具有斑块结构的捕食-食饵系统的最优捕获

林琳，冯晓梅



具有斑块结构的捕食-食饵系统的最优捕获

林琳1，冯晓梅2

（1. 运城农业职业技术学院 基础教学部，山西 运城 044000；2. 运城学院 应用数学系，山西 运城 044000）

研究了一类具有斑块结构的Lotka-Volterra型捕食-食饵系统的动力学行为，讨论了该系统生态经济平衡点的存在性，为了使得利益最大化，通过应用Pantryagin最大值原理给出了最优的捕获策略．

斑块结构；捕食者-食饵系统；生态经济平衡态；最优捕获

在大自然的生存环境中，许多自然现象对物种的生存和发展起着至关重要的作用．为了有效地发挥有利要素的作用，防止有害要素的影响，有必要研究处于善变环境中的自然现象的数学模型．近年来，不少学者对空间分散行为的多种方式进行了研究，同时探讨了不同空间分散行为对动力学的影响，特别是对在斑块环境中扩散的种群模型的研究也取得了突飞猛进的进展[1-4]．文献[5]以Lotka-Volterra模型[6]为基础，建立了一类具备斑块结构的2种群食饵-捕食模型，本文在此基础上对其进行了更深层次的研究．

1　模型假设及建立

假定各个斑块都是自治的，斑块1中既有食饵种群又有捕食者种群，斑块2中仅有有庇护所效应的食饵种群．庇护所效应对食饵种群可形成一个保护性的作用，即在此斑块中，不允许对食饵种群进行捕捞．同时假设食饵种群可以在这２个斑块间随意地迁移．根据假定，以Lotka-Volterra模型为基础，建立了模型：

文献[5]根据常微分方程定性与稳定性方法[7]对系统（1）的平衡点进行了较详细的动力学行为分析．本文将讨论系统（1）的生态经济平衡及其最优捕获策略．

2　生态经济平衡

当收获的总收益等于其收获的总成本时，也就达到了其生态经济平衡．生态经济平衡由给出．设单位捕获努力量的成本消耗为常数，收获种群的单位价格也为常数，则净收益为

3　最优捕获策略

现实生活中，人们往往充分利用并开发生物资源以便捕获种群所得的经济利益最大Pantryagin化．应用最大值原理[8]寻求一个最优的捕获努力量，使得长期资源开发中得到的已贴现净经济利润

构建该最优控制问题的现值Hamilton函数[8]

因此，最优捕获策略是

这暗示了，在稳定状态收获单位努力的成本等于其将来边际利润的贴现值．

此时，伴随方程为

由式（8）及式（14），可得到奇异轨线

参考文献：

[1] Bereta E，Solimano F，Takeuchi Y．Global stability and periodic orbits for two patch predator-prey diffusion-delay models[J]．Math Biosci，1987（85）：153-183

[2] Yang Kuang，Yasuhiro Takeuchi．Predator-prey dynamics in models of prey dispersal in two-patch invironments[J]．Math Biosci， 1994，120：77-98

[3] Freedaman H I，Takeuchi Y．Global stability and predator dynamics in a model of prey dispersal in a patchy environment[J]． Nonlinear Anal TMA，1989（13）：993-1002

[4] 谢旺生，翁佩萱．一类具有斑块扩散与反馈控制的捕食者-食饵模型周期解的存在性[J]．华南师范大学学报：自然科学 版， 2012，44（1）：42-47

[5] 林琳，雒志学．具有斑块结构的捕食-食饵系统的研究[J]．温州大学学报：自然科学版，2015，35（1）：1-5

[6] 陈兰荪．数学生态学模型与研究方法[M]．北京：科学出版社，1988：129-131

[7] 马知恩，周义仓．常微分方程定性与稳定性方法[M]．北京：科学出版社，2001：46-71

[8] Colin W C．MATHEMATICAL BIOECONOMICS[M]．Beijing：Wiley，2010：102-107

The optimal harvesting policy of the predator-prey system with species for prey in patchy environment

LIN Lin1，FENG Xiao-mei2

（1. Department of Primary Education，Yuncheng Polytechnic College of Agriculture，Yuncheng 044000，China；2. Department of Applied Mathematics，Yuncheng University，Yuncheng 044000，China）

The Lotka-Volterraprey-predator system with two species for prey in patchy environment is considered and their dynamic behavior is investigated．The existence of the economic equilibrium is discussed．By applying the Pantryagin′smaximum principle，an optimal harvesting policy is obtained in order to obtain greater profits ．

patches environment；predator-prey system；economic equilibrium；optimal harvesting

1007-9831（2016）10-0003-05

O175.1∶Q141

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.002

2016-07-20

国家自然科学基金资助项目（11501498）

林琳（1983-），女，山西运城人，讲师，硕士，从事生物数学研究．E-mail：linlin418@163.com