状态的转移概率矩阵的估计值满足了估计的相合性的优良性质，即依概率收敛于。

这样我们就可以根据概率分布的情况来确定各种产品需求状态之间的关系。事实上，第种产品于第阶段与其他产品及自身的需求状态的平稳概率分布的关系为：

（15）

（16）

接下来我们研究（17）式的最优解的存在性，即求出其最优值和，使得

（18）

。

（19）

注：由推论1的结论可知，单产品的最优策略等效于总产品的最优策略。

期望最高库存水平：

最优期望缺货量：

（21）

至此，通过多元马氏模型，我们不但已从理论上解决了多产品的需求量间的关联性问题，而且进一步给出了各种产品的期望需求量。再由（17）式，进而确定了，和的最优值。今将这三个变量的最优值写成矩阵的形式，即，并称之为多产品EOQ模型于第周期的最优策略。该策略给决策者提供了非常有价值的信息矩阵，因为我们可以从这个矩阵获取第种产品于第周期库存处于零水平的时刻点以及最佳订购周期的长度和最优订购量，其中。有了这些信息，我们就可以对该库存系统进行优化管理，即当缺货时间等于时，管理者必须做出订货决策，从而达到最小化费用函数的目标，进而获得最大的收益。

3 数值算例分析

限于篇幅，本算例只考虑3种产品的情形。设某超市需要订购A、B和C三种水果，并根据消费者的需求程度（以千克为单位），将其划分为淡季、一般、较好和旺季等四个需求状态，并依此分别用数值1,2,3,4表示。即各需求状态集，其中各需求状态的具体定义如下：；；；。于是，通过映射建立了需求量和需求状态之间的对应关系，即当第种产品于第周期的需求量落在需求小区间时，则用数值来表示其所相应的需求状态。为了计算方便，不妨假设，即当时，其概率密度为。并且知A、B和C水果在过去12个周的需求状态的历史分别为：，和，且其需求状态之间相互转移的关系如图2所示：

图2 不同产品间需求状态转移示意图

基于A、B和C水果的需求状态的历史，易估计出它们前12周的需求状态的平稳分布：

将以上的相关数据代入（13）式，得：

（23）

由（19）式，再利用LINGO软件可求得各种水果在第13周的最优零库存水平时刻和最佳订购周期的长度（每周按七天计算），即和（周）；和（周）。将其分别代入（22）式，得相应的最优定购量分别为：和（千克）。于是，EOQ模型于第13周的最优策略为：

在易变质产品的库存系统的优化控制过程中，如何推算库存水平等于零时的时间、定货周期的长度和订购量是极其重要的问题，即确定、和的最优值。当这三个变量的取值过大时，意味着变质的产品就越多，从而损失的成本就越高。本算例基于有关的参数值，计算出它们的最优值。决策者可以根据这些数值制定准确的订购时间，做出科学的订货量决策，以减少损失成本，获取最大的经济效益，从而提高库存优化管理水平。

4 结论与展望

易变质多产品的库存控制问题是个具有实践意义的理论问题。鉴于现有文献对易变质多产品库存控制策略的研究仅考虑随机需求互为独立的情形,本文基于需求具有相互转移特征的条件下，建立了多元马氏需求模型，并利用该模型对需求具有相互转移特征的易变质多产品在下个周期的需求状态进行预测，同时确定了它们需求之间的关系，进而提出了多产品单位时间内总期望费用模型。在总期望费用模型的条件下，理论上对多产品的最优库存控制策略进行了研究，并证明了其存在性。模型的相关结论表明，在实现单个产品的收益最优化的条件下，可以达到总产品的最优水平，即单产品的最优策略等效于总产品的最优策略。最后，用算例分析了该方法的应用以及验证了本文提出的新的库存控制策略的可行性。较于以往的模型，新的模型具有一定的优越性，即解决了需求具有相互转移特征的易变质多产品的库存优化决策问题。新模型不但提出了科学的需求预测新方法和库存系统的最优策略，同时还为决策者深入了解需求间的关联性提供了可靠的理论依据。然而新模型在理论上还存在一定的局限性，还不能解决由各产品的需求状态集不一致时所产生的相应模型的决策优化问题。比如在A产品有三种需求状态而B产品有四种需求状态的情况下，如何预测产品的需求和建立相应的模型。模型理论上所存在这样的局限性，有待于今后在模型的理论设计过程中进一步完善和克服。

在本文的基础上，除了上文提到的新模型所存在的问题还需要进一步研究外，以下问题可作为下一步的研究内容和方向：可以将此模型推广到有限或无限周期模型，给出系统的相应的最优策略；在有限周期或无限周期模型的基础上可以引入折扣因子，这样解决实际问题更加有效；作为更一般化的研究，可将系统的决策时刻为时间离散的推广到为时间连续的模型，并可研究建立相应的带有折扣因子、有限周期和无限周期等模型。

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The EOQ Model with Multivariate Markov Demand for Deteriorating Items

CHEN Jie1,2,CHEN Zhi-xiang1

（1.School of Business, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275,China; 2. School of Science and Engineering, Qiongzhou University, Sanya 572022, China)

The deteriorating item is a special one in the commodity market because a significant characteristic of its quality is time dependent. However, the suppliers of perishable products in China rely on their experiences to make ordering decisions instead of scientific methods. This has resulted in high average wastage rate of perishable products in China. The problem of perishable inventory control under the condition established by objective factors is a theoretical issue with practical significance. There are many references about joint decision of perishable multi-product inventory under stochastic term. However, the existing literature on inventory control policy considers the random demand state that is independently distributed. There is a lack of study on inventory control policy with mutual transfer characteristics of the multi-product demand.

Based on multi-product demand with mutual transfer characteristics, the multivariate Markov demand model is established to forecast demand state of perishable multi-products for the inventory system in the next period. The relationships of demand for various products are determined. Meanwhile, the model of total expected cost per unit time for multi-product is proposed. The optimal control policy for multi-product inventory has been studied systematically under the total expected cost model. In this study, we propose a new class of control policy for perishable multi-product inventory which is the optimality ofpolicy for multi-product inventory with multivariate Markov demand. How to calculate the timeof the inventory level when it is equal to zero, the lengthof ordering period and ordering quantityare extremely important for the process of optimizing control system to manage perishable inventory. When the three variable values are too large, it means that the more deteriorated products, the higher cost of the loss. The optimality ofpolicy not only comprehensively considers the market demand with Markovian transfer characteristics and deteriorated rate of product, but also the optimum value of variable,andis determined. The relevant conclusions of the model also show that the optimal level of total products should be achieved under the condition of realizing the optimal benefits of single product, namely the optimal policy of single product is equivalent to total product’s optimal policy. Finally, we use a numerical example todemonstrate the effectiveness and feasibility of the new optimal policy of the inventory control.Decision-maker can place the exact ordering time and make a scientific decision of ordering quantity by the optimality ofpolicy, to realize the optimization of economic efficiency，thus improving the management of inventory optimization.

deteriorating items; inventory; multivariate markov model; optimality ofpolicy

中文编辑：杜 健；英文编辑：Charlie C. Chen

O211.62；F253.4

A

1004-6062(2016)04-0093-09

10.13587/j.cnki.jieem.2016.04.012

2013-07-17

2014-05-25

国家自然科学基金资助项目(71372154)；海南省自然科学基金资助项目(20151008)；海南省高等学校科学研究基金资助项目(HJKJ2012-42)

陈杰(1979—)，男，海南临高人；琼州学院理工学院副教授，中山大学管理学院博士研究生,主要从事马尔可夫决策过程、供应链等研究。