微积分教学中关于多元函数极值的2个注记

金少华，陈秀引，臧婷



微积分教学中关于多元函数极值的2个注记

金少华，陈秀引，臧婷

多元函数微分学是一元函数微分学的一种自然延伸与发展，但由于涉及的变元从一个变为多个，变量之间的关系变得更为复杂，从而产生出一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点，把握这些新的特点是学习时应当特别注意的地方．

命题1[1]]如果函数在区间（开或闭，有限或无限）内连续、可导且在区间内只有唯一一个极值点，且为极大（小）值点，则该极大（小）值就是在区间上的最大（小）值．

问题是能否将命题1推广到二元函数，即能否将命题1推广为：如果二元函数在有界闭区域上连续、在内可微．若在内只有唯一一个极值点，且为极大（小）值点，则该极大（小）值就是在有界闭区域上的最大（小）值．

例1说明命题1不能推广到二元函数．

命题2[2]可导且只有有限多个驻点的一元函数，在它的2个极小值点之间必定有极大值点．

例2表明，命题2结论对多元函数未必成立．

参考文献：

[1] 同济大学应用数学系．微积分[M]．3版．北京：高等教育出版社，2010

[2] 陈启浩．大学生数学竞赛辅导[M]．北京：机械工业出版社，2014

（作者单位：河北工业大学 理学院，天津300401）

河北省高等教育学会“十二五”规划教研立项课题（GJXH2015-269）；河北工业大学教研立项重点项目（201502022）；2016—2017年度河北省高等教育教学改革研究与实践项目（2016GJJG024）